Một số vận dụng của hàm số bậc nhất, hàm số bậc hai

7. Cấu trúc khóa luận

2.2. Một số vận dụng của hàm số bậc nhất, hàm số bậc hai

Tình huống 1: Bạn là người thuê xe Taxi. Một hãng taxi định giá tiền thuê xe đi mỗi km là 6000đ cho 10km đầu tiên và 4000đ cho các km tiếp theo, hoặc 5000đ cho mỗi km trên cả quãng đường.

Vậy bạn muốn đi x km thì phải chọn phương án nào.

Phƣơng án giải quyết:

Người thuê xe cần chọn 1 trong 2 cách đi trên sao cho tiết kiệm nhất.

Ta thấy nếu quãng đường khách hàng đi x ≤ 10km thì chọn cách hai để trả tiền sẽ tiết kiệm hơn và tiết kiệm được (6 5).1000 x1000x đồng.

Nếu x10 x 10 y , y0. Theo cách 1 số tiền khách phải trả là:

1 10.6000 .4000 60000 4000

T   y   y.

Theo cách 2 số tiền hành khách phải trả là:

2 (10 ).5000 50000 5000 T   y   y. Xét : 10000 1000 0 1 2 1000 10000 10. T T y y y        

Vậy nếu đoạn đường hành khách đi lớn hơn 10 km thì nên chọn cách 1 sẽ đỡ tốn kém hơn.

Tình huống 2: (Tính chiều cao cổng Ác - xơ) Khi đi du lịch đến thành phố Xanh Lu-i (Mĩ), ta sẽ thấy một cái cổng lớn có hình parabol hướng bề lõm xuống dưới, đó là cổng Ác - xơ. Giả sử ta lập một hệ toạ độ 0xy sao cho một chân cổng đi qua gốc 0 như hình dưới đây (x và y tính bằng mét), chân kia của cổng ở vị trí (162; 0). Biết một điểm M trên cổng có tọa độ là (10; 43).

Tính chiều cao của cổng (tính từ đỉnh cao nhất trên cổng xuống mặt đất, làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Phƣơng án giải quyết:

Đối với bài toán này ta tính chiều cao của cổng khi ta không thể dùng dụng cụ đo đạc để đo trực tiếp.

Cổng dạng Parabol có thể xem là đồ thị của hàm số bậc hai, chiều cao của cổng tương ứng với đỉnh của Parabol. Do đó vấn đề được giải quyết nếu ta biết hàm số bậc hai nhận cổng làm đồ thị.

Đơn giản vấn đề: chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho gốc tọa độ O trùng một chân của cổng (như hình vẽ):

Ta biết hàm số bậc hai có dạng: 2

yax bxc, (a0). Do vậy muốn biết được đồ thị hàm số nhận cổng làm đồ thị thì ta cần biết ít nhất tọa độ của 3 điểm nằm trên đồ thị chẳng hạn O, B, M .

Rõ ràng O(0,0); M(x,y); B(b,0). Ta phải tiến hành đo đạc để nắm số liệu cần thiết.

Đối với trường hợp này ta cần đo: khoảng cách giữa hai chân cổng, và một điểm M bất kỳ chẳng hạn b162,x10, y43.

Ta viết được hàm số bậc hai lúc này là : 43 2 3483 . 1320 700 y  x x   Đỉnh S (81m;185,6m) O M B x y

Vậy trong trường hợp này cổng cao 185,6m. Trên thực tế cổng Ác - xơ cao 186m.

Từ đây có thể cho học sinh làm các bài toán tìm chiều cao của cổng trường đại học Bách Khoa, một nhịp cầu Tràng Tiền…

2.3. Một số vận dụng của phƣơng trình và hệ phƣơng trình bậc nhất nhiều ẩn Tình huống 1: Bạn là một nhân viên mới được giao nhiệm vụ đến bán quần áo cho một cửa hàng. Do quá bận rộn bạn đã quên ghi chép vào sổ giá mà người chủ đã nhắc nhở. Chỉ biết rằng thống kê 3 ngày là:

Ngày thứ nhất bán được 12 áo, 21 quần và18 váy. Doanh thu là 5 349 000 đồng. Ngày thứ hai bán được 16 áo, 24 quần và 12 váy. Doanh thu là 5 259 000 đồng. Ngày thứ ba bán được 24 áo, 15 quần và 12 váy. Doanh thu là 5 259 000 đồng. Bạn phải làm thế nào để biết được giá quần, áo và váy khi không hỏi lại chủ hàng?

Phƣơng án giải quyết:

Từ những giả thuyết nêu trên ta gọi:

x(ngàn đồng) là giá bán một áo sơ mi.

y(ngàn đồng) là giá bán một quần.

z(ngàn đồng) là giá bán một váy nữ.

