a)P được gọi là họCF nếu với mọi tập compắcK củaX thì họ
{K ∩P :P ∈ P} là họ hữu hạn.
b) P ={Pα :α∈ ∧}được gọi là họ HCF nếu với mọi tập conΓ⊂ ∧ và
Aα ⊂Pα, với mọi α∈Γthì họ {Aα:α∈Γ}là CF.
2.1.2 Mệnh đề. Cho X làk-không gian vàP là họ CF các tập con đóng của X. Khi đó các mệnh đề sau là tương đương.
a) P là họ đếm được địa phương (hữu hạn địa phương); b) P là họ đếm được-compắc (hữu hạn-compắc);
c) P là họ cs-đếm được (cs-hữu hạn);
Chương 2. Họ CF và cs-ánh xạ phủ compắc
2.1 Họ WHCP và họ CF
2.1.1 Định nghĩa. Giả sửX là không gian tôpô vàP là họ các tập con củaX.
a)P được gọi là họCF nếu với mọi tập compắcK củaX thì họ
{K ∩P :P ∈ P} là họ hữu hạn.
b) P ={Pα :α∈ ∧}được gọi là họ HCF nếu với mọi tập conΓ⊂ ∧ và
Aα ⊂Pα, với mọi α∈Γthì họ {Aα:α∈Γ}là CF.
2.1.2 Mệnh đề. Cho X làk-không gian vàP là họ CF các tập con đóng của X. Khi đó các mệnh đề sau là tương đương.
a) P là họ đếm được địa phương (hữu hạn địa phương); b) P là họ đếm được-compắc (hữu hạn-compắc);
c) P là họ cs-đếm được (cs-hữu hạn);
Chương 2. Họ CF và cs-ánh xạ phủ compắc
2.1 Họ WHCP và họ CF
2.1.1 Định nghĩa.Giả sử X là không gian tôpô vàP là họ các tập con củaX.
a)P được gọi là họCF nếu với mọi tập compắcK củaX thì họ
{K∩P :P ∈ P} là họ hữu hạn.
b) P ={Pα :α∈ ∧}được gọi là họ HCF nếu với mọi tập conΓ⊂ ∧ và
Aα ⊂Pα, với mọi α∈Γthì họ {Aα:α∈Γ}là CF.
b) P là họ đếm được-compắc (hữu hạn-compắc); c) P là họ cs-đếm được (cs-hữu hạn);
Chương 2. Họ CF và cs-ánh xạ phủ compắc
2.1 Họ WHCP và họ CF
2.1.1 Định nghĩa.Giả sử X là không gian tôpô vàP là họ các tập con củaX.
a)P được gọi là họCF nếu với mọi tập compắcK củaX thì họ
{K∩P :P ∈ P} là họ hữu hạn.
b) P ={Pα :α∈ ∧}được gọi là họ HCF nếu với mọi tập conΓ⊂ ∧ và
Aα ⊂Pα, với mọi α∈Γthì họ {Aα:α∈Γ}là CF.
2.1.2 Mệnh đề. Cho X làk-không gian vàP là họ CF các tập con đóng của X. Khi đó các mệnh đề sau là tương đương.
a) P là họ đếm được địa phương (hữu hạn địa phương); b) P là họ đếm được-compắc (hữu hạn-compắc);
c) P là họ cs-đếm được (cs-hữu hạn);
Chương 2. Họ CF và cs-ánh xạ phủ compắc
2.1.3 Hệ quả.Cho X làk-không gian và P là họ các tập con đóng của
X. Khi đó P là họ hữu hạn địa phương khi và chỉ khi P là họ hữu hạn-compắc.
b) P là họ HCP và hữu hạn theo điểm; c) P là họ CP và hữu hạn theo điểm; d) P là họ WHCP và hữu hạn theo điểm; e) P là họ HCF và hữu hạn theo điểm; f) P là họ CF và hữu hạn theo điểm; g) P là họ hữu hạn-compắc.
Chương 2. Họ CF và cs-ánh xạ phủ compắc
2.1.3 Hệ quả.Cho X làk-không gian và P là họ các tập con đóng của
X. Khi đó P là họ hữu hạn địa phương khi và chỉ khi P là họ hữu hạn-compắc.
2.1.6 Mệnh đề. Giả sử P là họ các tập con đóng của không gian dãy
X. Khi đó các mệnh đề sau là tương đương: a) P là họ hữu hạn địa phương;
b) P là họ HCP và hữu hạn theo điểm; c) P là họ CP và hữu hạn theo điểm; d) P là họ WHCP và hữu hạn theo điểm; e) P là họ HCF và hữu hạn theo điểm; f) P là họ CF và hữu hạn theo điểm; g) P là họ hữu hạn-compắc.
