2 Topo I-adic trên vành Noether
2.3 Đầy đủ I-adic
Cho G là một nhóm Aben, trên G ta trang bị một tôpô, không nhất thiết là Hausdorff. Khi đó G trở thành một nhóm tôpô nếu hai ánh xạ
G×G→ G (x, y) 7→ x+ y
và G →G x 7→ −x
là liên tục.
Do đó, nếu{0} là đóng trongGthì nghịch ảnh của nó qua ánh xạ (x, y) 7→
x−y là đóng trong G×G suy ra G là Hausdorff. Lấy a ∈ G cố định, khi đó phép tịnh tiến
Ta : G →G x 7→x+a
là một đồng cấu liên tục và có nghịch đảo là T−a. Do đó, nếu U là một lân cận của 0 ∈ G thì U +a là một lân cận của điểm a trong G. Vậy tôpô G
hoàn toàn xác định khi biết các lân cận U của điểm 0.
Bổ đề 2.3.1. Giả sử H là giao của tất cả các lân cận của điểm 0 trong
G. Khi đó ta có các khẳng định sau. (i) H là một nhóm con của G. (ii) H = {0}.
(iii) G/H là Hausdorff.
(iv) G-Hausdorff khi và chỉ khi H = 0. Chứng minh. (i) H là nhóm con của G vì
+) H 6= ∅ vì có 0 ∈ H.
+) ∀x, y ∈ H suy ra x, y ∈ U, ∀U là lân cận của 0 trong G. Khi đó
x+y ∈ H.
(ii) Ta có x ∈ H nếu và chỉ nếu x ∈ U, ∀U là lân cận của 0 trong G. Suy ra x ∈ 0 +U do đó 0 ∈ x−U với ∀U là lân cận của 0 trong G. Vậy x ∈ {0} hay H = {0}.
(iii) Theo (ii), mỗi lớp của H là đóng. Do đó mỗi điểm của x ∈ G/H
là đóng trong G/H. Vậy G/H là Hausdorff.
(iv) - Nếu H = 0, theo (iii) G= G/0 = G/H là Hausdorff.
- Ngược lại nếu G là Hausdorff thì {0} là đóng trong G, do đó theo (ii)
{0} = 0 = H.
Ta giả sử điểm 0 ∈ G có một hệ thống các lân cận thì đầy đủ Gb của G
có thể xác định được bằng cách xây dựng các dãy Côsi. Một dãy {xn} các phần tử của G được gọi là dãy Côsi nếu với mỗi lân cận U của 0 tồn tại một số nguyên λ(U) sao cho
xn −xm ∈ U, ∀n, m ≥λ(U).
Hai dãy Côsi {xn},{yn} ∈ G được gọi là tương đương trong G nếu
xn−yn→0 trong G. Khi đó, tập tất cả các lớp tương đương của các dãy Côsi được ký hiệu là Gb- đầy đủ của G.
Nếu {xn},{yn} là các dãy Côsi thì (xn +yn) và lớp tương đương của nó trong Gb chỉ phụ thuộc vào các lớp {xn},{yn}. Do đó, ta xác định được một phép cộng trong Gb và với phép toán này Gb trở thành một nhóm aben. Với hai nhóm cộng G và Gb, ta xác định được một đồng cấu nhóm như sau
φ :G →Gb
x 7→(x) : = bx
trong đó, φ(x) là lớp tương đương của dãy hằng (x) trong Gb. Chú ý rằng
Ta có kerφ = ∩U = H, với U là các lân cận của điểm 0 ∈ G. Theo Bổ đề 2.3.1 thì φ là đơn ánh khi và chỉ khi G là Hausdorff.
Giả sử H là một nhóm aben khác G và f : G → H là một đồng cấu liên tục, thì qua ánh xạ f một dãy Côsi trong G biến thành một dãy Côsi trong H, do đó f cảm sinh một đồng cấu fb: Gb → Hb là liên tục. Nếu có
G→f H →g K thì g[◦f = gb◦fb.