Ngày thứ nhất bán được 12 áo, 21 quần và 18 váy. Doanh thu là 5349000 đồng. Vì vậy ta có phương trình sau:

12x21y18z5349.

Tương tự, ngày thứ hai và ngày thứ ba có lần lượt các phương trình sau: 16 24 12 5600 24 15 12 5259 x y z x y z       Từ đó ta có hệ phương trình sau: 12 21 18 5349 16 24 12 5600 24 15 12 5259 x y z x y z x y z              

Như vậy

Giá mỗi áo sơ mi là 98 000 đồng.

Giá mỗi quần âu là 125 000 đồng Giá mỗi váy là 86 000 đồng.

Tình huống 2: Bạn là người chuyên trang trí nhà mới và trồng cây cảnh. Một lần bạn nhận được một công việc trồng cây cảnh cho một nhà nọ. Diện tích mảnh đất làm nhà là 2

600m , phải dùng 95mlưới sắt để làm hàng rào chắn. Chủ nhà muốn trồng cây xanh và hoa để ngôi nhà thêm đẹp. Theo ý ông, dọc theo ngôi nhà là trồng cây tùng, trước và sau ngôi nhà trồng cây vạn tuế. Khoảng cách mỗi cây phải đảm bảo kỹ thuật. Nếu bạn nhận nhiệm vụ này bạn sẽ làm như thế nào?(Biết cổng ra vào dài 5m). Khu vườn ngôi nhà có dạng hình chữ nhật.

Phƣơng án giải quyết:

Để không tốn chi phí vận chuyển bạn sẽ tính toán số cây trước khi mua. Do vậy, bạn sẽ quan tâm tới chiều dài, chiều rộng của khu vườn.

Nếu gọi x là chiều dài của khu vườn. y là chiều rộng của khu vườn.

Theo định lý Viet thì x y, là nghiệm của phương trình 2 95 600 0 2

x  x  . Giả sử cây tùng khoảng cách đảm bảo kỹ thuật là 2m thì chiều rộng ngôi nhà sẽ trồng 20: 2 10 cây tùng. Số cây trồng trước nhà không được trồng ở cổng. Do vậy nếu cổng ở giữa thì khoảng đất còn lại là 15m. Theo tính toán sẽ trồng tối đa 8 cây.

Vì vậy, nếu trồng 30 cây tùng thì trồng được: 10 8 4 14   cây vạn tuế. Nếu trồng 18 cây vạn tuế thì trồng được 26 cây tùng.

Tình huống 3: Bạn là người phân loại khoáng sản. Tỉ lệ đồng trong loại quặng A nhỏ hơn tỉ lệ đồng trong loại quặng B là 15%. Trên hai loại quặng này được một hỗn hợp có 50% đồng. Khối lượng của quặng A trong hỗn hợp 25 kg, của quặng B bằng 1

2 khối lượng quặng A. Tính tỉ lệ phần trăm đồng trong từng loại quặng.

Phƣơng án giải quyết:

Để giải bài toán này ta sử dụng hệ phương trình với 2 ẩn x và y. Gọi tỉ lệ phần trăm đồng trong quặng loại A là x%

Gọi tỉ lệ phần trăm đồng trong quặng loại B là y% ( x>0, y>0). Khối lượng đồng trong loại quặng A là 25x (kg).

Vì khối lượng quặng B bằng1

2 khối lượng quặng A, nên khối lượng quặng B là 12,5 (kg) và khối lượng y đồng trong quặng B là 12,5y (kg).

Khối lượng quặng hỗn hợp do trộn hai loại quặng với nhau là 25 12,5 37,5  (kg). Khối lượng đồng trong hợp kim là 37,5.50 (kg). Theo đầu bài ta có hệ phương trình:

15 25x 12,5 37,5.50 y x y       

Giải hệ phương trình trên ta tìm được x45%;y45% 15% 60% Vậy tỉ lệ phần trăm trong quặng A là 45%, trong quặng B là 60%.

Tình huống 4: (Bài toán “trăm trâu trăm cỏ” của kho tàng văn hoá dân gian Việt Nam).

Trăm trâu trăm cỏ Trâu đứng ăn nằm Trâu nằm ăn ba Lụ khụ trâu già, Ba con một bó.

Hỏi có bao nhiêu trâu đứng, bao nhiêu trâu nằm, bao nhiêu trâu già?

Phƣơng án giải quyết:

Ta thấy ở đây có 3 đại lượng chưa biết vậy ta sẽ áp dụng hệ phương trình 3 ẩn để giải bài toán.

Gọi số trâu đứng là x. Trâu nằm là y. Trâu già là z ( x,y,z là những số nguyên dương nhỏ hơn 100) Ta có hệ phương trình: 100 5x 3 100 3 x y z z y          

Đây là hệ phương trình bậc nhất 3ẩn, nếu không tính đến điều kiện của ẩn thì hệ phương trình này có vô số nghiệm (nếu khử z) ta được một phương trình bậc nhất 2 ẩn: 7x4y100.

