Một chuỗi thanh ghi dịch cơ số hai tuyến tính, với chu kì 2m1
N , trong đó m là số đơn vị nhớ trong mạch hay bậc của đa thức sinh, được gọi là dãy nhị phân độ dài cực đại hay dãy m.
Đa thức sinh của dãy m được gọi là đa thức nguyên thủy. Định nghĩa toán học của đa thức nguyên thủy: đa thức tối giản g(x) là một đa thức nguyên thuỷ bậc m nếu số nguyên nhỏ nhất n, mà đối với số này n 1
x chia hết cho đa thức g(x), bằng 2m 1
n .
Ví dụ g(x) x5 x4 x2x11 là đa thức nguyên thủy có bậc m = 5 vì số nguyên nhỏ nhất n sao cho n 1
x chia hết cho g(x) là n25 131. Trái lại
1 )
(x x5x4x3x2 x1
g không phải là nguyên thủy vì
) 1 )( 1 ( 1 5 4 3 2 1 6 x x x x x x x do đó n nhỏ nhất là 6 không bằng 31.
Số lượng các đa thức nguyên thủy bậc m được tính bằng công thức sau:
) 1 1 ( | p m N N n p p (2.6)
Ở đây p|n ký hiệu “tất các các ước số nguyên tố khác nhau của n”.
Ví dụ với N=15; m=4 thì ta có tất cả các ước số nguyên tố của 15 là 3 và 5. Khi đó số các đa thức nguyên thủy cho trường hợp này sẽ là:
) 2 5 1 1 ).( 3 1 1 .( 4 15 p N .
Các đa thức nguyên thủy cho trường hợp này sẽ là: g(x) x4x31 và
1 )
(x x4 x
Ta có thể tìm các đa thức nguyên thủy bằng phương pháp "thử và lỗi". Sau đây là các đa thức nguyên thủy nhị phân bậc m = 3, 4, 5, 6.
m = 3: 1011 và 1101 m = 4: 10011 và 11001
m = 5: 100101, 110111, 101001, 111011, 101111, 111101
m = 6: 1000011, 1100111, 1011011, 1101101, 1100001, 1110011
Ở đây mục 1100111 tại m = 6 chẳng hạn ứng với đa thức x6 x5x2x 1. Một điểm đặc biệt nữa là các đa thức sinh có dạng ( ) m k 1,
x x x
g với 1<k<m chỉ có 3 số hạng khác không và chúng được gọi là các tam thức. Các tam thức sinh là loại có tốc độ cao vì chúng chỉ cần 1 cổng “hoặc loại trừ” trong mạch hồi tiếp bộ ghi dịch tuyến tính (hình 2.1 hoặc 2.3) không phụ thuộc vào bậc của m, do đó chúng rất được quan tâm trong thực tế.
Các đa thức nguyên thủy là không rút gọn được, tức không thể phân tích hành tích các đa thức có bậc nhỏ hơn, nhưng điều ngược lại thì không đúng.