Các phép toán này chủ yếu được nghiên cứu hai thuật toán cộng và trừ Minkowski [8] để làm trơn tru các khối màu khi ta phân lớp ảnh, phép toán này bao gồm các phép toán
• Làm dãn ra (Dilation)
Cho hai tập A và B nằm trong không gian Z2,∅ là một tập rỗng. Dilation của A từ thành phần B được ký hiệu A ⊕ B và được
định nghĩa như sau ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ∅ ≠ ∩ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ⊕B x| B∧ A A x (2.35)
Hình 2.7 (a) trước khi Dilation, (b) sau khi Dilation [13]
Định nghĩa của Dilation có nhiều cách khác nhau. Minkowski
đã định nghĩa theo cách khác mà nó được hiểu như phép cộng Minkowski ( )x B x A B A ∈ ∪ = ⊕ (2.36)
Cộng Minkowski, như hình 2.7 công việc được thực hiện bằng cách lấy phần tử ở B đặt theo từng pixel xung quanh A nhằm làm kéo dãn cho vùng của A
• Làm xói mòn (Erosion)
Cho hai tập A và B nằm trong không gian Z2, Erosion của A theo thành phần B được ký hiệu và được định nghĩa như
sau
(2.37)
Erosion của A với B là một tập của tất cả các điểm x trong B
được dịch chuyển xung quanh A nhằm làm mỏng bớt A. Erosion
còn được định nghĩa theo Minkowski được gọi là phép trừ
Minkowski được định nghĩa như sau
(2.38) • Các tính chất cơ bản của Dilation và Erosion
Tính giao hoán: trong Dilation cấu trúc các phần tử trong ảnh có thểđược hoán đổi
(2.39) Tính không giao hoán: Erosion của các phần tử sẽ không
được hoán đổi cho nhau
(2.40) Tính chất kết hợp: Phép toán Dilation có tính chất kết hợp, nó
cho phép chúng ta phân tích một thành phần liên tục thành các phần tử rời rạc (2.41) Tính bất biến theo thời gian (2.42) (2.43) Tính đối nghịch: Nếu A là một vùng và Ac là vùng nền thì hai công thức sau mô tả trạng thái Dilation của một vùng cũng giống nhưErosion thành phần của nó và ngược lại
(2.44) (2.45)
Gia tăng phần tử trong A: có các đặc tính gia tăng rất quan trọng nhằm kéo dãn hình học từ các số nhị phân để tăng mức xám ảnh. Cho cấu trúc B bất kỳ và hai ảnh A1 và A2 với 2 1 A A ⊂ (2.46) (2.47) Giảm phần tử trong B: Cho hai phần tử B1 và B2 với B1 ⊂ B2
(2.48) • Các định lý phân tích
(2.49)
• Phép toán mở (Opening) và phép toán đóng (Closing)
Trong phần này chúng ta tìm hiểu hai phép toán quan trọng
đó là phép toán đóng và phép toán mở. Cả hai đặc tính quan trọng này giúp ta trong lọc ảnh. Quá trình Erosion không chỉ di chuyển tất cả các pixel trong một ảnh để chúng không chứa các phần tử cấu trúc dư thừa mà nó còn tạo ra tất cả các vùng khác nhỏ hơn được trơn tru
Thuật toán Opening
Opening thực hiện ngược lại với phép toán Erosion. Phép toán này sẽ thực hiện Erosion của ảnh sau đó tực hiện
Opening của tập A trong phần tử của tập B được ký hiệu
B
Ao và nó được định nghĩa sau.
(2.50)
Opening của A với B là Erosion của A với B được cho phép bởi phép toán Dilation mà kết quả giống phần tử B. Nếu phần tử B lắp nhỏ hơn hay bằng trong A thì toàn bộ phần tử
sẽ được giữ lại, ngược lại nếu lớn hơn chúng sẽ bị bỏđi, lúc
đó kết quả đã được thực hiện. Opening của ảnh nhị phân là phần tử vuông như trong hình 2.9
Hình 2.9 (a) trước khi Opening, (b) sau khi Opening [13] Thuật toán Closing
Ngược lại trường hợp Opening thuật toán Closing sẽ
làm mỏng các đường biên, kết hợp nơi bị gãy hẹp và các nơi mỏng yếu, loại bỏ những lỗ nhỏ hay điền đầy đường viền.
Closing của một tập A với phần tử trong B được ký hiệu A•B
được định nghĩa sau
(2.51) Closing của một tập A với tập B (B xem như cửa sổ)
được cho bởi kết quả từ phép Erosion các phần tử trong B. Trái ngược với Opening, thuật toán Closing sử dụng cửa sổ
B điền đầy các phần tử trong A với điều kiện điểm khuyết nhỏ hơn cửa sổ B như hình 2.10
Hình 2.10 (a) trước khi Closing, (b) sau khi Closing [13] Các tính chất của Opening và Closing a. Tính đối ngẫu (2.52) b. Tính bất biến (2.53) c. Tính thu hẹp (2.54) d. Tính kéo dãn (2.55) e. Tính chất gia tăng đều (2.56) f. Tính chất phụ thuộc (2.57)
Đặc tính hình học của hai thuật toán Opening và Closing có thể được xem như các lọc dải thông lý tưởng. Theo quy
ước lọc tuyến tính mỗi ảnh được lọc bằng lọc dãi thông lý tưởng, lọc liên tục kết quả sẽ không thay đổi. Trong đó mỗi kết quả chứa một phép toán Opening hoặc Closing, thì tính lập của các phép toán đó sẽ không ảnh hưởng đến kết quả
cuối cùng.