Ta chứng minh rằng Med M (mod )p và Med M (mod )q . Từ đú suy ra (mod )
ed
M M N do định lý phần dư Trung hoa. Từ: ed 1mod φ(N) φ(N) | (ed – 1). φ(pq)| (ed – 1) φ(p)φ(q) | (ed – 1) (do p, q là cỏc số nguyờn tố) φ(p) | (ed – 1) (1) và φ(q) | (ed – 1) (2) Từ (1) k Z: ed– 1= k φ(p) = k (p– 1) (p là số nguyờn tố) (3) Xột trường hợp tổng quỏt với mọi số M Zn, khi nõng lũy thừa ed ta cú:
Med (M(ed-1))*M (mod p) (4)
Từ (3) & (4) Med (Mk(p - 1))*M (mod p) (5) Vỡ p là số nguyờn tố, vậy bất kỳ số M ZN cú hai trường hợp:
M nguyờn tố cựng nhau với p (nghĩa là gcd(M, p) = 1) hoặc M là bội số của p
(nghĩa là gcd(M, p) = p).
Trường hợp 1: gcd (M, p) = 1
Vậy Mp-1 1 (mod p) (định lý Fermat) Từ: (5) Med (1)kM (mod p)
MedM (mod p) (6)
Trường hợp 2: Nếu gcd(M, p) = p M 0 (mod p). Đồng thời lũy thừa số M
lờn một số nguyờn bất kỳ, thỡ cũng chia hết cho p. Nghĩa là Med 0 (mod p ). Vậy trường hợp 2 cũng thỏa món phương trỡnh (6).
Chứng minh tương tự với q, từ (2) MedM (mod q) (7) Từ (6) & (7) Med M (mod pq) M (mod N).
Vớ dụ 2.1: Minh họa của hệ mật mó RSA a. Tạo khúa:
Chọn p và q là những số nguyờn tố nhỏ với mục đớch minh họa Chọn hai số nguyờn tố p = 41, q = 67;
Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn
Chọn e = 59 thỏa món gcd(e, φ(N)) = gcd(2600, 59) = 1;
Tỡm phần tử nghịch đảo d = 179 (dựng thuật toỏn Euclid mở rộng) ; Khúa cụng khai là cặp số (e = 49, N = 2747), cũn số d = 179 được giữ làm khúa riờng.
b. Mó húa:
Giả sử nội dung cần mó hoỏ là M = “MA HOA CONG KHAI”
Biến đổi cỏc ký tự của thụng điệp thành cỏc số tương ứng như sau:
M A H O A C O N G K H A I
13 01 00 08 15 01 00 03 15 14 07 00 11 08 01 09
Chia thụng điệp thành 8 khối, mỗi khối gồm 4 chữ số biểu diễn một số nguyờn Mi< N, với Mi{1301;0008;1501;0003;1514;0700;1108;0109}. Mó húa lần lượt từng số Mi: Ci = Mi59 ( mod 2747) (8)
Mó húa số đầu tiờn M1 = 1301 theo cỏch tớnh (8) ta cú: C1 = M159 mod 2747 130159 mod 2747 = 2352.
Tiếp tục tớnh cỏc số C2, ..., C8 từ cỏc số M2 , ..., M8 theo (8). Ta cú được kết quả ở cột Ci là bản mó để gửi đến người nhận:
Khối 1 2 3 4 5 6 7 8
Mi 1301 0008 1501 0003 1514 0700 1108 0109
Ci=E(Mi) 2352 2537 1745 2733 1203 2651 0534 0454
c. Giải mó:
Thực hiện giải mó lần lượt từng số ở cột Ci (1≤ i ≤ 8)
Mi = Dkd(Ci) Ci179 ( mod 2747) (9) Giải mó số đầu tiờn C1 = 2352 theo cỏch tớnh (2.9) ta cú:
M1 = C1179 mod 2747 = 2352179 mod 2747 = 1301
Tiếp tục tớnh cỏc số M2, ..., M8 từ cỏc số C2, ...,C8 theo (9) ta cú bảng minh họa cỏc số Mi được giải mó từ cỏc số Ci như sau:
Khối 1 2 3 4 5 6 7 8
Ci=E(Mi) 2352 2537 1745 2733 1203 2651 0534 0454
Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn
Thực hiện phộp biến đổi ngược từ cỏc số Mi thành cỏc chuỗi ký tự tương ứng để khụi phục lại thụng điệp gốc ban đầu:
M = "MA HOA CONG KHAI".