2. TÍCH PHÂN LEBESGUE
2.1.4. Tích phân Riemann trên một tâp hợp:
Cho một tập bị chặn A trong Rk, và lấy một điểm bất kỳ A. nếu (hàm đặc trưng của A) khả tích (R) trên một đoạn thì tập A gọi là đo được theo nghĩa Peano-Jordan, hay ngắn hơn, đo được (P.J) và tích phân.
(R) XA(x)dx
gọi là độ đo Peano-Jordan của tập A.
Dĩ nhiên tập các điểm gián đoạn của hàm số XA(x) chính là biên của tập A, cho nên, theo định lý 1:
Một tập bị chặn A là đo được (P.J) khi và chỉ khi biên của nó có độ đo Lebesgue bằng 0. Chẳng hạn tập các điểm hữu tỉ trong đoạn 0,1 không đo được (P.J) vì biên của nó là toàn đoạn 0,1 và do đó có độ đo 10
Bây giờ cho tập A đo được (P.J) và một hàm số (x) bị chặn trên A. Ta xác định hàm số f(x) f(x) trên A và f(x)0 ngoài A.. Nếu f(x) khả tích
(R) trên một đoạn A thì (x) gọi là khả tích (R) trên tập A, và ta định nghĩa tích phân của (x) trên A là số
(R) f(x)ds = (R) f(x)dx . như vậy tích phân Riemann f(x)dx có nghĩa khi:
1. (x) bị chặn trên A;
2. Biên của A có độ đo Lebesgue bằng 0;
3. Tập các điểm trong của A tại đó (x) gián đoạn có độ đo Lebesgue bằng 0.
Ta thấy rằng tích phân Riemann chỉ áp dụng cho một lớp hàm số tương đối hẹp, bao gồm những hàm số mà tập các điểm gián đoạn có thể "bỏ qua được" (có độ đo). Còn các hàm số đo được tổng quát thì nói chung có thể không khả tích (R). Ngay hàm số Dirichlet ((x) bằng 0 tại những điểm vô tỉ của đoạn 0,1 , bằng 1 tại những điểm hữu tỉ) cũng không khả tích (R) vì với mọi phân hoạch ta đều có S 0, S 1. Đó là một sự hạn chế đáng kể của khái niệm tích phân Riemann, vì trong toán học hiện đại (lý thuyết và ứng dụng) rất thường gặp những hàm số gián đoạn đòi hỏi phải lấy tích phân theo một nghĩa nào đó.
Nhược điểm của tích phân Riemann bộc lộ rõ nhất trong những vấn đề giới hạn: nói chung dùng tích phân Riemann thì phép toán này phải thận trọng vì không phải luôn thực hiện được. Chẳng hạn, trong không gian C 1a;b gồm các hàm số liên tục x (t) trên đoạn a,b với Metric.
P(x,y) = b x t y t dt
a ( ) ( )
một dãy cơ bản không nhất thiết hội tụ (không gian không đủ), và dù có thêm vào không gian này những hàm số gián đoạn khả tích (R) thì cũng không cải thiện được tình trạng ấy.
Ngoài ra còn một vấn đề nữa mà tích phân Riemann không đủ để giải quyết, là việc tìm lại một hàm liên tục F(x) mà ta đã biết đạo hàm F(x) = (x) của nó (đây là nói hàm số một biến trên đoạn a,b); nếu (x) khả tích (R) thì ta biết rằng F(x)=F(a) + x f(t)dt,
a
nhưng nếu (x) không khả tích (R) thì thế nào?
Để khắc phục tất cả các nhược điểm đó, cần phải xây dựng một khái niệm tích phân tổng quát hơn tích phân Riemann: đó là vấn đề sẽ giải quyết trong các mục sau.
2.2. TÍCH PHÂN LEBESGUE.
Phân tích cách xây dựng tích phân Riemann ta thấy rằng trong quá trình chia nhỏ đoạn (miền bién thiên của x) khi các đoạn chia này nhỏ dần thì, muốn cho S() S() tiến tới 0 đương nhiên các số tj và tj phải sát dần nhau, tức là dao động j phải nhỏ dần. Do đó muốn tích phân tồn tại, hàm số phải khá liên tục, hay nói chính xác hơn, phải liên tục h.k.n.
Đó là nguyên nhân đơn giản giải tích tại sao tích phân Riemann không áp dụng được cho những hàm số quá ư gián đoạn. Để vượt qua sự hạn chế ấy, Lebesgue đề ra ý kiến độc đáo là khi chia nhỏ đoạn , không nên nhóm lại các điểm gần nhau trên , mà nên nhóm lại các điểm tại đấy giá trị của hàm số gần nhau. Tức là không nên chia ra từng đoạn nhỏ, mà nên chia nó ra từng tập hợp nhỏ, mỗi tập bao gồm những điểm ứng với những giá trị gần nhau của (x). Theo quan điểm cơ bản đó Lebesgue đã xây dựng được một khái niệm tích phân rất tổng quát, áp dụng cho tất cả các hàm số đo được và bị chặn.
Phương pháp xây dựng tích phân trình bày dưới đây, về thực chất dự trên ý đó.