Một ví dụ đơn giản là xét nhóm cộng các số hữu tỷ Q và trang bị cho nó một tôpô. Khi đó, đầy đủ Gb của nó chính là nhóm các số thực R.
Bây giờ, xét trường hợp đặc biệt của tôpô trên đại số giao hoán. Theo đó, ta giả sử 0∈ G có một dãy cơ bản các lân cận bao gồm các nhóm con. Do đó, ta có một dãy các nhóm con
G = G0 ⊇ G1 ⊇ G2 ⊇ ...⊇ Gn ⊇ ...
và U ⊆ G là một lân cận của điểm 0 ∈ G nếu và chỉ nếu U chứa một vài
Gn nào đó.
Chẳng hạn như tôpô p - adic trên Z với Gn = pnZ. Ta có
Z= p0Z ⊇pZ ⊇ p2Z ⊇ p3Z ⊇ ... .
Chú ý rằng, ở đây mỗi nhóm con Gn của G vừa đóng, vừa mở. Vì
+) Nếu g ∈ Gn thì g +Gn là một lân cận của g suy ra g +Gn ⊆ Gn. Vậy Gn− mở. +) Mặt khác, với ∀h ∈ Gn ta có h+Gn là tập mở suy ra ∪ h∈Gn (h+Gn) là tập mở. Mặt khác, ta có ∪ h∈Gn(h+Gn) = G\Gn nên Gn - đóng. Do đo Gn vừa đóng, vừa mở.
Bây giờ, cho các tôpô xác định bởi dãy các nhóm con. Khi đó, có một cách khác thuần tuý đại số định nghĩa sự đầy đủ của tôpô một cách thuận lợi hơn. Giả sử {xn} là một dãy Côsi trong G, ảnh của xn trong G/Gn ký
hiệu là ξn. Ta có phép chiếu
θn+1 : G/Gn+1 → G/Gn ξn+1 7→ ξn.
Do đó mỗi dãy Côsi xn trong G xác định một dãy khớp {ξn} cho bởi công thức θn+1(ξn+1) = ξn. Cuối cùng, với mỗi dãy khớp {ξn}, ta có thể xây dựng một dãy Côsi tăng xn bởi xn là một phần tử trong dãy {ξn} sao cho
xn+1−xn ∈ Gn.
Do đó đầy đủ Gb có thể được định nghĩa tốt qua tập các dãy khớp {ξn}
theo cấu trúc nhóm.
Bây giờ, ta xem xét một trường hợp đặc biệt của giới hạn ngược. Xét dãy các nhóm {An} và các đồng cấu θn+1 : An+1 → An.
Ta gọi (An, θn) là một hệ ngược và nhóm tất cả các dãy khớp (an) (tức là an ∈ An sao cho θn+1(an+1) =an) được gọi là giới hạn ngược của hệ
lim ← An = {(an)|an ∈ An, θn+1(an+1) =an}. Với cách xác định này ta có b G∼= lim ← G/Gn.
Sự đầy đủ hoá một tôpô G theo ngôn ngữ giới hạn ngược có rất nhiều ứng dụng. Tính chất khớp của các đầy đủ là ứng dụng quan trọng nhất của giới hạn ngược. Theo định lý 1.2.8, ta đã có nếu (An), (Bn) và (Cn)
là 3 hệ ngược và các biểu đồ sau
0 −−→ An+1 −−→ Bn+1 −−→ Cn+1 −−→ 0 θA n+1 y θB n+1 y θC n+1 y 0 −−→ An −−→ Bn −−→ Cn −−→ 0
là giao hoán. Khi đó qua giới hạn ngược dãy đồng cấu cảm sinh
0→ lim
← An →lim
← Bn →lim
là khớp trái. Và nó là khớp khi hệ (An) là hệ toàn cấu, tức là các θnA+1 là toàn cấu với mọi n. Theo đó, ta có định lý quan trọng sau.
