3/ Chú ý: a/ sin2α + cos2α =
BÀI TỐN DỰNG HÌNH
Nĩi đến dựng hình phải nhớ là dựng bằng thƣớc và compa. Ta đã học những phép dựng hình cơ bản sau:
Dựng một đoạn thẳng bằng một đoạn thẳng cho trƣớc.
Dựng một gĩc bằng một gĩc cho trƣớc.
Dựng đƣờng trung trực của một đoạn thẳng cho trƣớc ,dựng trung điểm của một đoạn thẳng cho trƣớc.
Dựng tia phân giác của một gĩc cho trƣớc .
Qua một điểm cho trƣớc ,dựng một đƣờng thẳng vuơng gĩc với một đƣờng thẳng cho trƣớc .
Qua một điểm nằm ngồi đƣờng thẳng cho trƣớc ,dựng đƣờng thẳng song song với đƣờng thẳng ấy .
Ta đã vận dụng các phép dựng hình cơ bản để dựng tam giác biết ba cạnh ,hoặc biết hai cạnh và gĩc xen giữa,hoặc biết một cạnh và gĩc kề.
Trong các bài tốn dựng hình phức tạp hơn,ta phải tuân thủ các bƣớc của phƣơng pháp dựng hình nhƣ sau:
Bƣớc 1:Phân tích hình. Bƣớc 2: Dựng hình.
Bƣớc 3:Chứng minh cách dựng trên thoả mãn yêu cầu của đề tốn.
Bƣớc 4:Biện luận: Xem lại từng phép dựng đã thực hiện để xem cĩ điều kiện ràng buộc khơng.Từ đĩ suy ra bài tốn cĩ mấy nghiệm hình.
Thí dụ 1:Dựng tam giác ABC ,biết cạnh BC = a ,trung tuyến AM = m (a và m là những độ dài cho trƣớc ) và gĩc giữa AM và đƣờng cao AH.
1. Phân tích:Giả sử bài tốn đã giải xong,và ta đã dựng đƣợc tam giác ABC thoả mãn yêu cầu của đề tốn .Phân tích hình đĩ theo hƣớng phát hiện một bộ phận của hình hội đủ các điều kiện để dựng đƣợc một cách chính xác.Đĩ là tam giác vuơng AHM cĩ cạnh huyền AM = m,và HAM = cho trƣớc.Tam giác đĩ hồn tồn xác
định nên dựng đƣợc. Sau khi dựng xong tam giác vuơng AHM ,ta hồn tất hình phải dựng chẳng khĩ khăn gì.Vậy ta cĩ cách dựng nhƣ sau :
2. Cách dựng:
Dựng đoạn thẳng AM cĩ độ dài m cho trƣớc (phép dựng cơ bản a). Dựng MAx = cho trƣớc (phép dựng cơ bản b).
Từ M kẻ MH Ax tại H (phép dựng cơ bản e).
Bây giờ chỉ cịn dựng hai đỉnh B,C .Cạnh BC nằm trên đƣờng thẳng MH,nên trên đƣờng thẳng MH ,ta lấy ở hai phía khác nhau đối với điểm M hai điểmB,C sao cho MB = MC =
2
a
(phép dựng cơ bản c và a).
3. Chứng minh: Rõ ràng tam giác trên đây thoả mãn đầy đủ các yêu cầu của đề tốn :cĩ cạnh BC = a cho trƣớc , trung tuyến AM = m cho trƣớc , MAH = cho trƣớc .
4. Biện luận :Lần lại từng khâu dựng hình , khâu nào cũng đƣợc thực hiện khơng cĩ gì trở ngại.Duy chỉ cĩ gĩc cho trƣớc và yêu cầu đề ra là MAH của tam giác vuơng AMH phải bằng ,thì rõ ràng phải là gĩc nhọn .Vậy với điều kiện này thì bài tốn bao giờ cũng giải đƣợc và cĩ một nghiệm hình .
Thí dụ 2 :Dựng một tam giác ABC với trung tuyến AM cĩ độ dài bằng một đoạn thẳng m cho trƣớc ,và các gĩc MAB và MAC lần lƣợt bằng những gĩc và cho trƣớc.
1. Phân tích :
Giảsử bài tốn đã giải xong và ta đã dựng đƣợc tam giác ABC thoả mãn yêu cầu bài tốn .Hình vẽ trên cho thấy khơng cĩ một bộ phận nào của hình hội đủ điều kiện để dựng đƣợc.
Thí dụ:Tam giác AMC chỉ cĩ hai yếu tố đƣợc biết là MAC = và AM = m ,nên khơng thể dựng đƣợc.Đây là lúc nhớ lại đƣợc những bài tốn tƣơng tự rất quí giá .
Thí dụ ,nhớ bài :nếu kéo dài trung tuyến AM thêm một đoạn MD = AM ,thì hai tam giác AMB và DMC bằng nhau (c,g,c) nên A1=D. Từ đĩ ,hình thành tam giác ACD với A2= , D = A1= và AD = 2m. Tam giác đĩ hội đủ điều kiện để dựng đƣợc .Sau khi dựng đƣợc tam giác này ,ta sẽ dựng đƣợc điểm B,chẳng gì khĩ khăn.
2. Cách dựng:
Dựng đoạn thẳng AD = 2m.
Dựng hai gĩc kề cạnh đĩ là DAC = và ADC =
,hai cạnh AC và DC giao nhau tại C.Sau đĩ ta vẽ trung tuyến CA của tam giác ACD và kéo dài thêm một đoạn MB =MC ,từ đĩ xác định đỉnh B của tam giác ABC cần dựng .
3. Chứng minh:Theo cách dựng này ,rõ ràng tam giác AMB và tam giác DMC bằng nhau(c,g,c).Từ đĩ AM =
2
AD
= m , A1=D = , A2= .Cho nên ,tam giác ABC dựng đƣợc thoả mãn đầy đủ các yêu cầu đề bài .
4. Biện luận :Trên đây ta nĩi hai cạnh AC và DC giao nhau tại C.Thực ra là chúng chỉ giao nhau nếu + < 2v .Do đĩ bài tốn luơn giải đƣợc và cĩ một nghiệm hình.
Thí dụ 3: Cho một gĩc xOy và một điểm M ở bên trong gĩc ấy .Dựng một đoạn thẳng AB sao cho AOx , BOy và M là trung điểm của AB.
1. Phân tích :Giả sử bài tốn giải xong và ta đã dựng đƣợc đoạn thẳng AB thoả mãn yêu cầu của đề bài là A Ox, B Oy và M là trung điểm của AB.
Nếu kéo dài OM thêm đoạn MD = OM thì AMO = BMD(c,g,c) O1= D .Từ đĩ , DB Ox .Ngƣợc lại, nếu từ D kẻ DB Ox
(B Oy ,rồi BM đến cắt Oxtại A thì AMO =BMD (g,c,g) với M1= M2 (đối đỉnh) ,M1= D (so le trong ,DB Ox) và MD =OM (do dựng ),từ đĩ AM = MB.
2. Cách dựng :Kéo dài OM thêm đoạn MD= OM ,rồi từ D kẻ đƣờng thẳng song với Ox ,cắt Oy tại B.Tiếp đến kẻ BM cho đến cắt Ox tại A thì M là trung điểm của