Dạy học sinh phương pháp giải bài tập toán

7. Cấu trúc luận văn

1.5.3. Dạy học sinh phương pháp giải bài tập toán

Bài tập toán học rất đa dạng và phong phú. Việc giải bài tập là một yêu cầu quan trọng đối với mọi học sinh. Có thể chia bài tập toán học ra làm hai loại:

Để giải loại này học sinh phải nắm vững các quy tắc giải đã học rèn luyện kỹ năng, kỹ xảo. Đây là cơ sở quan trọng để giải các bài toán phức tạp hơn. Yêu cầu cho học sinh là:

- Nắm vững quy tắc giải đã học. - Nhận dạng đúng bài toán

- Giải theo quy tắc đã học một cách thành thạo

b) Loại chưa có sẵn thuật toán.

Loại bài tập này chiếm số lượng khá lớn trong sách giáo khoa và gây cho học sinh không ít khó khăn dẫn đến tâm lý sợ và ngại, thiếu tự tin vào khả năng của mình. Đây là một trở ngại lớn cho ý chí tiến thủ vươn lên trong học tập của học sinh. Do vậy khi dạy học sinh giải bài tập, không chỉ đơn thuần cung cấp lời giải mà quan trọng hơn là: Dạy cho học sinh biết cách suy nghĩ tìm ra con đường hợp lý để giải bài toán.

1.6. Tổ hợp và Xác suất trong chƣơng trình môn Toán phổ thông của Việt Nam hiện tại và những năm vừa qua

Do xu thế hội nhập trên thế giới hiện nay. Hoà chung với xu thế đổi mới tiến bộ trên thế giới trong lĩnh vực chương trình SGK phổ thông cũng là một trong những yêu cầu cần thiết. Từ những thập niên cuối của thế kỉ XX, nhiều quốc gia đã chuẩn bị và triển khai cải cách giáo dục, tập trung vào giáo dục phổ thông mà trọng điểm là cải cách chương trình và SGK phổ thông. Chương trình của các nước đều hướng tới mục tiêu nâng cao chất lượng giáo dục, trực tiếp góp phần cải thiện chất lượng nguồn nhân lực, nâng cao chất lượng sống của con người; khắc phục tình trạng học tập nặng nề, căng thẳng gây mất hứng thú và niềm tin đối với việc học tập của học sinh; . . .

Cùng với trào lưu đó, chương trình giáo dục, SGK phổ thông của Việt Nam luôn được cải cách, chỉnh lí. Quá trình cải cách được tiến hành qua nhiều lần, do đó dẫn đến sự thay đổi về nội dung, phương pháp trình bày.

1.6.1. Sơ lược về nội dung Tổ hợp và Xác suất trong chương trình Toán phổ thông

Đã nói đến cải cách và chỉnh lí thì tất nhiên sẽ có sự thay đổi về nội dung, chương trình. Chúng ta nhìn lại nội dung chủ đề Tổ hợp và Xác suất trong chương trình Toán phổ thông từ khi nền Giáo dục Việt Nam có chương trình phân ban thí điểm.

Bộ SGK dành cho cấp phổ thông trung học phân ban thí điểm đầu tiên của nhóm tác giả: Phan Đức Chính, Ngô Hữu Dũng, Trần Văn Hạo (1996). ở đây, nội dung chủ đề Tổ hợp và Xác suất được trình bày trong chương cuối sách Giải tích 12, bao gồm:

Phần A: Đại số tổ hợp

1. Bộ sắp thứ tự gồm n phần tử 2. Quy tắc cơ bản của phép đếm 3. Hoán vị - Chỉnh hợp

4. Tổ hợp

5. Nhị thức Niutơn Phần B: Xác suất 1. Khái niệm Xác suất

2. Các tính chất của Xác suất 3. Xác suất có điều kiện

4. Liên hệ với một số bài toán về thống kê

Tồn tại song song với bộ sách trên là hai bộ sách cho học sinh phổ thông trung học không phân ban, trong hai bộ sách này học sinh không phân ban không được học phần Xác suất mà chỉ được học phần Tổ hợp:

Một là, sách của nhóm tác giả: Ngô Thúc Lanh, Vũ Tuấn, Ngô Xuân Sơn (1999), nội dung phần Tổ hợp được giới thiệu ở chương V, Giải tích 12:

1. Chỉnh hợp - Hoán vị - Tổ hợp 2. Công thức nhị thức Niutơn

Hai là, sách của nhóm tác giả: Phan Đức Chính - Ngô Hữu Dũng - Hàn Liên Hải, Giải tích 12, chương IV: Một số yếu tố về Tổ hợp

