Quy trỡnh dạy học phỏt hiện và giải quyết vấn đề k- 123docz.net

10. Cấu trỳc của luận văn

2.1.2. Quy trỡnh dạy học phỏt hiện và giải quyết vấn đề khỏi niệm toỏn học

Bước 1: Phỏt hiện, thõm nhập vấn đề

- Giỏo viờn đưa ra những vớ dụ cụ thể để học sinh thấy được sự tồn tại hoặc tỏc dụng của một loạt đối tượng nào đú cú liờn quan đến khỏi niệm cần định nghĩa.

- Đưa ra một khỏi niệm đó biết cú liờn quan đến khỏi niệm cần định nghĩa.

- Xuất phỏt từ nội bộ Toỏn học hoặc thực tiễn xõy dựng một hay nhiều đối tượng đại diện cho khỏi niệm cần định nghĩa.

Bước 2:Tỡm giải phỏp

- Giỏo viờn dẫn dắt học sinh phõn tớch, so sỏnh và nờu bật những đặc điểm chung của cỏc đối tượng đang được xem xột.

- Thờm vào nội hàm của khỏi niệm đó biết một số đặc điểm mà ta quan tõm.

- Khỏi quỏt húa quỏ trỡnh xõy dựng những đối tượng đại diện, đi tới đặc điểm đặc trưng cho khỏi niệm cần hỡnh thành.

Bước 3:Trỡnh bày giải phỏp

Giỏo viờn gợi mở để học sinh phỏt biểu định nghĩa khỏi niệm bằng cỏch nờu tờn và cỏc đặc điểm đặc trưng của khỏi niệm hoặc định nghĩa khỏi niệm nhờ một khỏi niệm tổng quỏt hơn cựng với những đặc điểm để hạn chế một bộ phận trong khỏi niệm tổng quỏt đú.

- Nhận dạng và thể hiện khỏi niệm.

- Phỏt biểu lại định nghĩa bằng những lời lẽ của mỡnh hoặc diễn đạt định nghĩa bằng những dạng ngụn ngữ khỏc nhau và phõn tớch, nờu bật những ý quan trọng chứa đựng trong định nghĩa.

- Khỏi quỏt húa, đặc biệt húa và hệ thống húa những khỏi niệm đó học.

2.1.3. Phương phỏp dạy học phỏt hiện và giải quyết vấn đề một số khỏi niệm toỏn học thuộc phần Nguyờn hàm - Tớch phõn lớp 12 THPT

2.1.3.1. Hoạt động dạy học khỏi niệm nguyờn hàm

Cỏc kiến thức liờn quan đó biết:

- Biết tớnh đạo hàm của cỏc hàm số trờn cỏc khoảng, đoạn, nửa khoảng. - Biết tỡm tập xỏc định của hàm số.

Mục tiờu của hoạt động: Học sinh tự hỡnh thành khỏi niệm và định nghĩa được khỏi niệm thụng qua những kiến thức liờn quan đó biết.

Triển khai hoạt động dạy học:

Bước 1: Phỏt hiện, thõm nhập vấn đề

GV đưa ra tỡnh huống: Hóy tỡm hàm số F(x) sao cho F’(x) = f(x) nếu:

2 2 . ( ) 3 , (- ; ); 1 . ( ) , - ; . cos 2 2 a f x x x b f x x x               Bước 2:Tỡm giải phỏp Ta cú:  3 2 3 x   x với x   (- ; ) nờn F x( ) x3thỡ F x'( ) f x( ).   12 tan cos x x   với (- ; ) 2 2 x    nờn F x( ) tanxthỡ F x'( )  f x( ). Khi đú ta gọi F(x) là một nguyờn hàm của hàm số f(x).

GV gợi ý HS phỏt hiện nội dung của định nghĩa khỏi niệm nguyờn hàm.

Bước 3:Trỡnh bày giải phỏp

Cho hàm số f(x) xỏc định trờn tập K. Hàm số F(x) được gọi là nguyờn hàm của hàm số f(x) trờn K nếu F’(x) = f(x) với mọi xK.

Bước 4:Nghiờn cứu sõu giải phỏp

VD1. Cho hàm số f(x) = 2x + 1. Biểu thức nào là nguyờn hàm của hàm số f(x) trờn khoảng (- ;   ) trong cỏc trường hợp sau:

a. F(x) = x2 + 1; b. F(x) = x2 + x; c. F(x) = x2 + 2x; d. F(x) = x2 + 3x. Nguyờn hàm của hàm số f(x) là: F(x) = x2

+ x.