Định lý 2.3.2. Cho 0 → G0 → G→p G00 → 0 là một dãy khớp các nhóm. Giả sử G là tôpô xác định bởi dãy các nhóm con {Gn} và G0, G00 là các tôpô cảm sinh, tức là G0, G00 là các tôpô theo các dãy con {G0∩Gn} và
{pGn}. Khi đó dãy các đầy đủ
0 →Gb0 →Gb → Gb00 → 0
là khớp.
Chứng minh. Xét dãy khớp
0 →G0/G0∩Gn →G/Gn → G00/pGn →0.
Theo Định lý 1.2.8, qua giới hạn ngược ta có dãy khớp
0→ lim
← G0/G0 ∩Gn → lim
← G/Gn → lim
← G00/pGn → 0.
Vậy dãy các đầy đủ
0 →Gb0 → Gb →Gb00 →0
là khớp.
Hệ quả 2.3.3. Với các giả thiết như trong Định lý, thêm nữa xét trường hợp đặc biệt G0 = Gn và G00 = G/Gn. Khi đó G00 là tôpô rời rạc và do đó
b
G00 = G00.
Hệ quả 2.3.4. Gbn là nhóm con của Gb và ta có
b
G/Gbn ∼= G/G
n.
Lấy giới hạn ngược 2 vế đẳng cấu trên ta được kết quả quan trọng sau.
Định lý 2.3.5. b b
Nếu φ : G → Gb là phép đẳng cấu thì ta nói G là đầy đủ. Do đó, Định lý 2.3.5 khẳng định rằng đầy đủ của G(tức Gb) là đầy đủ. Chú ý rằng định nghĩa đầy đủ của ta bao hàm cả Hausdorff.
Ví dụ 2.3.6. Lớp ví dụ quan trọng nhất của nhóm tôpô mà chúng ta quan tâm đến xác định bởi G là một vành A và Gn = In, trong đó I là một iđêan của vành A. Khi đó tôpô xác định trên A được gọi là tôpô I-adic. Vì In là các iđêan, với mọi nnên không khó để kiểm tra rằng với tôpô này
A là một vành tôpô, tức là các phép toán trên nó là liên tục. Và theo Bổ đề 2.3.1, tôpô này là Hausdorff khi và chỉ khi ∩
n≥0In = 0. Đầy đủ I-adic b
A của A lại là một vành tôpô và đồng cấu φ : A → Ab là liên tục và có
Kerφ = ∩
n≥0In.
Tương tự đối vớiA-môđunM, ta xét trường hợpG= M vàGn = InM, xác định tôpô I-adic trên M và đầy đủ Mc của M là một Ab-môđun tôpô (tức là ánh xạ Ab×Mc→ Mc là liên tục).
Nếu f : M →N là một A-đồng cấu môđun thì f (InM) =Inf (M) ⊆
InN, do đó f là liên tục đối với tôpô I - trên M và N và xác định đồng cấu fb: Mc→ Nb.
Ta xét một vài ví dụ cụ thể sau.
a) A = k[x], với k là một trường, I = (x). Ta xác định đầy đủ Ab. Ta có In = (xn) và hệ ngược A = A/I0 ⊇ A/I ⊇ A/I2 ⊇ ....
b A= lim ← A/In = f1, f2, ... fi+1 −fi ∈ Ii = f1, f2, ... fi+1 −fi ∈ xi = n a, bx+a, cx2 + bx+a, ... o ∼ = k[[x]]
là vành các chuỗi luỹ thừa hình thức trên k với biến x.
b) R = A[x1, ..., xn], I = (x1, ..., xn). Khi đó Rb = A[[x1, ..., xn]]. c) A = Z, I = (p) = pZ, với p là số nguyên tố. Xét hệ ngược
Khi đó Ab= Zp-vành các số nguyên p-adic = n(a0, a1, ...) ai+1 −ai . . .pio ∼ = ∞ P n=0 anpn, 0 ≤an ≤ p−1. Ta có pn n→∞→ 0.
Định lý sau đây được suy ra từ Định lý Artin - Rees.
Định lý 2.3.7. Giả sử A là một vành Noether, I là một iđêan của A, M
là A-môđun hữu hạn sinh và M0 là một môđun con của M. Khi đó các lọc
InM0 và (InM)∩M0 sai khác nhau chặn trên.
Đặc biệt, tôpô I-adic trên M0 trùng với tôpô cảm sinh bởi tôpô I-adic trên M.
Kết hợp Định lý 2.3.7 với Định lý 2.3.2, ta thu được tính chất khớp của đầy đủ I-adic như sau.
Định lý 2.3.8. Cho 0 → M0 → M → M00 → 0 là một dãy khớp các môđun hữu hạn sinh trên vành Noether A. Giả sử I là một iđêan của A
thì dãy các đầy đủ I - adic
0 →Mc0 → Mc→Mc00 →0
là khớp.
Vì ta có đồng cấu tự nhiên φ : A → Ab nên luôn có thể coi Ab như một A-đại số do đó với mỗi A-môđun M ta có thể tạo ra một Ab-môđun
b
A⊗AM. Đó là cách tự nhiên để so sánh nó với Ab-môđun Mc. Với A-đồng cấu môđun M →Mc xác định một Ab-đồng cấu môđun
b
A⊗AM →Ab⊗AMc→ Ab⊗
b
Thông thường với A và M tuỳ ý, đồng cấu này không là đơn ánh và cũng không là toàn ánh. Tuy nhiên, trong trường hợp đặc biệt ta có định lý sau.
Định lý 2.3.9. Cho A là một vành tuỳ ý, M là A-môdun hữu hạn sinh. Khi đó Ab⊗AM → Mc là toàn cấu. Hơn nữa, nếu vành A là Noether thì
b
A⊗AM →Mc là đẳng cấu.
Chứng minh. Theo Định lý 2.3.2, với mỗi dãy khớp
0→ M0 → M0 ⊕M00 →M00 → 0
thì dãy đầy đủ I-adic
0→ Mc0 → M\0 ⊕M00 →Mc00 → 0
cũng là khớp. Tức là ta có M\0⊕M00 = Mc0 ⊕Mc00.
Suy ra, đầy đủ I-adic giao hoán với tổng trực tiếp hữu hạn. Do đó, nếu
F ∼= An thì Aˆ⊗AF ∼= ˆF.
Bây giờ, giả sử M là hữu hạn sinh. Khi đó, ta có dãy khớp
0→ N →F →M → 0.
Ta có biểu đồ giao hoán b A⊗AN −−→ Ab⊗AF −−→ Ab⊗AM −−→ 0 γ y β y α y 0 −−→ Nb −−→ Fb −−→δ Mc −−→ 0.
Vì hàm tử tenxơ khớp phải nên dòng trên là khớp. Theo Định lý 2.3.2, δ
là toàn cấu. Vì β là đẳng cấu, suy ra α : Ab⊗AM →Mc là toàn cấu.
Tiếp theo, giả sử A là vành Noether, suy ra N cũng là hữu hạn sinh. Theo chứng minh trên thì γ : Ab⊗AN → Nb là toàn cấu. Theo tính khớp của đầy đủ thì dòng dưới của biểu đồ cũng khớp. Do đó, α là đơn cấu. Suy ra α là đẳng cấu.
Hệ quả 2.3.10. Nếu A là vành Noether, I là iđêan của A và Ablà đầy đủ
I-adic của A thì Ab là một A-đại số hoàn toàn phẳng.
Tiếp theo, chúng ta nghiên cứu chi tiết các tính chất của vành đầy đủ
I-adic Ab.
Định lý 2.3.11. Giả sử A là vành Noether, I là iđêan của A và Ablà đầy đủ I-adic của A. Khi đó ta có
(i) Ib= AIb ∼= Ab⊗ AI. (ii) (Idn) = b I n . (iii) In/In+1 ∼= Ibn/Ibn+1.