1. Phương pháp quy nạp toán học (1,5 tiết) 2. Bài toán chọn và quy tắc nhân (0,5 tiết) 3. Hoán vị (1,5 tiết) 4. Chỉnh hợp (2 tiết) 5. Tổ hợp (1 tiết) 6. Khai triển Niutơn (1 tiết)

Đến năm 2000, các bộ sách được hợp nhất, trên toàn quốc chỉ dùng chung một bộ sách, Bộ Giáo dục bỏ chương trình phân ban. Lúc này học sinh phổ thông lại không được học về Xác suất, mà chỉ được học phần Tổ hợp, gồm các kiến thức sau:

1.Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp 2.Công thức nhị thức Niutơn

Trong lần phân ban thí điểm hiện nay, tồn tại hai bộ sách của hai nhóm tác giả, nội dung Tổ hợp và Xác suất được đưa vào chương trình Đại số và Giải tích 11, dạy học cho tất cả học sinh của các ban, tuy nhiên mức độ yêu cầu của các ban là khác nhau:

- Bộ sách của nhóm tác giả do Đoàn Quỳnh (tổng chủ biên) gồm các bài sau: 1. Hai quy tắc đếm cơ bản (1 tiết)

2. Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp (4 tiết) 3. Công thức nhị thức Niutơn (1 tiết) 4. Biến cố và xác suất của biến cố (3 tiết) 5. Các quy tắc tính xác suất (3 tiết) 6. Xác suất có điều kiện (2 tiết) 7. Phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc (1 tiết) 8. Kỳ vọng, phương sai (1 tiết)

2. Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp (4 tiết) 3. Xác suất của biến cố (4 tiết) 4. Xác suất có điều kiện (3 tiết) 5. Biến ngẫu nhiên (2 tiết) 6. Kỳ vọng và phương sai của biến ngẫu nhiên (3 tiết)

Hiện tại trên toàn Quốc học sinh được học chung một bộ sách theo chương trình cải cách giáo dục, nội dung Tổ hợp và Xác suất được đưa vào chương trình Đại số và Giải tích lớp 11, về lượng kiến thức là như nhau đối với tất cả các ban nhưng khác nhau về mức độ yêu cầu. Bao gồm:

1. Hai quy tắc đếm cơ bản 2. Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp 3. Nhị thức Niu-tơn

4. Biến cố và xác suất của biến cố 5. Các quy tắc tính xác suất

6. Biến ngẫu nhiên rời rạc

1.6.2. Một số điểm khác nhau trong nội dung kiến thức chủ đề Tổ hợp và Xác suất qua những lần chỉnh lí

1.6.2.1. Về nội dung Tổ hợp

Nội dung kiến thức Tổ hợp đưa vào chương trình Toán phổ thông qua các năm tương đối ổn định, chủ yếu gồm các vấn đề: Khái niệm Hoán vị, Tổ hợp, Chỉnh hợp; công thức tính số hoán vị, số chỉnh hợp, số tổ hợp; khai triển nhị thức Niutơn. Hiển nhiên đã có sự cải cách, chỉnh lí thì ắt có sự khác nhau. Chẳng hạn:

- Cuốn sách năm 1999 của Phan Đức Chính, có thêm các nội dung: Phương pháp quy nạp Toán học; Bài toán chọn và quy tắc nhân; Tam giác Pascal.

- Sách giáo khoa thí điểm (1996) có thêm kiến thức: Bộ sắp thứ tự gồm n phần tử; quy tắc của phép đếm (quy tắc nhân); tam giác Pascal.

- Chương trình chỉnh lí hợp nhất năm 2000 và sách giáo khoa thí điểm

hiện tại, phần Tổ hợp giới thiệu hai quy tắc: nhân và cộng của phép đếm. Đó là sự khác nhau về lượng kiến thức, bên cạnh đó còn có sự khác nhau về cách trình bày, thứ tự các kiến thức. Điều này cũng dễ hiểu vì mỗi nhóm tác giả có một quan điểm về phương pháp không giống nhau. Tuy nhiên, cùng một nội dung kiến thức mà các sách lại có sự khác nhau về định nghĩa, cách chứng minh thì chúng ta cũng cần phải bình luận để có thể đưa ra một cách hiểu thống nhất. Sau đây là những điểm khác nhau đó:

Với khái niệm Hoán vị, trong sách của Ngô Thúc Lanh (1999) thì Hoán vị được định nghĩa thông qua định nghĩa Chỉnh hợp (trước đó đã trình bày khái niệm Chỉnh hợp): “Một chỉnh hợp chập n của n phần tử được gọi là một hoán vị của n phần tử ấy”, định nghĩa này không nêu lên n thuộc tập nào và định nghĩa kiểu như vậy thì đặc điểm của hoán vị không được thấy rõ ở chỗ: Một hoán vị của n phần tử là một cách sắp xếp n phần tử đó theo một thứ tự nhất định. Còn nhóm tác giả Phan Đức Chính (1999), thì khái niệm Hoán vị được định nghĩa đầu tiên: “Một hoán vị của n phần tử là một bộ gồm n phần tử đó được sắp xếp theo một thứ tự nhất định, mỗi phần tử có mặt đúng một lần”, ở đây cũng không nói được n thuộc tập nào. Sách phân ban thí điểm (1996) thì định nghĩa: “Cho tập hợp A gồm n phần tử, n  1. Một hoán vị của n phần tử của A là một bộ - n sắp thứ tự của các phần tử này, mỗi phần tử có mặt đúng một lần”, định nghĩa này tương đối chặt chẽ tuy nhiên có sử dụng khái niệm “bộ - n sắp thứ tự” đã được định nghĩa ngay bài đầu của chương. Sách chỉnh lí hợp nhất năm 2000, định nghĩa Hoán vị: “Cho tập hợp A gồm n phần tử (n  1). Mỗi cách xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A được gọi là một hoán vị của n phần tử đó”, định nghĩa này không nêu lên được sự khác nhau của các phần tử trong tập hợp A. Trong sách phân ban thí điểm lần này thì

hiểu: “Kết quả của sự sắp xếp n phần tử khác nhau theo một thứ tự nào đó được gọi là một hoán vị của n phần tử đó” (Trần Văn Hạo (tổng chủ biên)); “Cho tập hợp A có n phần tử. Khi sắp xếp n phần tử này theo một thứ tự, ta được một hoán vị các phần tử của tập A” (Đoàn Quỳnh (tổng chủ biên) 2002), tuy nhiên trong hai định nghĩa này n cũng không được chỉ rõ thuộc tập nào. Nếu như vậy thì n = 0 thì có hoán vị không? một hoán vị theo định nghĩa đó là một cách xếp thứ tự mà n = 0 tức là không có phần tử nào dẫn đến không có sự sắp thứ tự.

Khái niệm Chỉnh hợp cũng có nhiều điều cần bình luận: Sách của Ngô Thúc Lanh (1999) định nghĩa: “Cho một tập hợp gồm n phần tử. Mỗi tập con sắp thứ tự (tức là có kể đến thứ tự kế tiếp của các phần tử) gồm k ( 0  k  n) trong n phần tử đã cho gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử đó”. Trong định nghĩa này điều kiện ( 0  k  n), tức là k có thể nhận giá trị 0 dẫn đến một tập hợp không có phần tử nào và tập không có một phần tử nào thì có sự “sắp thứ tự” không? rõ ràng k = 0 là vô nghĩa. Ta so sánh với sách của Phan Đức Chính cũng trong thời điểm đó, Chỉnh hợp được định nghĩa: “Một chỉnh hợp chập k của n phần tử (0 < k  n) là một bộ sắp thứ tự gồm k phần tử lấy ra từ n phần tử đã cho”; sau định nghĩa có nêu lên dấu hiệu nhận biết hai chỉnh hợp chập n của n phần tử khác nhau là:

- Hoặc chúng có ít nhất một phần tử khác nhau

- Hoặc chúng có k phần tử như nhau, nhưng sắp xếp theo thứ tự khác nhau.

Ta thấy k không thể bằng 0. Trong những cuốn sách sau này đều định nghĩa chỉnh hợp chập k của n phần tử với điều kiện 1  k  n, điều này là hợp lí và có thể xem như đó là sự thống nhất. Tuy nhiên cũng trong nội dung chỉnh hợp có một chi tiết rất đáng chú ý là khi đưa ra công thức tính số chỉnh hợp chập k của n phần tử, tức tính Ankthì có hai công thức: Ank = n(n-1)(n-2)...(n-k+1)

(1) vàAnk= )! ( ! k n n

 (2); với công thức (1) đúng với mọi 1  k  n, còn công

thức (2) với k = n thì dẫn đến ! 0 ! n k n

A  , nếu không có sự quy ước 0! = 1 thì với k = 1 công thức (2) không có nghĩa. Điều này thể hiện ở sách của Ngô Thúc Lanh (1999), trong cả chương Tổ hợp không thấy có sự quy ước 0! = 1 vậy mà đưa ra công thức (2), cũng trong sách này tác giả lại dùng khái niệm chỉnh hợp để định nghĩa hoán vị. Ta nhận thấy rằng khái niệm hoán vị là trường hợp riêng của khái niệm chỉnh hợp khi k = n, với quy ước 0! = 1 thì công thức tính số hoán vị cũng được suy ra từ công thức tính số chỉnh hợp; tuy nhiên việc lấy khái niệm này để định nghĩa khái niệm kia không phải là cách tối ưu trong khi đó vẫn có thể định nghĩa nó một cách độc lập.

