Nhận xét 1.2: Theo định nghĩa tập Zα và tính chất của ma trận trọng số W thì
có thể suy ra: tập Z2r1 Ø. Chứng minh r1 2 Z Ø Đặt α = 2r-1 thì giá trị α {1, 2, …, 2r-1}
Theo tính chất của ma trận trọng số W, các phần tử của W cần thoả mãn:
{Wi,j |i=1..m, j=1..n} = {1, 2, …, 2r-1}
Vì vậy phải tồn tại ít nhất một cặp (i, j) sao cho Wi,j = α .
Mặt khác do T là ma trận nhị phân nên Ti,j có giá trị bằng 0 hoặc 1. Xét các trƣờng hợp:
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/
- Nếu Ti,j = 0: Do Wi,j = α nên (i, j) thoả điều kiện thứ nhất trong (1.6), vậy (i,j) Zα
- Nếu Ti,j = 1: Do Wi,j = α mà α = 2r-1 = 2r – α nên (i,j) thoả điều kiện thứ hai trong (1.7), vậy (i,j) Zα. Do đó tập Z2r1 Ø.
Nhận xét 1.3: nếu Zα = Ø thì Z -α Ø
Chứng minh
Theo (1.4) định nghĩa về tập Zα = {(i,j) | (Wi,,j=α và Ti,j = 0) hoặc (Wi,j=2r-α và Ti,j=1)}
Do Zα = Ø và theo định nghĩa ma trận trọng số W luôn thoả mãn điều kiện {Wi,j |i=1..m, j=1..n} = {1, 2, …, 2r-1}. Vì vậy, phải tồn tại một phần tử (u,v) để (Wu,v = α và Tu,v = 1) hoặc (Wu,v = 2r - α và Tu,v = 0)
Mà 2r - α = - α (mod 2r) = - α.
Do đó, khi Zα = Ø sẽ tồn tại (u,v) để (Wu,v = - α và Tu,v = 0) (1.8) Từ (1.4) và (1.8), ta suy ra khi Zα = Ø thì Z-α Ø (1.9) Vì h là số tự nhiên đầu tiên thoả mãn điều kiện Zhd Ø, suy ra Z(h - 1)d = Ø. Theo (1.8) khi Z(h - 1)d = Ø thì Zd-hd Ø, vì vậy phép chọn phần tử (u,v) trong (1.7) luôn thực hiện đƣợc.
Nhận xét 1.4: Luôn tồn tại h sao cho hd = 2r-1 (mod 2r)
Chứng minh
Trường hợp 1: Nếu d lẻ thì có thể biểu diễn d dƣới dạng: d = 2t+1. Nhân cả 2 vế của biểu thức với 2r-1 ta có:
2r-1.d = 2r-1.2t+2r-1 suy ra 2r-1.d = t.2r+2r-1 = 2r-1 (mod 2r) Chọn h = 2r-1 ta có hd = 2r-1
Trường hợp 2: Nếu d chẵn và d chỉ chứa thừa số nguyên tố 2 thì có thể biểu diễn d dƣới dạng: d = 2u (với u ≤ r-1). Xét các khả năng:
+ Nếu u = r-1 thì chọn h = 1 ta có hd =1.2r-1= 2r-1
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/
Trường hợp 3: Nếu d chẵn và d chứa cả các thừa số nguyên tố khác 2 thì có thể biểu diễn d dƣới dạng: d = (2t+1)2v (với 1 ≤ v < r-1)
Chọn h = 2(r-1)-v ta có:
hd = 2(r-1)-v (2t+1).2v = (2t+1)2r-1 = t.2r + 2r-1 = 2r-1 (mod 2r)
Chứng minh tính đúng của thuật toán
Theo nhận xét 1.2: để chứng minh tính đúng của thuật toán cần chỉ ra tồn tại h sao cho Zhd Ø.
Theo nhận xét 1.4 luôn tồn tại h sao cho hd = -1 (mod ). Mặt khác theo nhận xét 1.2 tập do đó luôn tồn tại h sao cho . Điều đó chứng tỏ thuật toán luôn thực hiện đúng.