1.3.2 Mệnh đề. Cho X là không gian với cơ sở yếu đếm được địa phương. Khi đó
a) X có sn-lưới đếm được địa phương; b) X có cs-lưới đếm được địa phương; c) X có cs∗-lưới đếm được địa phương; d) X có wcs∗-lưới đếm được địa phương; e) X có k-lưới đếm được địa phương.
1.3.3 Mệnh đề. Giả sử f :X −→Y là ánh xạ 1-phủ-dãy và X là không gian với cơ sở đếm được theo điểm. Khi đó ta có các khẳng định sau là đúng
a) Nếu f làs-ánh xạ thì Y là không gian có sn-lưới đếm được theo điểm;
b) Nếu f là ss-ánh xạ thì Y là không gian có sn-lưới đếm được địa phương;
Chương 1. ℵ-không gian và không gian với cơ sở yếu1.3.4 Mệnh đề. Giả sử f :X −→Y là ánh xạ mở yếu và X là không 1.3.4 Mệnh đề. Giả sử f :X −→Y là ánh xạ mở yếu và X là không gian với cơ sở đếm được theo điểm. Khi đó ta có các khẳng định sau là đúng
a) Nếu f làs-ánh xạ thì Y là không gian có cơ sở yếu đếm được theo điểm;
b) Nếu f là ss-ánh xạ thì Y là không gian có cơ sở yếu đếm được địa phương;
c) Nếu f là cs-ánh xạ thì Y là không gian có cơ sở yếu đếm được-compắc.
b) X là ss-ảnh mở yếu của không gian mêtric;
Chương 1. ℵ-không gian và không gian với cơ sở yếu1.3.4 Mệnh đề. Giả sử f :X −→Y là ánh xạ mở yếu và X là không 1.3.4 Mệnh đề. Giả sử f :X −→Y là ánh xạ mở yếu và X là không gian với cơ sở đếm được theo điểm. Khi đó ta có các khẳng định sau là đúng
a) Nếu f làs-ánh xạ thì Y là không gian có cơ sở yếu đếm được theo điểm;
b) Nếu f là ss-ánh xạ thì Y là không gian có cơ sở yếu đếm được địa phương;
c) Nếu f là cs-ánh xạ thì Y là không gian có cơ sở yếu đếm được-compắc.
1.3.5 Định lý.Với không gian tôpô X, các phát biểu sau là tương đương
a) X là không gian có cơ sở yếu đếm được địa phương; b) X là ss-ảnh mở yếu của không gian mêtric;
Chương 1. ℵ-không gian và không gian với cơ sở yếu
Bằng việc sử dụng Định lý này chúng tôi chứng minh được một kết quả khá mạnh được trình bày trong [23] mà trong khuôn khổ luận văn chúng tôi không đưa vào. Nội dung của kết quả đó như sau:
c) X là ss-ảnh 1-phủ-dãy của không gian mêtric;
d) X là không gian dãy có sn-lưới đếm được địa phương; e) X là không gian dãy có cs-lưới đếm được địa phương; f) X là không gian dãy cócs∗-lưới đếm được địa phương; g) X là không gian dãy có wcs∗-lưới đếm được địa phương; h) X là không gian dãy có k-lưới đếm được địa phương.
Chương 1. ℵ-không gian và không gian với cơ sở yếu
Bằng việc sử dụng Định lý này chúng tôi chứng minh được một kết quả khá mạnh được trình bày trong [23] mà trong khuôn khổ luận văn chúng tôi không đưa vào. Nội dung của kết quả đó như sau:
Với không gian tôpô X, các phát biểu sau là tương đương a) X là không gian có cơ sở yếu đếm được địa phương; b) X là ss-ảnh mở yếu của không gian mêtric;
c) X là ss-ảnh 1-phủ-dãy của không gian mêtric;
d) X là không gian dãy có sn-lưới đếm được địa phương; e) X là không gian dãy có cs-lưới đếm được địa phương; f) X là không gian dãy cócs∗-lưới đếm được địa phương; g) X là không gian dãy có wcs∗-lưới đếm được địa phương; h) X là không gian dãy có k-lưới đếm được địa phương.