Chương 2. Họ CF và cs-ánh xạ phủ compắc
2.2 cs-ánh xạ phủ compắc
này làm mạnh hơn điều kiện đủ của định lý trên, cụ thể chỉ ra rằng
cs-ảnh phủ compắc hoặc ảnh Lindel¨op phủ compắc củak-không gian có k-lưới compắc, đếm được-compắc làk-không gian có k-lưới compắc, đếm được-compắc.
2.2.1 Mệnh đề. Mọi không gian Lindelo¨p với lưới σ-WHCP đều có một lưới đếm được phần tử vì vậy nó là không gian khả li.
2.2.2 Hệ quả. Giả sử f :X →Y là ánh xạ Lindelo¨p vàX có lưới σ-WHCP. Khi đó f là s-ánh xạ.
Chương 2. Họ CF và cs-ánh xạ phủ compắc
2.2 cs-ánh xạ phủ compắc
Trong [10] Z.Li đã chỉ ra: không gian có k-lưới compắc, đếm
được-compắc khi và chỉ khi nó là cs-ảnh phủ compắc của không gian mêtric compắc địa phương. Mệnh đề 2.2.4 và Hệ quả 2.2.5 trong mục này làm mạnh hơn điều kiện đủ của định lý trên, cụ thể chỉ ra rằng
cs-ảnh phủ compắc hoặc ảnh Lindel¨op phủ compắc củak-không gian có k-lưới compắc, đếm được-compắc làk-không gian có k-lưới compắc, đếm được-compắc.
2.2.1 Mệnh đề. Mọi không gian Lindelo¨p với lưới σ-WHCP đều có một lưới đếm được phần tử vì vậy nó là không gian khả li.
2.2.2 Hệ quả. Giả sử f :X →Y là ánh xạ Lindelo¨p vàX có lưới σ-WHCP. Khi đó f là s-ánh xạ.
Chương 2. Họ CF và cs-ánh xạ phủ compắc
2.2 cs-ánh xạ phủ compắc
Trong [10] Z.Li đã chỉ ra: không gian có k-lưới compắc, đếm
được-compắc khi và chỉ khi nó là cs-ảnh phủ compắc của không gian mêtric compắc địa phương. Mệnh đề 2.2.4 và Hệ quả 2.2.5 trong mục này làm mạnh hơn điều kiện đủ của định lý trên, cụ thể chỉ ra rằng
cs-ảnh phủ compắc hoặc ảnh Lindel¨op phủ compắc củak-không gian có k-lưới compắc, đếm được-compắc làk-không gian có k-lưới compắc, đếm được-compắc.
2.2.1 Mệnh đề. Mọi không gian Lindel¨op với lưới σ-WHCP đều có một lưới đếm được phần tử vì vậy nó là không gian khả li.
Chương 2. Họ CF và cs-ánh xạ phủ compắc
2.2 cs-ánh xạ phủ compắc
Trong [10] Z.Li đã chỉ ra: không gian có k-lưới compắc, đếm
được-compắc khi và chỉ khi nó là cs-ảnh phủ compắc của không gian mêtric compắc địa phương. Mệnh đề 2.2.4 và Hệ quả 2.2.5 trong mục này làm mạnh hơn điều kiện đủ của định lý trên, cụ thể chỉ ra rằng
cs-ảnh phủ compắc hoặc ảnh Lindel¨op phủ compắc củak-không gian có k-lưới compắc, đếm được-compắc làk-không gian có k-lưới compắc, đếm được-compắc.
2.2.1 Mệnh đề. Mọi không gian Lindel¨op với lưới σ-WHCP đều có một lưới đếm được phần tử vì vậy nó là không gian khả li.
2.2.2 Hệ quả. Giả sử f :X →Y là ánh xạ Lindelo¨p vàX có lưới σ-WHCP. Khi đó f là s-ánh xạ.
Chương 2. Họ CF và cs-ánh xạ phủ compắc
2.2.3 Mệnh đề. Giả sử X làk-không gian và P là k-lưới compắc. Khi đó các mệnh đề sau là tương đương.
a) P là họ đếm được-compắc; b) P là họ sao đếm được;
c) P là họ đếm được địa phương.
a) f là ánh xạ Lindelo¨p mạnh. b) f làcs-ánh xạ.
