2. TÍCH PHÂN LEBESGUE
2.1.1. Tích phân Riemann trong Rk
Cho hàm số ƒ( x) xác định và bị chặn trên một đoạn 1
= x = ( 1,..., k) : i ξi ≤ i . i = 1,..., k
Ta chia mỗi đoạn i, i của đoạn ra pi phần bởi các điểm i = i0 i1 ...ipi =i, và dùng các mặt phẳng x :i = iq( i = 1..., k; q= 0,1,..., pi) chia thành s = p1 p2 .... pk đoạn nhỏ: 1, 2 ...,s. Một cách chia như thế gọi là một phân hoạch của đoạn . cỡ của phân hoạch ( ký hiệu: ) là đường kính lớn nhất của các đoạn chia trong phân hoạch ấy.
Ta thành lập các tổng Darboux dưới và trên:
S(σ) = s j 1 tj | j|, S(σ) = s j t 1 i | j|, Trong đó: tj = inf f( x); tj = sup f( x).
Dĩ nhiên - S (σ) S(σ) + . Nếu
lim (S(σ) - inf S(σ)) = 0, khi → 0
thì ta nói hàm số f( x) khả tích trên đoạn và khi ấy, giá trị chung. I: = sup S(σ) = inf S(σ).
Gọi là tích phân Riemann của f(x) trên và được ký hiệu. I = ( R) f(x)dx(R) ... f(,...,)d....d
Điều kiện (2) có thể viết dưới dạng: D(σ) = s j j 1
Trong đó j = tj - tj là dao động của ( x) trong j.
Vấn đề quan trọng đặt ra là: những hàm số như thế nào thì khả tích? Trong giáo trình giải tích cổ điển, người ta chứng minh rằng mọi hàm số liên (1)
tục, hoặc chỉ có một số hữu hạn điểm gián đoạn, đều khả tích (R). Nhưng ngoài các hàm số đó ra, còn những hàm số nào khác cũng khả tích ( R)? Đó là vấn đề mà đến đầu thế kỷ này Lebesgue mới giải quyết được triệt để nhờ vận dụng lý thuyết tập hợp và độ đo.
Sau đây ta sẽ trình bày cách giải quyết ấy: