2 Topo I-adic trên vành Noether
2.4Vành địa phương và đầy đủ m-adic
Trong mục này ta xét vành R là địa phương Noether với iđêan cực đại duy nhất là m, ký hiệu là vành (R, m). Trên vành (R, m) ta nghiên cứu các tính chất của vành đầy đủ m-adic.
Định lý 2.4.1. Giả sử (R, m) là một vành địa phương. Khi đó đầy đủ
m-adic Rb của R cũng là một vành địa phương với iđêan cực đại mb.
Chứng minh. Theo Định lý 2.3.11 (iii) thì Rb/mb ∼=R/m. Do m là iđêan cực
đại của R nên R/m là một trường. Khi đó Rb/mb cũng là một trường. Suy ra mb là iđêan cực đại của Rb. Hơn nữa, theo Định lý 2.3.11 (iv) thì mb = J(R)b , với J(R)b là căn Jacobson của Rb và do đó mb là iđêan cực đại duy nhất của Rb. Vậy (Rb,mb) là một vành địa phương.
Định lý 2.4.2. Nếu (R, m) là một vành địa phương Noether và M là R- môđun hữu hạn sinh thì tôpô m-adic trên M là Hausdorff. Đặc biệt, tôpô
m-adic trên R là Hausdorff.
Chứng minh. Với các giả thiết như trong Định lý, theo Hệ quả 2.2.5 của Định lý Artin-Ress, ta có ∩
n≥0 mnM = 0 và ∩
n≥0 mn = 0. Từ đó, suy ra điều phải chứng minh.
Iđêan I của vành địa phương (R, m) được gọi là iđêan định nghĩa nếu mn ⊆ I ⊆ m với n > 0 nào đó. Rõ ràng nếu I là iđêan định nghĩa của R
và Rb là đầy đủ m-adic của R thì IRb là iđêan định nghĩa của Rb. Bây giờ, giả sử rằng dimR = d. Khi đó, ta nhớ rằng một hệ tham số của R gồm d
phần tử - chúng sinh ra một iđêan định nghĩa.
Định lý 2.4.3. Giả sử R là vành địa phương và Rb là đầy đủ m-adic của
R. Khi đó dimR = dimRb.
Chứng minh. Giả sử a1, a2, ..., ad là hệ tham số của R ⇒ dimR = d và
Ra1+Ra2+...+Radlà một iđêan định nghĩa của R⇒Rab 1+Rab 2+...+Rab d là một iđêan định nghĩa của Rˆ và do đó dimRb ≤d = dimR.
Giả sử ω1, ω2, ..., ωp là hệ tham số của Rˆ ⇒ dimRb = p và X = Rωb 1 +
b
Rω2+...+Rωb p là iđêan định nghĩa của Rb. Suy ra A = X∩R là một iđêan định nghĩa của R. Hơn nữa, A sinh bởi p phần tử ⇒ dimR ≤p = dimRb. Vậy dimR = dimRb.
Hệ quả 2.4.4. Giả sử b1, b2, ..., bd là các phần tử của một vành địa phương (R, m). Khi đó, bi lập thành một hệ tham số của R nếu và chỉ nếu chúng lập thành một hệ tham số của đầy đủ m-adic Rb.
Kết quả dưới đây chỉ ra rằng mọi vành địa phương cũng có tính chất này đối với đầy đủ m-adic của nó.
Định lý 2.4.5. Giả sử R là vành địa phương và Rb là đầy đủ m-adic của
R thì các điều kiện sau là tương đương:
(i) Mọi hệ tham số của R lập thành R-dãy. (ii) Mọi hệ tham số của Rb lập thành Rb-dãy.
Chứng minh. Giả sử a1, a2, ..., ad là một hệ tham số của R. Theo Hệ quả 2.4.5 thì nó cũng là một hệ tham số của Rb.
(Ra1 +...+Rai−1):Rai = Ra1 +...+ Rai−1.
⇔(Rab 1 +...+Rab i−1):
b
Rai = Rab 1 +...+Rab i−1.
Vậy a1, a2, ..., ad là một R-dãy nếu và chỉ nếu nó là một Rb-dãy. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Định lý 2.4.6. Giả sử (R, m) là một vành địa phương Noether và Rbm là đầy đủ m-adic của vành địa phương Rm. Khi đó Rbm được coi như đầy đủ
m-adic của R và theo cách này, đồng cấu vành chính tắc R → Rbm là hợp thành của các đồng cấu vành chính tắc R → Rm và Rm → Rbm.
Chứng minh. Ta đã biết, đầy đủ m-adic của R có thể thu được bằng cách lấy giới hạn ngược hệ
... →R/mn+1 → R/mn → R/mn−1 → ... .
Mặt khác, Rbm có thể được đồng nhất với giới hạn ngược của hệ
...→ Rm/mn+1Rm → Rm/mnRm → R/mn−1Rm → ... . Và ánh xạ R/mn → Rm/mn cảm sinh bởi ánh xạ R → Rm là một đẳng cấu. Vì mỗi biểu đồ R/mn+1 −−→ R/mn y y Rm/mn+1Rm −−→ Rm/mnRm
là giao hoán nên ta có đơn cấu vành Rb → Rbm.
Cuối cùng, ta có biểu đồ R −−→ Rb y y Rm −−→ Rbm là giao hoán.
Kết luận
Tôpô I-adic trên vành Noether là một vấn đề quan trọng của Đại số giao hoán. Trong luận văn này, chúng tôi đã trình bày một số kết quả nghiên cứu về đầy đủ I-adic trên vành Noether và vành Noether địa phương. Kết quả chính của luận văn bao gồm các nội dung sau.
1) Hệ thống lại một số kiến thức về vành và môđun Noether; Giới hạn ngược của hệ các môđun; Vành và môđun phân bậc.
2) Định nghĩa và các tính chất của lọc môđun, vành phân bậc liên kết và vành Rees; Định lý Artin-Rees và các hệ quả.
3) Trình bày về xây dựng tôpô I-aidc trên vành Noether, đầy đủ I-adic trên vành Noether và các tính chất quan trọng của nó.
4) Một số kết quả nghiên cứu về đầy đủ m-adic trên vành Noether địa phương (R, m).
5) Đưa ra một số ví dụ và bài tập minh họa cho những nội dung được trình bày trong luận văn.
Luận văn của chúng tôi được hoàn thành đúng tiến độ và đạt được những kết quả như trên. Do thời gian và năng lực còn hạn chế, luận văn không tránh khỏi những thiếu sót. Tác giả mong nhận được sự đóng góp ý kiến của quý thầy cô, các bạn học viên và những độc giả quan tâm để luận văn của chúng tôi được hoàn thiện hơn.
Tài liệu tham khảo
[1] Nguyễn Tự Cường, Bài giảng chuyên đề Hình học đại số, 2010. [2] Nguyễn Tự Cường, Giáo trình Đại số hiện đại (tập I). Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội, 2002.
[3] D. Northcott, Lessons on rings, modules and multiplicities. Cam- bridge University Press 1968.
[4] M. F. Atiyal and I. G. Macdonald, Introduction to Commutative Algebra. Addition - Wesley, Reading, Mass. 1969.
[5] H. Matsumura,Commutative Algebra. Second edition. Benjamin/Cummings Publ., Massachusetts 1980.
[6] H. Matsumura, Commutative ring theory. Cambridge University Press 1986.