(iv) Ib⊆ JAb; Ở đây J Ab là căn Jacobson của Ab.
Chứng minh. (i) Vì A là vành Noether, I là iđêan hữu hạn sinh, nên theo Định lý 2.3.9, ánh xạ Ab⊗AI → Ibcó ảnh là AIb , là một đẳng cấu. Do đó,
b
I ∼= AIb ∼= Ab⊗
AI.
(ii) Áp dụng (i) đối với iđêan In, ta có d (In) = AIb n = b AI n = b I n . (iii) Theo Hệ quả 2.3.4, ta có A/In ∼= A/b Ibn. Suy ra
In/In+1 ∼= Ibn/Idn+1 ∼= Ibn/Ibn+1.
(iv) Theo (ii) và Định lý 2.3.5, Ablà vành đầy đủ đối với lọc Ib-adic trên nó. Do đó, với mỗi x ∈ Ibta có
(1−x)−1 = 1 +x+x2 + ...
hội tụ trong Ab, do đó 1−x là khả nghịch suy ra x ∈ J(A)b . Vậy Ib⊆J(A)b .
Hệ quả 2.3.12. Cho A là vành Noether và I là một iđêan của A. Khi đó ta có G (A) ∼= G (A).
Chứng minh. Ta có các vành phân bậc liên kết GI(A) = ⊕ n≥0In/In+1; G b I(A) =b ⊕ n≥0 b In/Ibn+1.
Theo Định lý 2.3.11, ta có đẳng cấu In/In+1 ∼= Ibn/Ibn+1 suy ra điều phải chứng minh.
Một trong những kết quả quan trọng nhất của mục này là đầy đủ I-adic của một vành Noether là Noether. Để có được kết quả này, trước hết ta cần bổ đề kỹ thuật sau đây.
Bổ đề 2.3.13. Giả sử φ : A →B là một đồng cấu giữa các lọc nhóm, tức là φ(An) ⊆ Bn và G(φ) : G(A) →G(B), φb: Ab→ Bb là các đồng cấu cảm sinh của các nhóm phân bậc liên kết và nhóm đầy đủ. Khi đó
(i) Nếu G(φ) là đơn cấu thì φb là đơn cấu. (ii) Nếu G(φ) là toàn cấu thì φb là toàn cấu.
Chứng minh. Xét biểu đồ giao hoán với các dòng là khớp
0 −−→ An/An+1 −−→ A/An+1 −−→ A/An −−→ 0 Gn(φ) y αn+1 y αn y 0 −−→ Bn/Bn+1 −−→ B/Bn+1 −−→ B/Bn −−→ 0. Khi đó, ta có dãy khớp
0 → kerGn(φ) → kerαn+1 → kerαn → cokerGn(φ) → cokerαn+1 →
cokerαn →0.
Từ dãy khớp này, bằng quy nạp theo n, ta có kerαn = 0 (trường hợp (i)) hoặc cokerαn = 0 (trường hợp (ii)). Hơn nữa, trong trường hợp (ii)
kerαn+1 →kerαn là toàn cấu. Lấy giới hạn ngược hệ các đồng cấu αn ta được điều phải chứng minh.
Định lý 2.3.14. Giả sử A là một vành, I là iđêan của A, M là A-môđun,
với lọc tôpô của nó, tức là ∩
n≥0Mn = 0. Thêm nữa, G(M) là một G(A) - môđun hữu hạn sinh. Khi đó M là một A - môđun hữu hạn sinh.
Chứng minh. Ta có G(M) = ⊕
n≥0Mn/Mn+1 là hữu hạn sinh, chọn một dãy hữu hạn các phần tử sinh của G(M) và làm chẻ chúng trong các thành phần thuần nhất của chúng. Gọi ξi(1 ≤ i ≤ r) có bậc là n(i)