Một vành R, ký hiệu { R, +, × }, là một tập các phần tử và hai phép kết hợp 2 ngôi, gọi là phép cộng và phép nhân, nếu các tính chất sau được thỏa mãn:
A1-A5) R là một nhóm Abel theo phép cộng:Rthỏa mãn các tính chất từ A1 đến A5, ta ký hiệu phần tử đơn vị là 0 và phần tử nghịch đảo của a trong phép cộng là – ạ Ta định nghĩa phép trừ là a – b = a + (–b)
M1) Tính đóng đối với phép nhân: ∀>, 8 ∈ : >8 ∈ (viết tắt thay cho dấu ×)
M2) Tính kết hợp đối với phép nhân: ∀>, 8, ' ∈ : (>8)' = >(8')
M3) Tính phân phối giữa phép cộng và phép nhân: ∀>, 8, ' ∈ (> + 8)' = >' + 8'
>(8 + ') = >' + >'
Ngắn gọn, trong một vành, chúng ta có thể thực hiện các phép cộng, trừ, nhân mà không ra khỏi vành (kết quả các phép toán cộng, trừ, nhân thuộc R)
Ví dụ: cho tập các ma trận vuông cấp n với số thực, các phép cộng và nhân ma trận tạo thành một vành.
Một vành được gọi là vành giao hoán nếu có thêm tính giao hoán đối với phép nhân:
M4) Tính giao hoán với phép nhân: ∀>, 8 ∈ ∶ >8 = 8>
Ví dụ: cho tập các số nguyên chẵn, với các phép cộng và nhân thông thường, tạo thành một vành giao hoán, tập ma trận vuông cấp n như trên không phải là vành giao hoán.
Một vành được gọi là miền nguyên (integral domain) nếu đó là vành giao hoán và có thêm hai tính chất sau:
M5) Tồn tại phần tửđơn vị phép nhân: >1 = 1> = >
M6) Liên quan giữa phép nhân và phần tửđơn vị phép cộng :
oếS >8 = 0 :ℎì > = 0 ℎ>g 8 = 0