Một nhóm, ký hiệu là {G, °}, là một tập G các phần tử và một phép kết hợp 2 ngôi ° thỏa mãn các điều kiện sau:
A1)Tính đóng: ∀>, 8 ∈ ¶: > °8 ∈ ¶
A2) Tính kết hợp: ∀>, 8, ' ∈ ¶: (> °8)°' = > °(8 °')
A3) Phần tửđơn vị: ∃= ∈ ¶: > °= = = °> = > , ∀> ∈ ¶
A4) Phần tử nghịch đảo: ∀> ∈ ¶ , ∃! >º ∈ ¶ ∶ > °>º = >′ °> = =
Ví dụ 1: Dễ thấy tập số nguyên Z và phép cộng số nguyên là một nhóm. Phần tử đơn vị là 0. Với a ∈ Z thì nghịch đảo của a là – a. Tập Z có vô hạn phần tử nên nhóm này được gọi là nhóm vô hạn.
Ví dụ 2: xét một tập S gồm n số nguyên { 1, 2, …, n }. Định nghĩa tập T có các phần tử là các hoán vị của tập S.
Ví dụ n = 4, như vậy {1, 2, 3, 4} ∈ T, {3, 2, 1, 4} ∈ T, ….. Tập T có 4! = 24 phần tử. Tiếp theo, định nghĩa phép kết hợp ° như sau: c =a° b là một hoán vị của a theo thứ tự trong b. Ví dụ: a = { 2, 3, 4, 1}, b = {3, 2, 4, 1 }. Hoán vị của a theo b là { 4, 3, 1, 2}. c
cũng là phần tử thuộc T nên thỏa tính chất A1.
Nếu chọn e = {1, 2, 3, 4} thì >°= không làm thay đổi thứ tự của a, còn =°> sẽ hoán vị e trở thành a. Vì vậy {1, 2, 3, 4} là phần tử đơn vị theo tính chất A3.
Ta cũng có thể chứng minh tập T và phép hoán vị thỏa mãn hai tính chất còn lại A2
và A4. Nghĩa là T và phép hoán vị tạo thành một nhóm. Tập T có hữu hạn phần tử nên nhóm này được gọi là nhóm hữu hạn.
Một nhóm được gọi là nhóm Abel nếu có thêm tính chất sau:
A5)Tính giao hoán: ∀>, 8 ∈ ¶: > °8 = 8 °>
Dễ thấy tập Z là nhóm Abel trên phép cộng. Còn tập T và phép hoán vị không phải là nhóm Abel với n>2
Nhóm vòng:
Cho nhóm {G, °}, ta định nghĩa phép lũy thừa như sau:
>s = > °> ° … °> ¼jặ+ * jầR > Vớ@ * jà Bố RWSgêR 1ươRW½ >5s = (>º)s
127 Ví dụ: >. = > °> °> .
Ta gọi G là nhóm vòng nếu mọi phần tử của G đều biểu diễn được dưới dạng >s với
a thuộc G và k là một số nguyên. Lúc này a được gọi là phần tử sinh của tập G. Ví dụ tập Z là một nhóm vòng với a là 1: 5 = 15, –4 = (–1)4
Mọi nhóm vòng đều có tính giao hoán nên đều là nhóm Abel.