7. Cấu trúc khóa luận
2.5. Một số vận dụng của thống kê
Tình huống 1: Cơ quan bạn tiến hành thăm dò ý kiến của khách hàng về các mẫu 1, 2, 3, 4, 5 của một loại sản phẩm mới của nhà máy. Dưới đây là bảng phân phối tần số theo số phiếu tín nhiệm dành cho các mẫu sản phẩm trên:
Mẫu 1 2 3 4 5 Tổng
Tần số 2100 1860 1950 2000 2090 10000 Trong sản xuất, nhà máy bạn nên ưu tiên mẫu nào?
Phƣơng án giải quyết:
Nhà máy cần ưu tiên sản phẩm được tín nhiệm nhiều nhất tức là sản phẩm có số mốt cao nhất. Ta thấy tần số phiếu tín nhiệm dành cho mẫu 1 là lớn nhất bằng 2100. Vậy mốt là mẫu 1. Nhà máy cần ưu tiên sản xuất sản phẩm có tần số lớn nhất tức là sản xuất mẫu 1.
Tình huống 2: Kết quả điều tra 59 hộ gia đình ở một vùng dân cư về số con của mỗi hộ gia đình được ghi trong bảng sau:
3 2 1 1 1 1 0 2 4 0 3 0
1 3 0 2 2 2 1 3 2 2 3 3
2 2 4 3 2 2 4 3 2 4 1 3
0 1 3 2 3 1 4 3 0 2 2 1
2 1 2 0 4 2 3 1 1 2 0
Bạn hãy nêu nhận xét về số con của các gia đình đã điều tra?
Phƣơng án giải quyết:
Để đưa ra được nhận xét về số con trong gia đình ta cần lập bảng tần số và tần suất.
Ta có bảng tần số và tần suất sau:
Số con 0 1 2 3 4 Tổng
Tần số 8 13 19 13 6 59
Từ bảng trên ta thấy: Trong 59 hộ gia đình được khảo sát thì Chiếm tỉ lệ thấp nhất (10,2%) là những gia đình có 4 con. Chiếm tỉ lệ cao nhất (32,2%) là những gia đình có 2 con. Phần lớn (76,2%) là những gia đình có từ 1 con đến 3 con.
Tình huống 3: Bạn là giáo viên dạy ngữ văn ở trường Trung học phổ thông. Hai lớp 10C và 10D của trường bạn dạy đồng thời làm bài thi môn ngữ văn theo một đề thi. Kết quả thu được trình bày ở hai bảng phân bố sau:
I. Điểm thi ngữ văn lớp 10C:
Điểm thi 5 6 7 8 9 10 Tổng
Tần số 3 7 12 14 3 1 40
II. Điểm thi ngữ văn lớp 10D:
Điểm thi 5 6 7 8 9 10 Tổng
Tần số 0 8 18 10 4 0 40
Bạn hãy thống kê điểm thi trung bình và xét xem kết quả bài thi của môn ngữ văn lớp nào đồng đều hơn?
Phƣơng án giải quyết:
Bạn tính được điểm thi trung bình cộng của lớp 10C là x7, 2. Điểm trung bình của lớp 10D là y7, 2.
Phương sai 2 1
S của lớp 10C là 1,3 . Phương sai S22 của lớp 10D 0,8 . Vì S12 S22 nên điểm số ở các bài thi ở lớp 10D là đồng đều hơn.
Tình huống 4: Bạn phải chọn một số bút bi của hai hãng sản xuất A và B và thử xem một bút sau bao nhiêu giờ thì hết mực kết quả như sau (đơn vị giờ):
Loại bút A: 23 25 27 28 30 35 Loại bút B: 16 22 28 33 46
Giả sử hai loại bút A và B có cùng một giá. Dựa vào sự khảo sát trên, bạn nên quyết định mua loại bút nào để thời gian sử dụng lâu nhất?
Phƣơng án giải quyết:
Nhận thấy khái niệm về phương sai, độ lệch chuẩn sẽ trả lời cho ta câu hỏi đó.
Nghĩa là phương sai độ lệch chuẩn là đại lượng đo mức chênh lệch giữa các giá trị của mẫu số liệu so với số trung bình.
Sau khi tính toán có loại bút A: số trung bình 28 giờ, độ lệch chuẩn 3,83 giờ. Sau khi tính toán có loại bút B: số trung bình 29 giờ, độ lệch chuẩn 10,24 giờ. Loại bút B có thời gian sử dụng trung bình lâu hơn.
Vậy bạn sẽ chọn loại bút B.
