C. HAI MẶT PHẲNG SONG SONG:
1. Chứng minh các đẳng thức về vectơ
* Sử dụng quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành, quy tắc hình hộp để biến đổi vế này thành vế kia
Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là là một hình chữ nhật. Chứng minh rằng:
a. SA SC SB SDuur uuur uur uuur+ = +
b. SAuur2+SCuuur2 =SBuur2+SDuuur2
Giải
a. Gọi O là tâm của hình chữ nhật. Vì OA – OC nên: SA SCuur uuur+ =2SOuuur (1)
Vì OB = OD nên SB SDuur uuur+ =2SOuuur (2)
So sánh (1) và (2) ta suy ra SA SC SB SDuur uuur uur uuur+ = +
b. Ta có:
2 22 2
( ) 2 .
SA= SO OA+ =SO +OA + SO OA
uur uuur uuur uuur uuur uuuruuur Mà OA OCuuur uuur r+ =0 nên
2 2 2 2 2
2
SA +SC = SO +OA +OC
uur uuur uuur uuur uuur
Tương tự ta có: SBuur2+uuurSD2 =2uuurSO2+OBuuur2+ODuuur2
Vì ABCD là hình chữ nhật nên ta có
OAuuur = OBuuur = OCuuur = ODuuur
Từ đó suy ra SAuur2+SCuuur2 =SBuur2+SDuuur2
Bài 2: Cho tứ diện ABCD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD, G là trung điểm của đoạn MN. Chứng minh rằng:
a. uuur uuur uuur uuurAD BC+ = AC BD+ =2MNuuuur
b. GA GB GC GDuuur uuur uuur uuur r+ + + =0
c. PA PB PC PDuuur uuur uuur uuur+ + + =4uuurPG với P là một điểm bất kì.
Giải:
a. Ta có: MNuuuur uuur uuur uuur=MA AD DN+ + và
MN =MB BC CN+ +
uuuur uuur uuur uuur Suy ra:
2MNuuuur=(MA MBuuur uuur+ )+uuur uuurAD BC+ +(DN CNuuur uuur+ )
Hình 6.2
O
D
C
B
A
S
D
B G
N
M
A
Vì MA MB DN CNuuur uuur uuur uuur r+ = + =0 nên 2MNuuuur uuur uuur= AD BC+
Ta suy ra: uuur uuur uuur uuurAD BC+ =AC BD+ =2MNuuuur
b. Vì GA GBuuur uuur+ =2GMuuuur uuur uuur, GC GD+ =2GNuuur, GM GNuuuur uuur r+ =0 nên GA GB GCuuur uuur uuur r+ + =0 c. Với điểm P bất kì, từ kết quả trên ta có:
(uuur uuurPA PG− ) (+ uuur uuurPB PG− ) (+ PC PGuuur uuur− ) (+ PD PGuuur uuur− ) 0=r
Do đó: PA PB PC PDuuur uuur uuur uuur+ + + =4PGuuur