Chương 1. ℵ-không gian và không gian với cơ sở yếu1.3.6 Hệ quả. Giả sử f :X −→Y là ánh xạ thương, 1-phủ-dãy và X 1.3.6 Hệ quả. Giả sử f :X −→Y là ánh xạ thương, 1-phủ-dãy và X
là không gian với cơ sở đếm được theo điểm. Khi đó ta có các điều sau: a) Nếu f làs-ánh xạ thì Y là không gian có cơ sở yếu đếm được theo điểm;
b) Nếu f là ss-ánh xạ thì Y là không gian có cơ sở yếu đếm được địa phương;
c) Nếu f là cs-ánh xạ thì Y là không gian có cơ sở yếu đếm được-compắc.
1.3.9 Hệ quả. Giả sử f :X −→Y là ánh xạ Lindelo¨p mạnh, 1-phủ-dãy và X là không gian có sn-lưới σ-đếm được địa phương. Khi đó Y là không gian có sn-lưới σ-đếm được địa phương.
Chương 1. ℵ-không gian và không gian với cơ sở yếu1.3.6 Hệ quả. Giả sử f :X −→Y là ánh xạ thương, 1-phủ-dãy và X 1.3.6 Hệ quả. Giả sử f :X −→Y là ánh xạ thương, 1-phủ-dãy và X
là không gian với cơ sở đếm được theo điểm. Khi đó ta có các điều sau: a) Nếu f làs-ánh xạ thì Y là không gian có cơ sở yếu đếm được theo điểm;
b) Nếu f là ss-ánh xạ thì Y là không gian có cơ sở yếu đếm được địa phương;
c) Nếu f là cs-ánh xạ thì Y là không gian có cơ sở yếu đếm được-compắc.
1.3.8 Mệnh đề. Giả sử f :X −→Y là ánh xạ Lindel¨op mạnh, 1-phủ-dãy và X là không gian có sn-lưới σ-đếm được địa phương. Khi đó Y là không gian có sn-lưới σ-đếm được địa phương.
1.3.9 Hệ quả. Giả sử f :X −→Y là ánh xạ Lindelo¨p mạnh, 1-phủ-dãy và X là không gian có sn-lưới σ-đếm được địa phương. Khi đó Y là không gian có sn-lưới σ-đếm được địa phương.
1.3.6 Hệ quả. Giả sử f :X −→Y là ánh xạ thương, 1-phủ-dãy và X
là không gian với cơ sở đếm được theo điểm. Khi đó ta có các điều sau: a) Nếu f làs-ánh xạ thì Y là không gian có cơ sở yếu đếm được theo điểm;
b) Nếu f là ss-ánh xạ thì Y là không gian có cơ sở yếu đếm được địa phương;
c) Nếu f là cs-ánh xạ thì Y là không gian có cơ sở yếu đếm được-compắc.
1.3.8 Mệnh đề. Giả sử f :X −→Y là ánh xạ Lindel¨op mạnh, 1-phủ-dãy và X là không gian có sn-lưới σ-đếm được địa phương. Khi đó Y là không gian có sn-lưới σ-đếm được địa phương.
1.3.9 Hệ quả. Giả sử f :X −→Y là ánh xạ Lindelo¨p mạnh, 1-phủ-dãy và X là không gian có sn-lưới σ-đếm được địa phương. Khi đó Y là không gian có sn-lưới σ-đếm được địa phương.
Chương 1. ℵ-không gian và không gian với cơ sở yếu1.3.10 Mệnh đề. Giả sử f :X −→Y là ánh xạ ánh xạ Lindel¨op , 1.3.10 Mệnh đề. Giả sử f :X −→Y là ánh xạ ánh xạ Lindel¨op , đóng, 1-phủ-dãy và X là không gian có sn-lưới σ-đếm được địa phương. Khi đó Y là không gian có sn-lưới σ-đếm được địa phương.
