Trong lĩnh vực điều khiển nâng cao này, một vài phương pháp đã được mô tả để thiết kế hệ thống thích nghi. Nhưng chúng ta có thể có được cái nhìn sâu sắc hơn với phương pháp này bằng cách tư duy làm cách nào tự tìm đựơc các thuật toán cho mình. Điều này giúp ta thực sự hiểu được những gì đang diễn ra. Do đó, trong lúc này chúng ta sẽ hoãn lại việc xem xét những hàm toán học và xem xét các ý tưởng cơ bản của MRAS với một ví dụ đơn giản. Khi chúng ta cố gắng thiết kế một bộ điều khiển thích nghi cho hệ thống đơn giản này, chúng ta sẽ gặp phải những vấn đề mà cần đến nền lý thuyết cơ bản hơn. Những tính chất nói chung với những phương pháp thiết kế khác nhau cũng như là sự khác biệt của các phương pháp này sẽ trở lên rõ ràng. Tất nhiên việc “điều khiển” với tham số Ka và Kb không phải là một bộ điều khiển thực tế. Trong thực tế, chúng tôi giả thiết ở phần này là các thông số đối tượng có thể được chỉnh định trực tiếp. Trong ví dụ này, đối tượng (tuyến tính) được mô tả bằng hàm truyền:
p 2
p
b
s + a s +1 và mô hình hoá bởi: m
2 m b s + a s +1 hoặc 2 2 2 Kω s + 2ξω s + ω m m m
Sự biến đổi trong tham số ap được bù lại bằng cách hiệu chỉnh Ka và những biến đổi trong tham số bp được chỉnh định bằng cách điều chỉnh Kb. Điều này tuân theo 1 cách trực tiếp từ hàm truyền của đối tượng cộng với bộ điều khiển trong Hình 3.3:
b p 2 p a K + b s + (a + K )s +1 (3.5) aP bP Đối tượng u + _ y + + _
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn/
Mô hình tham chiếu (tuyến tính) đã có bậc giống với đối tượng. Giá trị tính toán sau được lựa chọn:
p p
ω =10; z = 0,7; a = 68; b = 2500m
Trong trường hợp chỉ có (DC – Direct Control) điều khiển thích nghi trực tiếp – hệ số khuếch đại của đối tượng và mô hình mẫu khác nhau bởi hệ số bằng hai. Điều này có thể được nhận ra trong các đáp ứng bước nhảy đơn vị của hệ thống này (Hình 3.4a và 3.4b).
Vì e = ym – yp và y =p 1ym
2 , trong truờng hợp này sai lệch e bằng yp. Để nhận được 2 đáp ứng giống nhau, các tham số Kb cần được hiệu chỉnh. Hiển nhiên là Kb nên được điều chỉnh tăng lên. Một sự lựa chọn hợp lý cho việc chỉnh định Kb dường như là:
b b
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn/ bp Square Setpoint ap Yp bp1 ap Yp1 Sailech_e
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn/
Với “ hệ số thích nghi” β tốc độ chỉnh định có thể được đặt lại. Các chức năng nhớ yêu cầu được thực hiện bằng cách lấy tích phân mà cũng phải đảm bảo rằng một hằng số khác nhau giữa (Kb + bp) và bm, sai lệch e hội tụ về 0 (ma trận 0). Luật “thích nghi” này với β = 0,5cho các kết quả được hiển thị trong Hình 3.5.
sqrwave Ap Ap_process Bp Bp Kb Setpoint Yp Ym Sailech_e 1 s2+ 1.4s + 1 LinearSystem Kbp
nh 3.4b: Đáp ứng đ u ra của đối tượng (Yp), đáp ứng mô h nh mẫu (Yp1) và sai lệch hai đáp ứng đ u ra (e) khi thay đổi tham số bp.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn/
Hình 3.5b: Kết quả việc thích nghi dựa vào luật MIT theo tham số Kb.
