X. Phương pháp nghiên cứu
1.2.5.Xây dựng khái niệm khối lượng hiệu dụng [7, 129 134]
Như đã biết vận tốc chuyển động tịnh tiến của electron:
p k v 1.50 m m Mặt khác, từ 2 k E 2m
, lấy đạo hàm theo k, nhận được k m dE2 dk thì: 1 dE m dE v ; p k 1.51 dk dk
đúng với electron tự do mà đúng với cả electron chuyển động trong trường tuần hoàn của tinh thể. Xung lượng p lúc này gọi là giả xung lượng của electron.
Khi đặt trường ngoài vào tinh thể, electron chịu tác dụng lực F q với gia tốc: 2 2 dv 1 d dE 1 d E dk a dt dt dk dk dt (1.52)
Mặt khác sau khoảng thời gian dt lực này thực hiện công:
F dE dA Fds F.v.dt .dt
dk
(1.53) công này làm tăng năng lượng của electron một lượng dE dA E dEdt
dk
. Từ đây suy ra dk F
dt và gia tốc của electron lúc này bằng:
2 2 2 F d E a dk (1.54) biểu thức này xác lập quan hệ giữa lực tác dụng F của trường ngoài và gia tốc a
mà electron trong tinh thể thu được, nó tuân theo định luật II Niutơn. Từ (1.54) thấy là nếu đưa vào ký hiệu *
m thỏa mãn đẳng thức: 2 * 2 2 m d E / dk (1.55) thì (1.54) có dạng *
a F / m , có nghĩa là, dưới tác dụng của ngoại lực F, electron trong trường tuần hoàn của tinh thể chuyển động như chuyển động của electron tự do, chỉ khác là electron trong tinh thể lúc này có khối lượng hiệu dụng *
m được tính theo công thức (1.55). Tất cả ảnh hưởng của trường tinh thể đã thể hiện ở *
m qua d E dk2 2. Khối lượng hiệu dụng có những đặc tính riêng của nó. Nó có thể dương, âm, giá trị tuyệt đối có thể lớn hơn hoặc nhỏ hơn khối lượng tĩnh m của electron. Dưới đây sẽ khảo sát cặn kẽ hơn vấn đề này.
Với electron ở đáy vùng năng lượng, 2
đáy min A
E E A ka ,từ đây
2 2 2
A
2 * * e 2 A m đáy m 2A a (1.56) vì AA0 nên *
m 0. Tức là electron nằm ở đáy của vùng năng lượng có khối lượng hiệu dụng dương. Dưới tác dụng của trường ngoài, electron trong tinh thể được gia tốc theo hướng của lực tác dụng. Nó khác với electron tự do ở chỗ khối lượng của nó có thể có giá trị khác khối lượng tĩnh của electron *
m m . Ngoài ra (1.56) còn cho thấy là AA càng lớn tức vùng được phép càng rộng, khối lượng hiệu dụng của electron nằm ở đáy vùng càng nhỏ.
Với electron ở đỉnh vùng, 2 đinh max B E E A ka , 2 2 2 B d E dk 2A a , khối lượng hiệu dụng: * m (đỉnh) 2 * e 2 B m 0 2A a (1.57) Trong tinh thể, dưới tác dụng của trường ngoài, electron được gia tốc theo hướng ngược với lực tác dụng, ngoài ra, giá trị tuyệt đối của *
m cũng được xác định với độ rộng vùng AB, vùng càng rộng, *
m càng nhỏ.
Bây giờ ta đi khảo sát cơ sở vật lý của khối lượng hiệu dụng. Với electron tự do, toàn bộ công A của ngoại lực F làm tăng động năng của chuyển động tịnh tiến:
2 2 2 đ mv k A E 2 2m (1.58) ngoài ra 2 2 đ 2 d E dk m . Đặt vào (1.55) nhận được * m m. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Như vậy khối lượng hiệu dụng của electron tự do, đơn giản bằng khối lượng tĩnh m.
Với electron chuyển động trong tinh thể, nó không chỉ có động năng mà còn có cả thế năng. Công mà ngoại lực F chuyển một phần thành động năng '
đ
E , còn một phần khác chuyển thành thế năng U: A = '
đ
E + U. Lúc này vận tốc chuyển động của electron sẽ tăng chậm hơn so với electron tự do. Gia tốc mà nó thu được nhỏ hơn và dường như nó nặng hơn electron tự do ( *
Nếu toàn bộ công này chuyển thành thế năng, tức là A = U thì vận tốc chuyển động của electron sẽ không đổi, electron như hạt với khối lượng hiệu dụng vô cùng lớn *
m . Hơn thế nữa, không chỉ toàn bộ công của ngoại lực F chuyển thành thế năng mà cả một phần động năng Eđ sẵn có của electron cũng chuyển thành thế năng nữa. U = A + Eđ thì vận tốc chuyển động của electron trong tinh thể sẽ giảm, nó chuyển động ngược hướng của ngoại lực F. Electron lúc này thể hiện như hạt có khối lượng âm ( *
m < 0). Lúc này phần năng lượng mà electron truyền cho mạng lớn hơn năng lượng mà nó nhận được từ trường ngoài.
Nhưng trong tinh thể có thể xảy ra trường hợp, không chỉ toàn bộ năng lượng của trường ngoài chuyển thành động năng của electron mà trường tinh thể cũng chuyển một phần thế năng '
U của mình cho electron: ' ' đ
E A U . Lúc này vận tốc chuyển động của electron sẽ tăng nhanh hơn so với electron tự do. Electron lúc này như nhẹ đi hơn electron tự do, khối lượng hiệu dụng *
m < m.
Hình 1.6: Mô tả sự thay đổi E k , v k và m* với sự thay đổi của vectơ sóng k
Ở đáy vùng, gần k = 0, khi k tăng, năng lượng E(k) tăng tỷ lệ với 2
k , vận tốc chuyển động tịnh tiến của electron v dE dk tăng tỷ lệ với k, gia tốc chuyển động dương, khối lượng hiệu dụng *
m dương và * 2 2 1
m d E dk và không đổi, bằng khối lượng của electron ở đáy: * *
e
m m (công thức 1.56). Tại điểm uốn A,
2 2
d E dk 0, dE/dk đạt giá trị cực đại, do đó ở gần A, *
max
m , vv . Sau đó, đường cong E(k) bắt đầu úp xuống dE/dk bắt đầu giảm, vì thế v giảm, gia tốc lúc này âm, ngược hướng của lực tác dụng F tương đương như khối lượng hiệu dụng có dấu âm. Giá trị tuyệt đối của *
m biến thiên theo quy luật * 2 2 1
m d E dk . Tại đỉnh của vùng (điểm B), E(k) lại tỷ lệ với bình phương của k và khối lượng hiệu dụng giữ giá trị không đổi *
e
m âm (công thức 1.57).