Phân tích:
Từ năm học 2006-2007 trở đi , bài toán định lý đảo về dấu của tam thức bậc hai và bài toán so sánh nghiệm của tam thức bậc hai với một số thực bất kỳ không còn được trình bày trong chương trình chính khóa. Đây là ý tưởng giảm tải của Bộ giáo dục và đạo tạo.
Tuy nhiên qua quá trình giảng dạy và cho học sinh làm bài tập, tôi thấy nhiều bài toán nếu biết sử dụng định lý đảo và bài toán so sánh nghiệm thì lời giải sẽ ngắn gọn hơn nhiều do đây là chương trình giảm tải vì thế trong chuyên mục này, tôi đưa ra một vài hướng giải quyết có thể sử dụng bài toán so sánh nghiệm chuyển về bài toán
Phân tích:
Ở lớp 9, học sinh đã biết so sánh nghiệm của phương trình bậc hai với số 0 bằng cách xét dấu tổng và tích của hai nghiệm.
Bây giờ ta sẽ tìm cách đưa về so sánh nghiệm với số 0. Ta thống nhất các đai lượng ; S; P là của g(t).
i. Tam thức ( có hai nghiệm
.
Đặt , dẫn đến có hai nghiệm .
ii. Tam thức ( có hai nghiệm .
Bằng phép đặt , dẫn đến có hai nghiệm .
iii. Tương tự cách xử lý đối với trường hợp ( có hai nghiệm thỏa mãn .
Sau đây ta xét một số ví dụ minh họa. Ví dụ 1 :
Cho hàm số ( C )
Tìm các giá trị của m để đường thẳng d: y=mx-m cắt đồ thị tại hai điểm thuộc về hai nhánh của đồ thị (C).
Giải:
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị d và (C) là:
Để d cắt (C) tại hai điểm thuộc hai nhánh khi và chỉ khi (1) có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn : x1<-2<x2.
Đặt t=x+2 ta đưa (1) về phương trình ẩn t:
(2).
Phương trình (2) phải có hai nghiệm trái dấu . Tìm được m>1.
Ví dụ 2:
Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng . Giải: Ta có .
Đặt .
Để hàm số đồng biến trên thì y‘ ≥ 0 với mọi x thuộc khoảng xảy ra một trong hai trường hợp:
TH1: f(x) có <0 .
TH2: f(x) có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn .
Đặt t=x-1 ta đưa về xét điều kiện g(t)= t2 –m có hai nghiệm .
Điều đó tương đương: .
Kết hợp 2 khả năng được . Ví dụ 3 :
Tìm m để hàm số :
nghịch biến trên khoảng (-1;0).
Giải: Ta có
Ta cần có : , .
TH1: Với m=2 thì , thỏa mãn.
TH2: Với , khi đó (m-2)2 > 0.
Để , thì f(x) phải có hai nghiệm x1;x2 thỏa mãn (*). Ta tách yêu cầu (*) ra làm hai trường hợp đồng thời xảy ra:
Dùng kỹ thuật xử lý ở trên đối với (a) ta được .
Đối với (b) ta được .
Kết hợp tất cả các trường hợp ta được .
Bài tập tương tự:
1. Tìm m để hàm số: đồng biến trên khoảng .
2. Tìm m sao cho hàm số tăng trong khoảng (0;3).
3. Tìm m để hàm số giảm trên khoảng (-1;0)
( Dự bị khối A 2002)