II. Cỏc tài liệu hỗ trợ:
1. Chứng minh quan hệ chia hết
Gọi A(n) là một biểu thức phụ thuộc vào n (n∈N hoặc n ∈Z)
a/ Để chứng minh A(n) chia hết cho m ta phân tích A(n) thành tích trong đó có một thừa số là m
+ Nếu m là hợp số ta phân tích m thành tích các thừa số đôI một nguyên tố cùng nhau rồi chứng minh A(n) chia hết cho tất cả các số đó
+ Trong k số liên tiếp bao giờ cũng tồn tại một số là bội của k
b/. Khi chứng minh A(n) chia hết cho n ta có thể xét mọi trờng hợp về số d khi chia m cho n
* Ví dụ1:
C/minh rằng A=n3(n2- 7)2– 36n chia hết cho 5040 với mọi số tự nhiên n Giải: Ta có 5040 = 24. 32.5.7 A= n3(n2- 7)2– 36n = n.[ n2(n2-7)2 – 36 ] = n. [n.(n2-7 ) -6].[n.(n2-7 ) +6] = n.(n3-7n – 6).(n3-7n +6) Ta lại có n3-7n – 6 = n3 + n2 –n2 –n – 6n -6 = n2.(n+1)- n (n+1) -6(n+1) =(n+1)(n2-n-6)= (n+1 )(n+2) (n-3) Tơng tự : n3-7n+6 = (n-1) (n-2)(n+3) d Do đó A= (n-3)(n-2) (n-1) n (n+1) (n+2) (n+3)
Ta thấy : A là tích của 7 số nguyên liên tiếp mà trong 7 số nguyên liên tiếp: - Tồn tại một bội số của 5 (nên A 5 )
- Tồn tại hai bội của 3 (nên A 9 )
- Tồn tại 3 bội của 2 trong đó có bội của 4 (nên A 16)
Vậy A chia hết cho 5, 7,9,16 đôi một nguyên tố cùng nhau ⇒ A 5.7.9.16= 5040
Ví dụ 2: Chng minh rằng với mọi số nguyên a thì : a/ a3 –a chia hết cho 3
b/ a5-a chia hết cho 5 Giải:
a/ a3-a = (a-1)a (a+1) là tích của các số nguyên liên tiếp nên tích chia hết cho 3 b/ A= a5-a = a(a2-1) (a2+1)
• Cách 1:
Ta xết mọi trờng hợp về số d khi chia a cho 5 - Nếu a= 5 k (k∈Z) thì A 5 (1)
- Nếu a= 5k ±1 thì a2-1 = (5k2±1) 2 -1 = 25k2± 10k5 ⇒A 5 (2) - Nếu a= 5k ±2 thì a2+1 = (5k±2)2 + 1 = 25 k2±20k +5 ⇒A 5 (3) Từ (1),(2),(3) ⇒A 5, ∀n ∈ Z
Cách 2:
Phân tích A thành một tổng của hai số hạng chia hết cho 5 : + Một số hạng là tích của 5 số nguyên liên tiếp
+ Một số hạng chứa thừa số 5
Ta có : a5-a = a( a2-1) (a2+1) = a(a2-1)(a2-4 +5) = a(a2-1) (a2-4) + 5a(a2-1) = a(a-1)(a+1) (a+2)(a-2)- 5a (a2-1)
Mà = a(a-1)(a+1) (a+2)(a-2) 5 (tích của 5 số nguyên liên tiếp ) 5a (a2-1) 5
Do đó a5-a 5
* Cách 3: Dựa vào cách 2: Chứng minh hiệu a5-a và tích của 5 số nguyên liên tiếp chia hết cho 5.
Ta có:
a5-a – (a-2)(a-1)a(a+1)(a+2) = a5-a – (a2- 4)a(a2-1) = a5-a - (a3- 4a)(a2-1) = a5-a - a5 + a3 +4a3 - 4a = 5a3 – 5a 5
⇒ a5-a – (a-2)(a-1)a(a+1)(a+2) 5
Mà (a-2)(a-1)a(a+1)(a+2) 5 ⇒ a5-a 5(Tính chất chia hết của một hiệu)
c/ Khi chứng minh tính chia hết của các luỹ thừa ta còn sử dụng các hằng đẳng thức:
an – bn = (a – b)( an-1 + an-2b+ an-3b2+ +ab… n-2+ bn-1) (HĐT 8) an + bn = (a + b)( an-1 - an-2b+ an-3b2 - - ab… n-2+ bn-1) (HĐT 9) - Sử dụng tam giác Paxcan:
1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 …..