Tuy nhiên vì x, y, z phải là những số nguyên dương nhỏ hơn 100, nên chỉ có một số hữu hạn nghiệm, cụ thể ở đây có ba nghiệm.

4 8 18; 11 78 81 x x y y z z                 hoặc 8 11 81 x y z        

Tình huống 5: Ba thùng thóc đầy như nhau trong kho bị ba tên trộm lấy. Sau đó, người ta thấy rằng thùng thứ nhất còn lại 1 lượng thóc, thùng thứ hai còn 1 cân 4 lượng thóc, thùng thứ ba còn 1 lượng thóc. Bọn trộm bị bắt quả tang khai rằng, tên thứ nhất dùng xẻng xúc thóc từ thùng thứ nhất, tên thứ hai dùng đấu gỗ xúc thóc từ thùng thứ hai, còn tên thứ ba dùng bát xúc thóc từ thùng thứ ba, Mỗi xẻng xúc được 1cân 9 lượng, mỗi đấu gỗ xúc được 1cân 7 lượng, còn bát xúc được 1 cân 2 lượng.

Hãy tính xem mỗi tên trộm lấy bao nhiêu thóc, biết rằng 10 lượng = 1cân, 10 cân = 1 yến, 10 yến = 1tạ.

Phƣơng án giải quyết:

Bài toán trên dẫn đến giải một phương trình vô định, nghiệm nguyên. Giải sử x là số lần xúc thóc bằng xẻng.

y là số lần xúc thóc bằng đấu gỗ. z là số lần xúc thóc bằng bát.

Khi đó ta có hệ phương trình: 190x117y14 12 z1 Từ đó ta nhận được phương trình vô định: 19x12z; 12

19

z x

Vì x, y, z nguyên dương nên ta có thể đặt z19t. Khi đó17y13228t, sau khi chọn giá trị nhỏ nhất của số nguyên dương t sao cho y nguyên, tức là t12. Ta nhận được x168; y187; z266.

Từ đó tính ra số thóc mỗi tên trộm lấy:

Tên trộm thứ hai lấy 3 tạ 1 yến 7 cân 9 lượng. Tên trộm thứ ba lấy 3 tạ 1yến 9 cân 2 lượng.

2.4. Một số vận dụng của bất phƣơng trình

Tình huống 1: Phân xưởng của bạn có hai máy đặc chủng M M1, 2 sản xuất hai loại sản phẩm kí hiệu là I và II. Một tấn sản phẩm loại I lãi hai triệu đồng, một tấn sản phẩm loại II lãi 1,6 triệu. Muốn sản xuất 1 tấn sản phẩm loại I phải dùng máy M1 trong 3 giờ và máy M2 trong 1 giờ. Muốn sản xuất 1 tấn sản phẩm loại II phải dùng máy M1 trong 1 giờ và máy M2 trong 1 giờ. Một máy không thể sử dụng để sản xuất đồng thời hai loại sản phẩm. Máy M1 làm việc không quá 6 giờ trên một ngày, máy M2 làm việc không quá 4 giờ trên một ngày.

Hãy đặt kế hoạch sản xuất cho phân xưởng của bạn sao cho tổng số tiền lãi cao nhất.

Phƣơng án giải quyết:

Gọi ,x y theo thứ tự là số tấn sản phẩm loại I, loại II sản xuất trong mỗi ngày (x0,y0)

Gọi tiền lãi mỗi ngày là L. Như vậy tiền lãi mỗi ngày là L2x1,6y (triệu đồng) và số giờ làm việc mỗi ngày của máy M1 là 3x y và máy M2 là x y. Ta lại thấy mỗi ngày máy M1 chỉ làm việc không quá 6 giờ, máy M2

không quá 4 giờ nên ,x y phải thỏa mãn hệ bất phương trình sau:

3 6 4 (2) 0 0 x y x y x y             

Bài toán trở thành bài toán tìm nghiệm xx y0;  y0 trong các nghiệm của hệ bất phương trình (2) sao cho L2x1,6y lớn nhất.

6 4 2 2 4 6 8 15 10 5 5 10 15 d' d I O A C

Miền nghiệm của hệ bất phương trình (2) là tứ giác OAIC kể cả miền trong (gọi là miền tứ giác OAIC). Ta tính giá trị của L2x1,6y trên 4 đỉnh. Thấy L lớn nhất khi x1 và y3.

Vậy để có số tiền lãi cao nhất, mỗi ngày cần sản xuất 1 tấn sản phẩm loại I và 3 tấn loại II.