VD2. Tỡm hai nguyờn hàm khỏc nhau của hàm số sau: a. f(x) = 3x2 trờn khoảng (- ;   ); b. f(x) = sinx trờn khoảng - ; 2 2        ;

Hai nguyờn hàm khỏc nhau của hàm số f(x) = 3x2 là: F(x) = x3 và F(x) = x3 + 3.

Hai nguyờn hàm khỏc nhau của hàm số f(x) = sinx là: F(x) = - cosx và F(x) = - cosx + 5.

2.1.3.2. Hoạt động dạy học khỏi niệm tớnh phõn

Cỏc kiến thức liờn quan đó biết:

- Biết tớnh nguyờn hàm của cỏc hàm số.

- Biết tớnh diện tớch của hỡnh thang, hỡnh trũn.

Mục tiờu của hoạt động: Học sinh tự hỡnh thành khỏi niệm và định nghĩa được khỏi niệm thụng qua những kiến thức liờn quan đó biết.

Triển khai hoạt động dạy học:

Bước 1: Phỏt hiện, thõm nhập vấn đề

GV đưa ra tỡnh huống: Hóy xột sự giống và khỏc nhau của hai hỡnh sau HS sẽ phỏt hiện ra là một hỡnh thỡ cú bốn cạnh đều là đoạn thẳng, hỡnh cũn lại thỡ cú ba cạnh là đoạn thẳng, một cạnh một đường cong từ đú HS sẽ tự hỡnh thành khỏi niệm hỡnh thang cong .

Hỡnh 2.1

GV chia HS làm hai nhúm và phỏt cho mỗi nhúm một phiếu học tập.

Phiếu 1: Hóy tớnh diện tớch của ba hỡnh được giới hạn bởi cỏc đường trong cỏc hỡnh vẽ sau:

Hỡnh 2.2

Phiếu 2: Hóy tớnh nguyờn hàm  f x dx( ) F x( )Ctrong đú y=f(x) được xỏc định trong hỡnh vẽ và tớnh F(b) – F(a).

GV yờu cầu HS lờn bảng trỡnh bày kết quả và so sỏnh của cỏc kết quả thu được của hai nhúm. HS sẽ phỏt hiện ra là kết quả của hai nhúm ứng với mỗi hỡnh vẽ là bằng nhau, và phỏt hiện ra là nếu F(x) là một nguyờn hàm của hàm f(x) thỡ diện tớch của cỏc hỡnh vẽ là: S = F(b) – F(a).

Bước 2:Tỡm giải phỏp

+ Diện tớch của ba hỡnh tương ứng là :

1 ( )( ) 2 b a b a S    ; 2 2 4 R S  ; 3 (2 )( ) 2 c a b b a S     . + Ta cú 2 2 2 ( )( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 x b a b a b a xdx  C F b F a       ; O x y y = x a b S1 O x y R R 2 2 y R x S2 O a b y = c-x x y S3

2 2 2 2 2 2 sin 1 ( ) ( ) 2 4 R x x x R R x dx ar C F b F a R R R                   ; 2 (2 )( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 x c b a b a cx dxcx  C F b F a      .

GV gợi ý HS phỏt hiện nội dung của định nghĩa khỏi niệm tớch phõn.

Bước 3:Trỡnh bày giải phỏp

GV hướng dẫn HS trỡnh bày định nghĩa khỏi niệm tớch phõn.

Cho hàm số f(x) liờn tục trờn đoạn [a; b]. Giả sử F(x) là một nguyờn hàm của f(x) trờn đoạn [a; b]. Hiệu số F(b) – F(a) được gọi là tớch phõn từ a đến b ( hay tớch phõn xỏc định trờn đoạn [a ; b]) của hàm số f(x), kớ hiệu là

( ) ( ) ( ) ( ) b a b f x dx F x F b F a a     . Ta gọi b a

 là dấu tớch phõn, a là cận dưới, b là cận trờn, f(x)dx là biểu thức dưới dấu tớch phõn.