2.6. Một số vận dụng của giải tam giác
Tình huống 1: Bạn muốn đo chiều cao của một tòa tháp mà không thể đến chân tòa tháp bạn sẽ làm thế nào ?
Phƣơng án giải quyết:
D
h
B C A
Không dùng cách đo trực tiếp, bạn đo chiều dài một tòa tháp thì bạn phải tìm một cách khác. Giả sử CD = h là chiều cao của tháp trong đó C là chân tháp. Chọn hai điểm A, B trên mặt đất sao cho ba điểm A, B, C thẳng hàng. Ta đo khoảng cách AB và các góc CAD, CBD. Chẳng hạn đo đượcAB24m,
0
63
CAD , CBD 480.
Áp dụng định lí Sin vào tam giác ABD ta có: AB AB Sin SinD Ta có D B nên D 630480 150 Do đó : 0 0 . 24.sin 48 68,91 sin15 AB Sin AD Sin
Trong tam giác vuông ADC ta có hCDAD.sin 61,41 m .
Tình huống 2: Tính khoảng cách từ một địa điểm bên bờ sông đến một cây trên một cù lao ở giữa sông?
Phƣơng án giải quyết:
Để đo khoảng cách từ một điểm A trên bờ sông đến gốc cây C trên cù lao giữa sông, ta chọn một điểm B cùng ở trên bờ A sao cho từ A và B có thể nhìn thấy điểm C. Ta đo khoảng cách AB, góc CAB và CBA chẳng hạn ta đo được
40
AB m, CAB 450 và CBA 700.
B A 40 m
Khi đó, khoảng cách AC được tính như sau: Áp dụng định lí sin vào tam giác ABC, ta có: sin sin
AB AB
B C
Vì: SinCsin nên
0 0 .sin 40sin 70 41, 47 sin sin115 AB AC m Vậy: AC 41,47 m C
Tình huống 3:
Bạn có biết người ta đo khoảng cách Trái Đất và Mặt trăng như thế nào ?
u U' OTrái Đất Mặt TrăngA B C
Loài người đã biết được khoảng cách giữa Trái Đất và Mặt Trăng cách đây khoảng hai ngàn năm với một độ chính xác tuyệt vời là khoảng 348 000 km. Sau đó, khoảng cách giữa Trái đất và Mặt trăng được xác lập một cách chắc chắn vào năm 1751 do hai nhà thiên văn người Pháp là Ni - Cô và La - Cay. Hai ông đã phối hợp tổ chức đứng ở hai điểm rất xa nhau. Một người ở Béc Lin gọi là điểm A còn người kia ở Mũi Hảo Vọng ( Bon me - Esperance ) một mũi đất ở cực nam Châu Phi, gọi là điểm B. Gọi C là một mũi đất trên mặt phẳng. Từ A và B người ta đo và tính được các góc A, B và cạnh AB của tam giác ABC.
Trong mặt phẳng (ABC) gọi tia AX là đường chân trời. Vẽ từ đỉnh B. Kí hiệu CAX , CBY
Gọi O là tâm Trái đất, ta có: 1
2
u XABYAB AOB
Tam giác ABC có A u , B u
Vì biết độ dài cung AB nên ta tính được góc AOB và do đó tính được độ dài cạnh AB. Tam giác ABC được xác định vì biết “góc - cạnh - góc” của tam giác đó. Từ đó ta có thể tìm được chiều cao CH của tam giác ABC đó cũng là khoảng cách cần tìm.
Người ta nhận thấy rằng, khoảng cách này gần bằng mười lần độ dài xích đạo của Trái đất (10 x 40 000 km)
2.7. Một số vận dụng của tổ hợp xác suất
Tình huống 1: Trường bạn tổ chức giải bóng đá học sinh và giải bóng có 16 trường đăng ký tham gia theo ba vòng gồm 4 bảng A, B, C, D. Mỗi bảng gồm 4 đội. Cách thức thi đấu như sau:
+) Vòng 1: Mỗi đội tuyển trong cùng một bảng gặp nhau một lần và gặp tất cả các đội bóng có trong bảng (ví dụ bảng A đội thứ nhất phải thi đấu với 3 đội còn lại).
+)Vòng 2: (Bán kết) Nhất bảng A gặp nhất bảng C, nhất bảng B gặp nhất bảng D.
+)Vòng 3: (Chung kết) Hai đội thua ở vòng bán kết tranh giải ba. Hai đội thắng trong bán kết tranh giải nhất.
Giải bóng được tổ chức vào các ngày liên tiếp, mỗi ngày 4 trận. Hỏi ban tổ chức cần mượn sân vận động trong bao nhiêu ngày?
