Trong thực tế, có những vấn đề không biểu diễn bằng tập rõ đƣợc. Ví dụ nhƣ khi nói về vận tốc của một chiếc xe ô tô chạy trên đƣờng, ta cần chỉ ra là xe chạy với “vận tốc cao”, “vận tốc thấp”. Giả sử quy ƣớc vận tốc dƣới 40Km/h là vận tốc thấp, trên 60Km/h là vận tốc cao. Nhƣ vậy dải vận tốc từ 40Km/h đến
60Km/h sẽ thuộc vào vận tốc thấp hay vận tốc cao? Ngay cả quy ƣớc giới hạn vận tốc thấp hay cao tùy từng con đƣờng, thời điểm cũng có thể khác nhau. Nhƣ vậy mệnh đề “vận tốc cao”, “vận tốc thấp” không phải là một mệnh đề rõ cho phép xác định một tập rõ. Tƣơng tự nhƣ vậy, mệnh đề “ngƣời giàu”, “ngƣời nghèo”, “ngƣời trẻ”, “ngƣời già”,... đều không phải là “mệnh đề chính xác”. Trong các trƣờng hợp tƣơng tự nhƣ các ví dụ trên ngƣời ta sử dụng tập mờ để biểu diễn. Nếu tập rõ đƣợc xác định bởi các tính chất chính xác cho phép chúng ta biết một đối tƣợng là thuộc hay không thuộc tập đã cho và hàm thuộc của tập rõ chỉ nhận hai giá trị 0 hoặc 1, hàm thuộc của tập rõ nhận giá trị là 1 khi đối tƣợng thuộc tập đã cho; ngƣợc lại, nó sẽ nhận giá trị 0 khi đối tƣợng không thuộc tập đó. Từ những ví dụ trên cho thấy, các tập mờ có đặc trƣng là tính không rõ ràng, không chính xác. Các tập mờ đƣợc xác định bởi hàm thuộc mà giá trị của nó là các số thực từ 0 đến 1.
Trong tập mờ S, mỗi phần tử đƣợc xác định [8]:
μS : Ω -> M (2)
trong đó μS là hàm xác định phần tử của tập (hàm thành viên - membership function), Ω là tập nền, M là miền giá trị cho phép. Thông thƣờng M lựa chọn trong phạm vi [0,1]. vì vậy công thức (2) có thể viết lại:
μS : Ω -> [0,1] (3)
Support của tập mờ S, ký hiệu là supp(S), bao gồm các phần tử có bậc tƣ cách thành viên dƣơng:
supp(S) = { x ∈ Ω | μs(x) > 0 } (4)
α-cut của tập mờ S đƣợc ký hiệu Sα:
Sα = { x ∈ Ω | μs(x) ≥ α } (5)
Tƣơng tự, α-level cut của tập mờ S, ký hiệu là Sα, là tập con chứa tất cả các phần tử có bậc tƣ cách thành viên đúng bằng α:
Sα = { x ∈ Ω | μs(x) = α } (6)