Nếu như định nghĩa chỉnh hợp với điều kiện 1  k  n thì với k = 0 thì 0

n

A không thuộc vào định nghĩa, nhưng trong sách Đại số và Giải tích 11 của

Đoàn Quỳnh (2002) (tổng chủ biên) có sự quy ước 0An = 1 nhằm mục đích gì? theo như sách viết thì “người ta quy ước A = 1. Khi đó công thức (2) n0 đúng cho cả k = 0. Vậy công thức (2) đúng với 0  k  n”, công thức (2) đúng với k = 0 mang ý nghĩa gì? phải chăng sự rút ra kết luận như vậy để nhằm mục đích khi đưa ra công thức tính số tổ hợp chập k của n phần tử thông qua công thức tính số chỉnh hợp chập k của n phần tử

! k k n A k n C  (3), thế nhưng cũng trong cuốn sách này định nghĩa tổ hợp với 1  k  n: “Cho một tập hợp A có n phần tử và số nguyên k với 1  k  n. Mỗi tập con của A có k phần tử được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử của A” và sau đó đưa ra công thức ! k k n A k n

C  với 1  k  n, với k = 0 thì lại có sự quy ước 1

0 

k phần tử của tập n phần tử đó thì trong một tập hợp A gồm n phần tử, tập 

là tập không có phần tử nào cũng là tập con của tập A do đó nó cũng là một tổ hợp với k = 0 suy ra Cn0 1 không phải là sự quy ước do đó k = 0 nên đưa vào định nghĩa tổ hợp. Vậy phải định nghĩa tổ hợp với 0  k  n như sau:

Cho tập hợp A gồm n phần tử. Mỗi tập con gồm k (0  k  n) phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đã cho. Khi đã định nghĩa như vậy thì k = 0 là thuộc vào định nghĩa nên không cần phải chú thích như ở trong sách của Trần Văn Hạo (2002) nữa.

Sự chứng minh công thức tính số tổ hợp chập k của n phần tử, tức tính

k n

C , ta phải phân ra hai trường hợp k = 0 và 0 < k  n. Trong trường hợp k = 0 thì Cn0 1, còn 0 < k  n thì ! k k n A k n C  (3) hay )! ( ! ! k n k n k n C   (4); và nhận thấy rằng công thức (4) vẫn đúng cho cả k = 0, để công thức (3) đúng cho k = 0 thì đến đây nên quy ước 0A = 1.n

Tóm lại mỗi nhóm tác giả có một quan điểm riêng khi viết sách giáo khoa, thế nhưng nếu không có sự thống nhất sẽ gây cho người dạy lúng túng và người học thì không có sự hiểu rõ ràng.

Hiện nay, trong chương trình cải cách giáo dục lần này học sinh trên cả nước được học thống nhất một bộ sách theo chương trình phân ban. Nội dung về Tổ hợp không thay đổi về lượng kiến thức, nhưng nội dung kiến thức có sự thay đổi. Những điểm không thống nhất trong chương trình trước đây bây giờ được trình bày theo một quan điểm: Chỉnh hợp chập k của một tập hợp có n phần tử và tổ hợp chập k của một tập hợp có n phần tử đều được định nghĩa với 1 k n, còn khi k0đều có sự quy ước 0! 1 , 0 1An  và 0 1Cn  nhằm mục đích để cho các công thức ! ( )! n k An  n k  , !( ! )! n k Cn k n k  đúng với

0 k n. Tuy nhiên, sự quy ước 0 1Cn  có cơ sở để giải thích đó là: coi 

là tổ hợp chập 0 của tập hợp có n phần tử. Cách khắc phục này có phải là phương án tối ưu?

1.6.2.2. Về nội dung Xác suất

Xác suất trước đây chỉ học sinh phân ban mới được học, với kiến thức tương đối đơn giản và lượng kiến thức cũng ít hơn so với nội dung xác suất được đưa vào chương trình thí điểm lần này. Không chỉ có sự khác nhau trong