Phƣơng án giải quyết:
Ta thấy rằng số ngày mượn sân vận động phụ thuộc vào số trận đấu được tổ chức. Do đó, cần tính số trận đấu có thể diễn ra.
Số trận đấu trong cùng một bảng là 2 4
C . Do vậy, số trận đấu trong vòng một là 2
4
4.C = 24 (trận). Số trận đấu vòng 2 là 2 trận. Số trận đấu vòng 3 là 2 trận. Vậy số trận có khả năng xảy ra là 24 + 2 + 2 = 28 (trận)
Do vậy ban tổ chức cần mượn sân vận động trong thời gian là 28 : 4 = 7 (ngày)
Tình huống 2: Khi chơi trò chơi gieo xúc sắc có 2 cách chơi như sau:
Cách 1: Gieo một lần 4 con xúc sắc nếu xuất hiện một mặt sáu chấm là thắng.
Cách 2: Gieo một lần bốn cặp xúc sắc có 36 kết quả đối xứng nên gieo 24 lần một cặp xúc sắc, xuất hiện một cặp (6,6) thì thắng.
Phƣơng án giải quyết:
Nhìn vào bài toán khó có thể xác định cách nào sẽ thắng dễ hơn. Do vậy, ta cần nghĩ đến xác suất để thắng theo cách 1 và cách 2.
+) Đối với cách 1: Gọi biến cố “được ít nhất một mặt 6 chấm” trong phép thử “gieo một lần 4 con xúc sắc”
+) Đối với cách 2: Khi gieo một lần một cặp xúc sắc có 36 kết quả đối xứng nên gieo 24 lần một cặp xúc sắc ta sẽ có kết quả đối xứng.
Gọi A2 là biến cố “được một cặp (6,6) ít nhất một lần”. Trong phép thử gieo 24 lần mỗi cặp xúc sắc. Biến cố “không được cặp (6,6) nào”.
Vậy ta thấy nên chơi theo cách 1 phần thắng sẽ cao hơn cách 2.
Tình huống 3: Một nhóm học tập có năm bạn A, B, C, D, E. Hãy tính số cách phân công trực nhật. Biết trong một ngày sẽ có 3 người làm ba việc là quét nhà, lau bảng, sắp bàn ghế.
Phƣơng án giải quyết:
Ta có thể sử dụng phương pháp liệt kê như sau :
Quét nhà Lau bảng Sắp bàn ghế A C D A D C C B E ... ... ... Cách này rất dễ nhầm lẫn và cũng khá phức tạp.
Vì vậy ta chọn một cách khác là sử dụng quy tắc nhân. Để tạo nên mọi cách phân công ta tiến hành như sau:
- Chọn một bạn từ năm bạn để giao việc quét nhà. Có 5 cách.
- Khi đã chọn một bạn quét nhà rồi, chọn tiếp một bạn từ ba bạn còn lại giao việc sắp bàn ghế. Có 3 cách.
Theo quy tắc nhân, số cách phân công trực nhật là 5 x 4 x 3 = 60 (cách) Nói cách khác ta có 60 chỉnh hợp chập 3 của 5 bạn.
Tình huống 4: Ở Việt Nam hiện nay hình thức kiểm tra trắc nghiệm trở nên khá phổ biến. Bạn làm một bài thi trắc nghiệm khách quan tiếng anh có 30 câu và mỗi câu có 4 đáp án trả lời, trong đó chỉ có duy nhất một phương án trả lời đúng. Bạn không học thuộc bài nên với mỗi câu bạn chọn bất kỳ một đáp án bạn cho là đúng theo cảm tính. Nếu làm theo cách đó có hiệu quả không?
Phƣơng án giải quyết:
Bạn cần tính xác suất để đạt điểm 5 tức là điểm trung bình là như thế nào. Xác suất để bạn trả lời đúng 30 câu là 130 8,67.10 20
4
. Ta thấy xác suất này quá thấp ( 20
86,7.10 1). Xác suất để học sinh đạt điểm trung bình là
20 15 15 1 . 0,122 1 4 C . Xác suất này cũng rất thấp.
Vậy qua hai vấn đề đó ta khẳng định rằng với hình thức kiểm tra bằng phương pháp trắc nghiệm khách quan thì nếu bạn không học bài thì làm bài sẽ không hiệu quả.