2.2.5 Hệ quả. cs-ánh xạ đóng hoặc ánh xạ Lindelo¨p mạnh, đóng bảo tồn
a) k-không gian vớik-lưới compắc, đếm được-compắc; b) k-không gian vớik-lưới compắc, sao đếm được;
Chương 2. Họ CF và cs-ánh xạ phủ compắc
2.2.3 Mệnh đề. Giả sử X làk-không gian và P là k-lưới compắc. Khi đó các mệnh đề sau là tương đương.
a) P là họ đếm được-compắc; b) P là họ sao đếm được;
c) P là họ đếm được địa phương.
2.2.4 Mệnh đề. Giả sử X làk-không gian vớik-lưới compắc, đếm được-compắc và f:X →Y là ánh xạ phủ compắc. Khi đó nếu một trong hai điều kiện sau thoả mãn thì Y có k-lưới compắc, đếm được-compắc. a) f là ánh xạ Lindelo¨p mạnh.
b) f làcs-ánh xạ.
2.2.5 Hệ quả. cs-ánh xạ đóng hoặc ánh xạ Lindelo¨p mạnh, đóng bảo tồn
a) k-không gian vớik-lưới compắc, đếm được-compắc; b) k-không gian vớik-lưới compắc, sao đếm được;
2.2.3 Mệnh đề. Giả sử X làk-không gian và P là k-lưới compắc. Khi đó các mệnh đề sau là tương đương.
a) P là họ đếm được-compắc; b) P là họ sao đếm được;
c) P là họ đếm được địa phương.
2.2.4 Mệnh đề. Giả sử X làk-không gian vớik-lưới compắc, đếm được-compắc và f:X →Y là ánh xạ phủ compắc. Khi đó nếu một trong hai điều kiện sau thoả mãn thì Y có k-lưới compắc, đếm được-compắc. a) f là ánh xạ Lindelo¨p mạnh.
b) f làcs-ánh xạ.
2.2.5 Hệ quả. cs-ánh xạ đóng hoặc ánh xạ Lindelo¨p mạnh, đóng bảo tồn
a) k-không gian vớik-lưới compắc, đếm được-compắc; b) k-không gian vớik-lưới compắc, sao đếm được;
kết luận
I. Nội dung chính của luận văn đã đạt được
Luận văn đã giới thiệu một cách có hệ thống không gian với cơ sở yếu đếm được địa phương,k-không gian với k-lưới compắc, đếm
được-compắc và một số tính chất của nó. Toàn bộ kết quả được chứng minh chi tiết trong luận văn đều là những kết quả mới của tác giả tự đề xuất và trình bày chứng minh. Cụ thể là:
• Đưa ra và chứng minh chi tiết một số tính chất cơ bản của không gian với cơ sở yếu đếm được địa phương vàk-không gian với k-lưới compắc, đếm được-compắc.
• Đặc trưng không gian với cơ sở yếu đếm được địa phương bằng
ss-ảnh mở yếu của không gian mêtric thể hiện ở Định lý 1.3.5
• Chỉ ra một số ánh xạ bảo tồn các không gian như ℵ-không gian, không gian với cơ sở yếu đếm được địa phương, k-không gian với
kết luận
I. Nội dung chính của luận văn đã đạt được
Luận văn đã giới thiệu một cách có hệ thống không gian với cơ sở yếu đếm được địa phương,k-không gian với k-lưới compắc, đếm
được-compắc và một số tính chất của nó. Toàn bộ kết quả được chứng minh chi tiết trong luận văn đều là những kết quả mới của tác giả tự đề xuất và trình bày chứng minh. Cụ thể là:
• Đặc trưng không gian với cơ sở yếu đếm được địa phương bằng
ss-ảnh mở yếu của không gian mêtric thể hiện ở Định lý 1.3.5
• Chỉ ra một số ánh xạ bảo tồn các không gian như ℵ-không gian, không gian với cơ sở yếu đếm được địa phương,k-không gian với
kết luận
I. Nội dung chính của luận văn đã đạt được
Luận văn đã giới thiệu một cách có hệ thống không gian với cơ sở yếu đếm được địa phương,k-không gian với k-lưới compắc, đếm
được-compắc và một số tính chất của nó. Toàn bộ kết quả được chứng minh chi tiết trong luận văn đều là những kết quả mới của tác giả tự đề xuất và trình bày chứng minh. Cụ thể là:
• Đưa ra và chứng minh chi tiết một số tính chất cơ bản của không gian với cơ sở yếu đếm được địa phương vàk-không gian với k-lưới compắc, đếm được-compắc.