Bước 4:Nghiờn cứu sõu giải phỏp

+ Tớch phõn của hàm số f từ a đến b cú thể kớ hiệu là ( ) b a f x dx  hay ( ) b a f t dt

 . Tớch phõn đú khụng phụ thuộc vào biến t hay x mà chỉ phụ thuộc vào f và cận a, b.

của hỡnh thang cong giới hạn bởi đồ thị của f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a ; x = b là ( ) b a S  f x dx. + VD. Tớnh cỏc tớch phõn sau: 1 1 0 0 (2 1) ; ( x 2) . I  x dx J  e  dx Giải: 1 2 0 1 0 1 (2 1) ( ) 2; 0 1 ( 2) ( 2 ) 1. 0 x x I x dx x x J e dx e x e             

2.2. Phƣơng phỏp dạy học phỏt hiện và giải quyết vấn đề định lớ toỏn học

2.2.1. Những yờu cầu khi dạy học định lớ toỏn học

Cỏc định lớ cựng với cỏc khỏi niệm Toỏn học tạo thành nội dung cơ bản của mụn Toỏn, làm nền tảng cho việc rốn luyện kĩ năng bộ mụn, đặc biệt là khả năng suy luận và chứng minh, phỏt triển năng lực trớ tuệ chung, rốn luyện tư tưởng, phẩm chất và đạo đức.

Việc dạy học cỏc định lớ Toỏn học nhằm đạt được cỏc yờu cầu sau đõy: + Học sinh nắm được hệ thống định lớ và những mối liờn hệ giữa chỳng, từ đú cú khả năng vận dụng chỳng vào hoạt động giải Toỏn cũng như giải quyết cỏc vấn đề trong thực tiễn.

+ Học sinh thấy được sự cần thiết phải chứng minh định lớ, thấy được chứng minh định lớ là một yếu tố quan trọng trong phương phỏp làm việc trờn lĩnh vực Toỏn học.

+ Học sinh hỡnh thành và phỏt triển năng lực chứng minh Toỏn học, từ chỗ hiểu chứng minh, trỡnh bày lại được chứng minh, nõng lờn đến mức độ

biết cỏch suy nghĩ để tỡm ra chứng minh theo yờu cầu của chương trỡnh phổ thụng.

+ Thụng qua việc học tập những định lớ Toỏn học, học sinh biết nhỡn nhận nội dung mụn Toỏn dưới gúc độ phỏt hiện và giải quyết vấn đề, đồng thời rốn luyện được khả năng phỏt hiện và giải quyết vấn đề ở mức độ yờu cầu của chương trỡnh phổ thụng.

2.2.2. Quy trỡnh dạy học phỏt hiện và giải quyết vấn đề định lớ toỏn học

Bước 1: Phỏt hiện, thõm nhập vấn đề

- Giỏo viờn tạo ra tỡnh huống gợi vấn đề chứa đựng nội dung của định lớ xuất phỏt từ nhu cầu nảy sinh trong thực tiễn hoặc trong nội bộ toỏn học.

- Giỏo viờn dẫn dắt học sinh phõn tớch, so sỏnh, khỏi quỏt húa, lật ngược vấn đề… để dự đoỏn, phỏt hiện nội dung định lớ và phỏt biểu định lớ.

Bước 2:Tỡm giải phỏp

Giỏo viờn dẫn dắt học sinh suy ngược, suy xuụi, phõn tớch, so sỏnh, đặc biệt húa, qui lạ về quen, huy động tri thức…để tỡm ra giải phỏp chứng minh định lớ.

Bước 3:Trỡnh bày giải phỏp

Giỏo viờn hoặc học sinh trỡnh bày lại toàn qua trỡnh từ việc phỏt biểu định lớ cho tới giải phỏp chứng minh định lớ.

Bước 4:Nghiờn cứu sõu giải phỏp

- Biết nhận dạng và thể hiện định lớ.

- Biết vận dụng định lớ vào giải cỏc bài tập toỏn học cú liờn quan.

- Biết phỏt biểu định lớ bằng lời lẽ của mỡnh và diễn đạt nội dung định lớ dưới dạng những ngụn ngữ khỏc nhau.

- Biết khỏi quỏt húa, đặc biệt húa… để tỡm ra cỏc tớnh chất mới và cỏc ứng dụng khỏc của định lớ.

2.2.3. Phương phỏp dạy học phỏt hiện và giải quyết vấn đề một số định lớ toỏn thuộc phần Nguyờn hàm - Tớch phõn lớp 12 THPT

2.2.3.1. Hoạt động dạy học định lớ: Nếu F(x) là một nguyờn hàm của hàm số f(x) trờn K thỡ với mỗi hằng số C, hàm số G(x) = F(x) + C cũng là một nguyờn hàm của hàm số f(x) trờn K.

Cỏc kiến thức liờn quan đó biết:

- Biết tớnh đạo hàm của cỏc hàm số trờn cỏc khoảng, đoạn, nửa khoảng. - Biết tỡm nguyờn hàm của hàm số bằng định nghĩa.