Tình huống 5: Hiện nay vấn đề an toàn giao thông là một trong những vấn đề quan tâm hàng đầu của người đi đường. Một nhân viên công ty X khi đến công ty làm việc có hai con đường A, B mà khi đi trên hai con đường đó quãng đường đi là như nhau. Vì vậy anh ta muốn chọn một con đường an toàn để đi. Cảnh sát giao thông ở hai con đường đó cho ông ta số liệu về tốc độ của 30 chiếc xe máy trong hai con đường trên là như sau:
Con đường A: 40 45 50 48 42 55 60 63 62 49 53 55 65 52 47 68 65 52 43 55 56 65 64 50 41 40 45 53 56 70 Con đường B: 56 44 38 62 52 50 48 55 43 47 54 50 59 60 53 55 51 48 52 53 59 60 43 42 51 50 49 40 43 54
Dựa vào bảng số liệu trên, bạn hãy giúp nguời đó chọn một con đường an toàn?
Phƣơng án giải quyết :
Cần phải căn cứ vào các thông số tốc độ trung bình, số trung vị độ lệch chuẩn của tốc độ xe máy trên mỗi con đường A, B.
Con đuờng A Ta có tốc độ trung bình là: 1589 53 / 30 A x km h Số trung vị là 53 km/h. Độ lệch chuẩn S = 8,67 km/h. Con đường B Tốc độ trung bình là 1589 53 / 30 B x km h Số trung vị là 51km/h. Độ lệch chuẩn là S 6,2km h/
Như vậy theo thông số ở trên thì con đường B sẽ an toàn hơn. Ông ta nên chọn đường B để đi làm việc.
2.8. Một số vận dụng của cấp số cộng, cấp số nhân Tình huống 1: Bạn có biết câu chuyện về cờ vua?
Tục truyền rằng nhà vua Ấn Độ cho phép người phát minh ra bàn cờ vua được lựa chọn phần thưởng tùy thích. Người đó chỉ xin nhà vua thưởng cho số thóc bằng số thóc được đặt lên 64 ô của bàn cờ như sau: Đặt lên ô thứ nhất của bàn cờ một hạt thóc, tiếp tục đến ô thứ hai là hai hạt.... Cứ như vậy, số hạt thóc ở ô sau gấp đôi số hạt thóc ở ô liền trước cho đến ô cuối cùng. Vậy số hạt thóc nhà vua cần thưởng cho người phát minh ra bàn cờ là bao nhiêu?
Phƣơng án giải quyết:
Chúng ta sẽ thấy số hạt thóc làm phần thưởng chính là tổng 64 số hạng đầu của cấp số nhân với u1 1 và q = 2.
Vậy : 64 63 64 64 1(1 2 ) 1 2 4 ... 2 2 1 1 2 S
Cứ cho rằng 100 hạt thóc nặng 20 gam thì khối lượng thóc là: 64 20. 2 1 396 1000 gam tỉ tấn.
Nếu đem rải đều số thóc này lên trên bề mặt của Trái Đất thì được một lớp thóc dày 9 mm.
Tình huống 2: Nếu bạn là người đi phỏng vấn xin việc. Khi vào phỏng vấn, người phỏng vấn đề xuất hai phương án trả lương:
Phương án 1: Bạn nhận 36 triệu đồng cho năm làm việc đầu tiên và kể từ năm thứ hai, mức lương sẽ được tăng lên 3 triệu đồng mỗi năm. Biết thời gian làm việc là 10 năm.
Phương án 2: Bạn sẽ nhận được 7 triệu đồng cho quý đầu tiên và kể từ các quý làm việc thứ hai mức lương sẽ tăng thêm 500 000 đồng mỗi quý.
Bạn chọn phương án nào?
Phƣơng án giải quyết:
Ta phải chọn một trong hai phương án để nhận lương. Ta thấy việc chọn một trong hai phương án nhận lương phải căn cứ vào số tiền bạn nhận được trong 10 năm.
+) Ở phương án 1: Tình huống này ta sẽ áp dụng cấp số cộng với số hạng đầu là 36 triệu, công sai d là 3 triệu.
+) Ở phương án 2: Tình huống này là cấp số công với số hạng đầu là 7 triệu, công sai d là 0,5 triệu.
Vậy theo phương án 1 tổng số tiền người lao động nhận được là (72 9.3).5 195 triệu.
Theo phương án 2 tổng số tiền mà người lao động nhận được là
14 39.0,5 .20 670 triệu.
Vậy nếu người lao động chọn phương án 2 để nhận lương thì số tiền lương sẽ cao hơn phương án 1.
Tình huống 3: Tế bào E.coli là một tế bào sống trong đường ruột con người. Tế bào E.coli thường được sử dụng trong lĩnh vực sinh học nước ta. Biết rằng, tế bào E.coli trong điều kiện nuôi cấy thích hợp cứ 20 phút lại phân đôi một lần. Tế