Mặc dù kết quả là tốt, nhưng điều này nhanh chóng được nhận thấy rõ ràng rằng vẫn còn một vài vấn đề tồn tại. Khi tín hiệu đầu vào u bị đảo dấu việc chỉnh định của Kb sẽ đi sai hướng, vì e mang dấu âm. Kết quả là hệ thống lại không ổn định trong trường hợp này. Tuy nhiên, giải pháp cho vấn đề này rất đơn giản. Khi dấu của tín hiệu vào được đưa vào tính toán, ví dụ bằng cách nhân e và u, kết quả của việc chỉnh định thông số lại phù hợp với Hình 3.5. Điều này nhận được luật điều chỉnh được gọi là luật MIT:
b b
K (t) = K (0) + β (eu)dt (3.7)
Một vấn đề thứ hai gặp phải không chỉ các biến đổi tham số bp của đối tượng phải được bù lại, mà còn cả những thay đổi tham số ap. Một lý do tương tự như trường hợp hiệu chỉnh cho tham số Kb có thể dẫn tới luật chỉnh định cho tham số Ka, dựa vào tín hiệu e và hàm dấu của u. Nhưng điều này sẽ dẫn đến những luật chỉnh định giống nhau cho mỗi tham số. Rõ ràng không chỉ là việc chỉnh định trực tiếp các tham số đóng vai trò quan trọng, mà còn là lượng điều chỉnh mỗi tham số, quan hệ với những tham số khác. Vì “tốc độ động của việc chỉnh định” được thực hiện bằng cách hiệu
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn/
chỉnh từng tham số, và phụ thuộc vào hiệu quả của việc hiệu chỉnh này có làm giảm sai lệch. Lý do này dẫn đến các luật chỉnh định sau:
b b
K (t) = K (0) + β (eu)dt (3.8)
a a 2
K (t) = K (0) + α (ex )dt (3.9)
Tham số Kb được chỉnh định khi u, tín hiệu trực tiếp chịu ảnh hưởng bởi Kb, là lớn và tham số Ka được chỉnh định khi x2, là tín hiệu trực tiếp chịu ảnh hưởng bởi Ka, là lớn. Kết quả mô phỏng được đưa ra trong Hình 3.6. Điều này xuất hiện rằng suy luận bằng trực giác của ta mang lại một hệ thống mà sự thích nghi nhanh diễn ra một cách hợp lý. Trong mô phỏng của Hình 3.6 các giá trị của bp và ap được đưa ra bằng 0, mà nó được bù bởi các giá trị thích hợp ban đầu của Ka và Kb (tương ứng với 0.5 và 0.7). Những tham số hội tụ đến một giá trị chính xác 1 và 1.4. Và vì vậy, kết quả là đáp ứng của đối tượng và mô hình mẫu trở nên bằng nhau. Tốc độ thích nghi được chọn là 12 và 2.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn/
Hình 3.6: Kết quả việc thích nghi của Ka vàKb.
nh 3.6: Kết quả việc thích nghi của Ka vàKb
Trong Hình 3.6 tốc độ thích nghi, xác định bởi hệ số thích nghi và , vẫn còn nhỏ. Để tăng tốc độ hệ thống, hệ số thích nghi được tăng lên với 60 và 10. Điều này mang lại kết quả kém hơn, trong Hình 3.7.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn/
Hệ thống thích nghi đã ổn định với những hệ số thích nghi thấp, trở nên không ổn định với những hệ số thích nghi cao hơn. Khi sơ đồ khối của hệ thống này được xác định (Hình 3.8). Điều này trở lên rõ ràng là vấn đề ổn định này không thể dễ dàng được giải quyết, do tính phi tuyến đã được đưa vào hệ thống.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn/ bp Alpha Beta Ka Kb s + 2 s + k2 2 2 nhieu1 ap Sailech_e SignalMonitor Square Square1 Ym Yp
Cho đến lúc này chúng ta vẫn gặp phải 2 vấn đề sau:
(1) Loại „tốc độ động thích nghi‟ cần thiết để nhận ra là mỗi tham số chỉ được chỉnh định khi kết quả sai lệch là nhạy cảm với sự thay đổi của tham số đó.
(2) Vấn đề ổn định còn tồn tại khi hệ số thích nghi được tăng lên như là một kết quả của sự đòi hỏi tăng tốc độ thích nghi. Vấn đề ổn định này không thể dễ dàng được giải quyết bằng phương pháp phân tích tuyến tính bởi vì sự thích nghi tạo ra hệ thống phi tuyến.