Mục tiờu của hoạt động: Học sinh tự hỡnh thành nội dung định lớ, phỏt biểu được định lớ, chứng minh được định lớ và tỡm được cỏc nguyờn hàm khỏc nhau của hàm số thụng qua những kiến thức liờn quan đó biết.

Triển khai hoạt động dạy học:

Bước 1: Phỏt hiện, thõm nhập vấn đề

GV đưa ra tỡnh huống: Hóy tỡm một số nguyờn hàm khỏc nhau của cỏc hàm số sau: . ( ) 2 , (- ; ); . ( ) cos , - ; . 2 2 a f x x x b f x x x            

HS dễ dàng tỡm được một số nguyờn hàm của cỏc hàm số trờn dựa vào định nghĩa của nguyờn hàm.

Ta cú: F(x) = x2 ; F(x) = x2 + 2; F(x) = x2 + 5 là cỏc nguyờn hàm của hàm số f(x) 2 ;  x x   (- ; ) vỡ F’(x) = f(x).

F(x) = sinx ; F(x) = sinx - 4; F(x) = sinx + 3 là cỏc nguyờn hàm của hàm số f(x) cos ; - ;

2 2

x x    

   vỡ F’(x) = f(x).

GV đưa ra cõu hỏi: Em cú nhận xột gỡ về cỏc nguyờn hàm khỏc nhau của cựng một hàm số?

HS sẽ phỏt hiện ra là: Nếu F(x) là một nguyờn hàm của f(x) thỡ khi F(x) cộng thờm với một số bất kỡ cũng là một nguyờn hàm của định của f(x). Từ đú GV gợi ý để HS phỏt hiện ra nội dung của định lớ là: Nếu F(x) là một nguyờn

hàm của hàm số f(x) trờn K thỡ F(x) + C cũng là một nguyờn hàm của hàm số f(x) (với C là một hằng số tựy ý).

Bước 2:Tỡm giải phỏp

GV hướng dẫn HS tỡm cỏch chứng minh định lớ.

Ta tớnh đạo hàm G’(x) = (F(x) + C)’ = F’(x).

Bước 3:Trỡnh bày giải phỏp

GV yờu cầu HS phỏt biểu và chứng minh định lớ.

Định lớ: Nếu F(x) là một nguyờn hàm của hàm số f(x) trờn K thỡ với mỗi hằng số C, hàm số G(x) = F(x) + C cũng là một nguyờn hàm của hàm số f(x) trờn K.

Chứng minh:

Ta cú: G’(x) = (F(x) + C)’ = F’(x) mà F(x) là một nguyờn hàm của hàm số f(x) trờn K nờn F’(x) = f(x) nờn G’(x) = f(x).

Vậy G(x) cũng là một nguyờn hàm của hàm số trờn K.

Bước 4:Nghiờn cứu sõu giải phỏp

GV yờu cầu HS làm cỏc vớ dụ sau để củng cố định lớ.

VD1. Cho hàm số f(x) = 4x. Biểu thức nào sau đõy khụng phải là nguyờn hàm của hàm số f(x) trờn khoảng (- ;   ):

a. F(x) = 2x2 + 1; b. F(x) = 2x2 + x; c. F(x) = 2x2 + 2; d. F(x) = 2x2 + 5. Nguyờn hàm của hàm số f(x) là: F(x) = x2

+ x.

VD2. Tỡm hai nguyờn hàm khỏc nhau của hàm số sau f(x) = sinx + 1 trờn khoảng - ; 2 2        .

Hai nguyờn hàm khỏc nhau của hàm số f(x) = sinx trờn khoảng - ; 2 2         là: F(x) = - cosx + x và F(x) = - cosx + x + 5.

2.2.3.2. Hoạt động dạy học định lớ: Nếu F(x) là một nguyờn hàm của hàm số f(x) trờn K thỡ mọi nguyờn hàm của f(x) trờn K đều cú dạng F(x) + C, với C là một hằng số.

Cỏc kiến thức liờn quan đó biết:

- Biết tớnh đạo hàm của cỏc hàm số trờn cỏc khoảng, đoạn, nửa khoảng. - Biết tỡm cỏc nguyờn hàm khỏc nhau của hàm số bằng định nghĩa và bằng cỏch thờm vào nguyờn hàm cỏc hằng số C tuỳ ý.