1.3.11 Hệ quả. Giả sử f :X −→Y là ánh xạ ánh xạ Lindelo¨p , đóng, 1-phủ-dãy và X là không gian có cơ sở yếu σ-đếm được địa phương. Khi đó Y là không gian có cơ sở yếu σ-đếm được địa phương.
1.3.12 Hệ quả. a) Không gian cósn-lưới σ-đếm được địa phương (hoặc sn-lưới đếm được địa phương) được bảo tồn qua các ánh xạ
i) ánh xạ Lindelo¨p mạnh, 1-phủ-dãy; ii) ánh xạ Lindelo¨p , đóng, 1-phủ-dãy.
b) Không gian có cơ sở yếu σ-đếm được địa phương (hoặc cơ sở yếu đếm được địa phương) được bảo tồn qua các ánh xạ
i) ánh xạ Lindelo¨p mạnh, thương, 1-phủ-dãy; ii) ánh xạ Lindelo¨p , đóng, 1-phủ-dãy.
Chương 1. ℵ-không gian và không gian với cơ sở yếu1.3.10 Mệnh đề. Giả sử f :X −→Y là ánh xạ ánh xạ Lindel¨op , 1.3.10 Mệnh đề. Giả sử f :X −→Y là ánh xạ ánh xạ Lindel¨op , đóng, 1-phủ-dãy và X là không gian có sn-lưới σ-đếm được địa phương. Khi đó Y là không gian có sn-lưới σ-đếm được địa phương.
1.3.11 Hệ quả. Giả sử f :X −→Y là ánh xạ ánh xạ Lindelo¨p , đóng, 1-phủ-dãy và X là không gian có cơ sở yếu σ-đếm được địa phương. Khi đó Y là không gian có cơ sở yếuσ-đếm được địa phương.
ii) ánh xạ Lindelo¨p , đóng, 1-phủ-dãy.
b) Không gian có cơ sở yếu σ-đếm được địa phương (hoặc cơ sở yếu đếm được địa phương) được bảo tồn qua các ánh xạ
i) ánh xạ Lindelo¨p mạnh, thương, 1-phủ-dãy; ii) ánh xạ Lindelo¨p , đóng, 1-phủ-dãy.
Chương 1. ℵ-không gian và không gian với cơ sở yếu1.3.10 Mệnh đề. Giả sử f :X −→Y là ánh xạ ánh xạ Lindel¨op , 1.3.10 Mệnh đề. Giả sử f :X −→Y là ánh xạ ánh xạ Lindel¨op , đóng, 1-phủ-dãy và X là không gian có sn-lưới σ-đếm được địa phương. Khi đó Y là không gian có sn-lưới σ-đếm được địa phương.
1.3.11 Hệ quả. Giả sử f :X −→Y là ánh xạ ánh xạ Lindelo¨p , đóng, 1-phủ-dãy và X là không gian có cơ sở yếu σ-đếm được địa phương. Khi đó Y là không gian có cơ sở yếuσ-đếm được địa phương.
1.3.12 Hệ quả. a) Không gian cósn-lưới σ-đếm được địa phương (hoặc sn-lưới đếm được địa phương) được bảo tồn qua các ánh xạ
i) ánh xạ Lindelo¨p mạnh, 1-phủ-dãy; ii) ánh xạ Lindelo¨p , đóng, 1-phủ-dãy.
b) Không gian có cơ sở yếu σ-đếm được địa phương (hoặc cơ sở yếu đếm được địa phương) được bảo tồn qua các ánh xạ
i) ánh xạ Lindelo¨p mạnh, thương, 1-phủ-dãy; ii) ánh xạ Lindelo¨p , đóng, 1-phủ-dãy.