• Đặc trưng không gian với cơ sở yếu đếm được địa phương bằng
ss-ảnh mở yếu của không gian mêtric thể hiện ở Định lý 1.3.5
• Chỉ ra một số ánh xạ bảo tồn các không gian như ℵ-không gian, không gian với cơ sở yếu đếm được địa phương,k-không gian với
kết luận
I. Nội dung chính của luận văn đã đạt được
Luận văn đã giới thiệu một cách có hệ thống không gian với cơ sở yếu đếm được địa phương,k-không gian với k-lưới compắc, đếm
được-compắc và một số tính chất của nó. Toàn bộ kết quả được chứng minh chi tiết trong luận văn đều là những kết quả mới của tác giả tự đề xuất và trình bày chứng minh. Cụ thể là:
• Đưa ra và chứng minh chi tiết một số tính chất cơ bản của không gian với cơ sở yếu đếm được địa phương vàk-không gian với k-lưới compắc, đếm được-compắc.
• Đặc trưng không gian với cơ sở yếu đếm được địa phương bằng
kết luận
I. Nội dung chính của luận văn đã đạt được
Luận văn đã giới thiệu một cách có hệ thống không gian với cơ sở yếu đếm được địa phương,k-không gian với k-lưới compắc, đếm
được-compắc và một số tính chất của nó. Toàn bộ kết quả được chứng minh chi tiết trong luận văn đều là những kết quả mới của tác giả tự đề xuất và trình bày chứng minh. Cụ thể là:
• Đưa ra và chứng minh chi tiết một số tính chất cơ bản của không gian với cơ sở yếu đếm được địa phương vàk-không gian với k-lưới compắc, đếm được-compắc.
• Đặc trưng không gian với cơ sở yếu đếm được địa phương bằng
ss-ảnh mở yếu của không gian mêtric thể hiện ở Định lý 1.3.5
• Chỉ ra một số ánh xạ bảo tồn các không gian như ℵ-không gian, không gian với cơ sở yếu đếm được địa phương,k-không gian với
kết luận
Kết quả chính của luận văn đã được đăng thành bài báo [1]: "Một số tính chất của họ CF vàcs-ánh xạ phủ compắc", Tạp chí Khoa học Đại học Vinh, 36(2A), 13-22 và bài báo đang chỉnh sửa [23].
Không gian với cơ sở yếu đếm được địa phương có bảo tồn qua
s-ánh xạ mở không?
• Trong những điều kiện cụ thể nào nữa thì các họ hữu hạn địa phương, CF, HCF, CP, WHCP, HCP là tương đương?
kết luận
Kết quả chính của luận văn đã được đăng thành bài báo [1]: "Một số tính chất của họ CF vàcs-ánh xạ phủ compắc", Tạp chí Khoa học Đại học Vinh, 36(2A), 13-22 và bài báo đang chỉnh sửa [23].
II. Một số vấn đề mở
• Không gian với cơ sở yếu đếm được địa phương có bảo tồn qua
s-ánh xạ mở không?
• Trong những điều kiện cụ thể nào nữa thì các họ hữu hạn địa phương, CF, HCF, CP, WHCP, HCP là tương đương?
kết luận
Kết quả chính của luận văn đã được đăng thành bài báo [1]: "Một số tính chất của họ CF vàcs-ánh xạ phủ compắc", Tạp chí Khoa học Đại học Vinh, 36(2A), 13-22 và bài báo đang chỉnh sửa [23].
II. Một số vấn đề mở
• Không gian với cơ sở yếu đếm được địa phương có bảo tồn qua
kết luận
Kết quả chính của luận văn đã được đăng thành bài báo [1]: "Một số tính chất của họ CF vàcs-ánh xạ phủ compắc", Tạp chí Khoa học Đại học Vinh, 36(2A), 13-22 và bài báo đang chỉnh sửa [23].
II. Một số vấn đề mở
• Không gian với cơ sở yếu đếm được địa phương có bảo tồn qua
s-ánh xạ mở không?
• Trong những điều kiện cụ thể nào nữa thì các họ hữu hạn địa phương, CF, HCF, CP, WHCP, HCP là tương đương?