Mục tiờu của hoạt động: Học sinh tự hỡnh thành nội dung định lớ, phỏt biểu được định lớ, chứng minh được định lớ và tỡm được cỏc nguyờn hàm của hàm số thụng qua những kiến thức liờn quan đó biết.

Triển khai hoạt động dạy học:

Bước 1: Phỏt hiện, thõm nhập vấn đề

GV đưa ra tỡnh huống: Hóy tỡm một nguyờn hàm của hàm số từ đú suy ra một số nguyờn hàm khỏc nhau của cỏc hàm số sau:

. ( ) , (- ; ); . ( ) - sin , - ; . 2 2 x a f x e x b f x x x             

HS dễ dàng tỡm được một nguyờn hàm của hàm số dựa vào định nghĩa khỏi niệm nguyờn hàm và từ đú suy ra cỏc nguyờn hàm khỏc nhau của hàm số bằng cỏch thờm vào nguyờn hàm cỏc hằng số C tựy ý.

Ta cú F(x) = ex là một nguyờn hàm của hàm số f(x)ex , x   (- ; ) vỡ F’(x) = f(x) suy ra: F(x) = ex + 1;

F(x) = ex + 3; F(x) = ex – 4; F(x) = ex + 100.

đều là một nguyờn hàm của hàm số f(x)ex , x   (- ; )

vỡ F’(x) = f(x), suy ra: F(x) = - cosx + 3; F(x) = - cosx + 5; F(x) = - cosx + 7;

F(x) = - cosx + 13.

đều là một nguyờn hàm của hàm số ( ) sin , f x  x x  ( ; ). GV đưa ra cõu hỏi: Em cú nhận xột gỡ về cỏc nguyờn hàm khỏc nhau của cựng một hàm số?

HS sẽ phỏt hiện ra là: Cỏc nguyờn hàm của f(x) đều cú dạng F(x) + C. Từ đú GV gợi ý để HS phỏt hiện ra nội dung của định lớ là: Nếu F(x) là một nguyờn hàm của hàm số f(x) thỡ mọi nguyờn hàm của f(x) đều cú dạng F(x) + C.

Bước 2:Tỡm giải phỏp

Giả sử G(x) cũng là một nguyờn hàm của f(x) trờn K. Khi đú ta tớnh đạo hàm (G(x) - F(x))’ =G’(x) - F’(x) = 0  G(x) – F(x) = C G(x) = F(x) + C.

Bước 3:Trỡnh bày giải phỏp

GV yờu cầu HS phỏt biểu và chứng minh định lớ.

Định lớ: Nếu F(x) là một nguyờn hàm của hàm số f(x) trờn K thỡ mọi nguyờn hàm của f(x) trờn K đều cú dạng F(x) + C, với C là một hằng số.

Chứng minh:

Giả sử G(x) cũng là một nguyờn hàm của f(x) trờn K tức là G’(x) = f(x) Khi đú (G(x) - F(x))’ = G’(x) - F’(x) = f(x) – f(x) = 0 . Vậy G(x) – F(x) là một hàm số khụng đổi trờn K  G(x) – F(x) = C G(x) = F(x) + C.

Khi đú ta cú thể viết  f x dx( )  F x( )C.

Bước 4:Nghiờn cứu sõu giải phỏp

GV yờu cầu HS tớnh cỏc nguyờn hàm sau để củng cố định lớ. VD. Tớnh cỏc nguyờn hàm sau:

. 2 ; . x ; . .

Giải: 2

. 2 ; . x x ; . sin .

a  xdx x C b e dx e C c cosxdx  x C

2.2.3.3. Hoạt động dạy học định lớ: kf x dx( ) k f x dx ( ) (k là hằng số khỏc 0).

Cỏc kiến thức liờn quan đó biết:

- Biết tớnh đạo hàm của cỏc hàm số trờn cỏc khoảng, đoạn, nửa khoảng. - Biết tớnh nguyờn hàm của hàm số dựa vào định nghĩa nguyờn hàm . Mục tiờu của hoạt động: Học sinh phỏt hiện ra nội dung định lớ, phỏt biểu được định lớ, chứng minh được định lớ và tỡm được nguyờn hàm của hàm số thụng qua nội dung định lớ.

Triển khai hoạt động dạy học:

Bước 1: Phỏt hiện, thõm nhập vấn đề

GV đưa ra tỡnh huống: Hóy tớnh cỏc nguyờn hàm sau trờn khoảng(- ;   ):

. 2 2 ; 3 x 3 x . a xdx; xdx