Tình huống 2: Bạn là một bà nội trợ cho gia đình. Mỗi bữa ăn, để đảm bảo lượng dinh dưỡng gia đình, bạn cần ít nhất 900 đơn vị Prôtêin và 400 đơn vị Lipit trong thức ăn hàng ngày. Mỗi kg thịt lợn chứa 800 đơn vị Prôtêin và 200 đơn vị Lipit, mỗi kg thịt gà chứa 600 đơn vị Prôtêin và 400 đơn vị Lipit.

Biết rằng, bạn chỉ được mua tối đa 1,6 kg thịt lợn và 1,1 kg thịt gà. Biết 1 kg thịt lợn giá 100 000 đồng, 1 kg thịt gà giá 70 000 đồng.

Bạn là một bà nội trợ thông thái. Bạn sẽ mua hàng như thế nào để khẩu phần thức ăn đảm bảo chất dinh dưỡng và chi phí bỏ ra là ít nhất?

Phƣơng án giải quyết:

Bạn không thể mua một loại thịt mà phải mua cả hai loại thịt để vừa đảm bảo chất dinh dưỡng lại đỡ tốn chi phí.

Gọi x, y lần lượt là khối lượng thịt lợn và thịt gà mà bạn mua. Bài toán đặt ra T 100000x70000y đạt giá trị nhỏ nhất.

Ta có 1kg thịt lợn chứa 800 đơn vị Prôtêin và 1kg thịt gà chứa 600 đơn vị prôtêin. Mà bạn lại cần ít nhất 900 đơn vị Prôtêin. Vậy ta có bất phương trình sau: 800x600y900

Tương tự, 1kg thịt lợn có 200 đơn vị Lipit và 1kg thịt gà chứa 400 đơn vị

Lipit. Ta có: 200x400y400 Vậy ta có hệ bất phương trình sau:

800 600 900 200 400 400 0 1,6 0 1,1 x y x y x y               

Bài toán trở thành: Trong các nghiệm của hệ bất phương trình trên, tìm nghiệm xx y0,  y0 sao cho T 100000x70000y nhỏ nhất.

Miền nghiệm của bất phương trình trên là tứ giác ABCD kể cả miền trong. Ta có: T 100000x70000y. Đặt giá trị nhỏ nhất tại một trong các đỉnh của tứ giác ABCD. Ta tính giá trị trên bốn đỉnh.

1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 D C B A Ta có tứ giác ABCD có:         0,3;1,1 ; 1,6;1,1 1,6;0, 2 ; 0,6;0,7 A B C D    Ta có bốn T: T A 107000đồng T B 237000đồng T C 174000đồng T D 109000đồng

Vậy giá trị nhỏ nhất của T là 107000 đồng

Do vậy, để là một người nội trợ đảm đang cho gia đình bạn cần mua 0,3 kg thịt lợn và 1,1 kg thịt gà.

2.5. Một số vận dụng của thống kê

Tình huống 1: Cơ quan bạn tiến hành thăm dò ý kiến của khách hàng về các mẫu 1, 2, 3, 4, 5 của một loại sản phẩm mới của nhà máy. Dưới đây là bảng phân phối tần số theo số phiếu tín nhiệm dành cho các mẫu sản phẩm trên:

Mẫu 1 2 3 4 5 Tổng

Tần số 2100 1860 1950 2000 2090 10000 Trong sản xuất, nhà máy bạn nên ưu tiên mẫu nào?

Phƣơng án giải quyết:

Nhà máy cần ưu tiên sản phẩm được tín nhiệm nhiều nhất tức là sản phẩm có số mốt cao nhất. Ta thấy tần số phiếu tín nhiệm dành cho mẫu 1 là lớn nhất bằng 2100. Vậy mốt là mẫu 1. Nhà máy cần ưu tiên sản xuất sản phẩm có tần số lớn nhất tức là sản xuất mẫu 1.

Tình huống 2: Kết quả điều tra 59 hộ gia đình ở một vùng dân cư về số con của mỗi hộ gia đình được ghi trong bảng sau:

3 2 1 1 1 1 0 2 4 0 3 0

1 3 0 2 2 2 1 3 2 2 3 3

2 2 4 3 2 2 4 3 2 4 1 3

0 1 3 2 3 1 4 3 0 2 2 1

2 1 2 0 4 2 3 1 1 2 0

Bạn hãy nêu nhận xét về số con của các gia đình đã điều tra?

Phƣơng án giải quyết:

Để đưa ra được nhận xét về số con trong gia đình ta cần lập bảng tần số và tần suất.

Ta có bảng tần số và tần suất sau:

Số con 0 1 2 3 4 Tổng

Tần số 8 13 19 13 6 59

Từ bảng trên ta thấy: Trong 59 hộ gia đình được khảo sát thì Chiếm tỉ lệ thấp nhất (10,2%) là những gia đình có 4 con. Chiếm tỉ lệ cao nhất (32,2%) là những gia đình có 2 con.