Nguồn gốc rõ ràng của 2 vấn đề của một vài phương pháp cho việc thiết kế MRAS. Ta xét phương pháp ổn định
-Phương pháp ổn định. Phương pháp này nhấn mạnh đến vấn đề ổn định. Bởi vì đặc tính phi tuyến của một hệ thích nghi. Lý thuyết ổn định của hệ phi tuyến được sử dụng là cần thiết. Điều này sẽ được chỉ ra rằng, cùng với một chứng minh về tính ổn định, những luật thích nghi hữu ích có thể được tìm ra.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn/
Phƣơng pháp ổn định của Lyapunov .
Dùng lý thuyết ổn định Lyapunov để thiết kế hệ thống thích nghi được đưa ra bởi Park năm 1966. Nguồn gốc luật thích nghi được thực hiện dễ dàng nhất khi đối tượng và mô hình mẫu được mô tả qua dạng mô hình không gian trang thái. Đối tượng được viết lại là:
p p p p x A x B u (3.10) ' p p a A A K (3.11) ' p p b B B K (3.12) Ma trân ' p A và ' p
B là thông số đối tượng đang bị thay đổi mà được bù bằng cách điều khiển thông số Ka, Kb. Phương trình mô tả mô hình mẫu được viết lại dưới dạng không gian trạng thái là:
m m m m
x A x B u (3.13)
Trừ (3.13) cho (3.10) với định nghĩa e:
m p e x x (3.14) m p e A e Ax Bu (3.15) Với: m p A A A (3.16) m p B B B (3.17)
Điều chỉnh A và B đòi hỏi phải có luật thích nghi phi tuyến như công thức (3.8) và (3.9). Vì thế phương trình vi phân (3.15) là phi tuyến. Để đảm bảo rằng t thì e = 0, điều kiện cần và đủ chứng minh rằng e = 0 là một giải pháp cân bằng ổn định. Theo lý thuyết ổn định lyapunov điều này có thể thực hiện được khi chúng ta tìm một hàm (vô hướng) lyapunov V(e) với tính chất sau:
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn/ V(e) xác định dương (nghĩa là V > 0 với e 0, thậm chí V= 0 khi e=0. V*(e) xác định âm (nghĩa là V*<0 với e 0, thậm chí V* = 0 khi e = 0).
( )
V e khi e
Khi hàm lyapunov V(e) đã được chọn chính xác, luật thích nghi theo hướng từ điều kiện dưới mà V e( ) xác định âm. Vấn đề chủ yếu (lựa chọn hàm toán) được chọn
phù hợp V(e). Có thể tìm được nhiều hàm lyapunov phù hợp, những hàm lyapunov khác nhau dẫn đến luật thích nghi khác nhau. Việc tìm hàm lyapunov phụ thuộc vào người thiết kế phải hiểu thuật toán, và là một quá trình khó khăn. Tuy nhiên trong lĩnh vực điều khiển học có vài “hàm lyapunov chuẩn đưa ra những luật thích nghi hữu ích”. Luật thích nghi đơn giản và áp dụng phổ biến được tìm ra khi sử dụng hàm lyapunov sau:
( ) T T T
V e e Pe a a b b (3.18)
Ở đó:
- P là ma trận đối xứng dương tùy ý.
- a, b là những vector gồm những phần tử khác 0 của ma trận A,B.
- và là ma trận đường chéo, có những phần tử dương xác định tốc độ thích nghi. Việc lựa chọn hàm lyapunov đưa ra trong công thức (3.18) không quá phức tạp. Hàm lyapunov biểu diễn một loại năng lượng, năng lượng này được có mặt trong hệ thống và loại năng lượng này khi tiến dần về 0, hệ thống đạt tới điểm cân bằng ổn định. Trong nhiều hệ thống động năng lượng này có mặt trong những khâu tích phân, năng lượng này cũng có thể được xem xét như là những biến trạng thái của hệ thống. Các thành phần e,a,b là những biến trạng thái của hệ thống được mô tả trong công thức (3.15). Các thành phần a, b là những tham số sai lệch và có thể thấy rằng đặt sai điều kiện ban đầu trong tham số điều khiển thích nghi. Vì vậy đòi hỏi rằng tất cả các biến trạng thái e, a, b đều tiến về 0.