Mỗi dòng đều bắt đầu bằng 1 và kết thúc bằng 1
Mỗi số trên một dòng (kể từ dòng thứ 2) đều bằng số liền trên cộng với số bên trái của số liền trên.
Do đó: Với ∀a, b ∈ Z, n ∈N: an – bn chia hết cho a – b( a≠b) a2n+1 + b2n+1 chia hết cho a + b( a≠-b) (a+b)n = Bsa +bn ( BSa:Bội số của a) (a+1)n = Bsa +1
(a-1)2n+1 = Bsa -1
* VD3: CMR với mọi số tự nhiên n, biểu thức 16n – 1 chia hết cho 17 khi và chỉ khi n là số chẵn.
Giải:
+ Cách 1: - Nếu n chẵn: n = 2k, k∈N thì:
A = 162k – 1 = (162)k – 1 chia hết cho 162 – 1( theo nhị thức Niu Tơn) Mà 162 – 1 = 255 17. Vậy A17
- Nếu n lẻ thì : A = 16n – 1 = 16n + 1 – 2 mà n lẻ thì 16n + 116+1=17 (HĐT 9)
⇒A không chia hết cho 17
+Cách 2: A = 16n – 1 = ( 17 – 1)n – 1 = BS17 +(-1)n – 1 (theo công thức Niu Tơn)
- Nếu n chẵn thì A = BS17 + 1 – 1 = BS17 chia hết cho 17
- Nếu n lẻ thì A = BS17 – 1 – 1 = BS17 – 2 Không chia hết cho 17 Vậy biểu thức 16n – 1 chia hết cho 17 khi và chỉ khi n là số chẵn, ∀ n ∈N
d/ Ngoài ra còn dùng phơng pháp phản chứng, nguyên lý Dirichlê để chứng minh quan hệ chia hết.
• VD 4: CMR tồn tại một bội của 2003 có dạng: 2004 2004 .2004…
Giải: Xét 2004 số: a1 = 2004 a2 = 2004 2004 a3 = 2004 2004 2004 ………. a2004 = 2004 2004 2004… 2004 nhóm 2004
Theo nguyên lý Dirichle, tồn tại hai số có cùng số d khi chia cho 2003. Gọi hai số đó là am và an ( 1 ≤ n <m ≤2004) thì am - an 2003 Ta có: am - an = 2004 2004……2004 000 00… m-n nhóm 2004 4n hay am - an = 2004 2004……2004 . 104n m-n nhóm 2004 mà am - an 2003 và (104n, 2003) =1 nên 2004 2004……2004 2003 m-n nhóm 2004 2. Tìm số d * VD1:Tìm số d khi chia 2100 a/ cho 9 b/ cho 25 Giải:
a/ Luỹ thừa của 2 sát với bội của 9 là 23 = 8 = 9 – 1
Ta có : 2100 = 2. 299= 2. (23)33 = 2(9 – 1 )33 = 2(BS9 -1) ( theo nhị thức Niu Tơn) = BS9 – 2 = BS9 + 7
Vậy 2100 chia cho 9 d 7
b/ Luỹ thừa của 2 gần với bội của 25 là 2 10 = 1024 =1025 – 1 Ta có:
2100 =( 210)10 = ( 1025 – 1 )10 = BS 1025 + 1 = BS 25 +1 (theo nhị thức Niu Tơn) Vậy 2100 chia cho 25 d 1
* VD2: Tìm 4 chữ số tận cùng của 51994 khi viết trong hệ thập phân Giải:
- Cách 1: Ta có: 1994 = 4k + 2 và 54 = 625
Ta thấy số tận cùng bằng 0625 khi nâng lên luỹ thừa nguyên dơng bất kì vẫn tận cùng bằng 0625
Do đó: 51994 = 54k+2=(54)k. 52 = 25. (0625)k = 25. ( 0625)= 5625… …
- Cách 2: Tìm số d khi chia 51994 ch 10000 = 24.54
Ta thấy 54k – 1 = (54)k – 1k chia hết cho 54 – 1 = (52 + 1) (52 - 1) 16
Ta có 51994 = 56(51988 – 1) + 56 mà 56 54 và 51988 – 1= (54)497 – 1 chia hết cho 16
⇒ ( 51994)3. 56(51988 – 1)chia hết cho 10000 còn 56= 15625 ⇒51994 = BS10000 + 15625 ⇒ 51994 chia cho 10000 d 15625 Vậy 4 chữ số tận cùng của 51994 là 5625