Lựa chọn (P, và , V(e)) là những hàm xác định dương. Kết quả đạo hàm V(e):
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 2 2 T T T T V e Pe e Pe a a b b (3.19) Cùng với công thức (3.15) ta có: ( ) ( ) 2 2 2 2 T T T T T T m m p V A e Pe e P A e e PAx a a e PBu b b (3.20) Đặt: T m m A P PA Q (3.21)
Bởi vì ma trận Am chọn hệ thống ổn định (mô hình mẫu). Theo định lý Malkin, Q là ma trận xác định dương, nó bao hàm phần đầu của công thức (3.20):
( )
T T T
m m
e A P PA e e Qe (3.22)
Xác định âm, sự ổn định của hệ thống có thể được đảm bảo nếu phần cuối của công thức (3.20) được thiết lập bằng 0. Đặt :
0 T T p e PAx a a (3.23) 0 T T e PBu b b (3.24)
Sau một số biến đổi toán học, biểu thức chung của luật điều chỉnh :
1 1 ( ) n ni nk k i k ni a P e x (3.25) 1 1 ( ) n i nk k i k i b P e u (3.26) Ở đó n là bậc của hệ thống.
Những thuật toán có cấu trúc cơ bản ở những phần trước là những thuật toán được tìm ra dễ ràng bằng cách tự khám phá. Sự khác nhau chủ yếu là các phần tử của vector sai lệch e (hệ số Pnk) được sử dụng trong luật thích nghi, được thay bởi tín hiệu sai lệch e. Hệ số Pnk là những phần tử hàng thứ n và cột thứ k của ma trận P, những phần tử này được tìm ra với sự trợ giúp từ công thức (3.21). Chọn một ma trận Q tùy ý xác định dương, sau đó ma trận P được giải từ (3.21).
Trong mô phỏng dễ dàng giải ra P từ công thức (3.21), ta có : A PmT PAm Q 0
Và xem xét biểu thức này như giải pháp cân bằng của phương trình vi phân:
T
m m
dP
A P PA Q dt
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn/
Biểu thức này dễ ràng giải được bằng phần mềm 20-sim. Có thể tăng tốc độ hội tụ bằng cách đưa vào hệ số tăng tốc 1, ví dụ λ=10:
1 T
m m
dP
A P PA Q dt
Từ đó những bước cần thiết, để thiết kế hệ điều khiển thích nghi với phương pháp lyapunov.
1. Xác định phương trình vi phân cho e 2. Chọn một hàm lyapunov
3. Xác định điều kiện dưới để V xác định âm. 4. Giải tìm P từ phương trình T
m m
A P PA Q
Cấu trúc mô tả trong hình 3.9 có thể được sử dụng như một
thích nghi. Các thông số của bộ điều khiển này là Kp và Kd. S thay i ở các thông số quá trình bp và ap có thể được bù bởi sự thay đổi ở Kp và Kd. Chúng ta sẽ tìm ra hình thức các luật hiệu chỉnh cho Kp và Kd.
Đối tượng được mô tả theo hệ phương trình vi phân:
1 2 p p x x (3.27) 2 K x -(a +b K )x +b K R1 2 p p p p p p d p p p x b (3.28) 3.9.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn/
p p p p
x A x B u (3.29)
Điều này nhận được:
0 1 ( ) p p p p p d A b K a b K 0 0 p B (3.30)
Mô hình mẫu (với m = 10 và 2z m = 1.4) được mô tả bởi:
0 1 100 1.4 m A 2 0 m m B (3.31)
Bước 1: Phương trình vi phân của e là:
m p e A e Ax bu (3.32) Với: 2 0 0 2 ( ) m p p m p p d A b K z a b K ; 2 0 m B (3.33)
Chỉ một phần tử a22 của ma trận A, một phần tử b2 của vector b khác 0.
Bước 2:
Lựa chọn một hàm Lyapunov V.
( ) T T T
V e e Pe a a b b :
P là một ma trận đối xứng xác định dương tính tùy ý;
a và b là véc tơ có chứa các phần tử khác không của A và ma trận B;
α và β là ma trận đường chéo với các phần tử dương để xác định tốc độ thích nghi.
Bước 3:
Xác định các điều kiện dưới đây mà dV/dt là xác định âm.
2 2
T T T T
V e Pe e Pe a a b b
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn/ ( )T T ( ) 2 T ( ) 2 T 2 T ( ) 2 T m m p A e Pe e P A e e P Ax a a e P Bu b b (3.34)