2 Bài tốn Dirichlet đối với phương trình Monge-Ampère
2.3.2Quan hệ với nghiệm suy rộng
Định lý 2.3. Nếu u là nghiệm suy rộng của M u = f với f liên tục thì u
cũng là nghiệm nhớt của phương trình detD2u = f.
Chứng minh. Cho φ ∈ C2(Ω) là một hàm lồi chặt sao cho u −φ là cực đại địa phương tại x0 ∈ Ω. Ta cĩ thể giả thiết u(x0) = φ(x0), khi đĩ
u(x) < φ(x) với mọi 0< |x−x0| ≤ δ. Điều này đạt được bằng cách cộng
r|x−x0|2 vào φ và cho r → 0 .
Đặt m = minδ/2≤|x−x0|≤δ{φ(x)−u(x)}. Ta cĩ m > 0. Cho 0 < ε < m
và ta xét
Sε = {x ∈ Bδ(x0) :u(x) +ε > φ(x)}.
Nếu δ/2 ≤ |x−x0| ≤ δ, thì φ(x) −u(x) ≥ m và do đĩ x /∈ Sε. Suy ra
Sε ⊂ Bδ/2(x0). Giả sử z ∈ ∂Sε. Khi đĩ tồn tại xn ∈ Sε và xn ∈/ Sε sao cho
xn → z và xn →z. Do đĩ u+ε = φ trên ∂Sε. Do cả hai hàm là lồi trong
Sε, theo Bổ đề 1.6, ta cĩ
∂(u+ε)(Sε) ⊂ ∂φ(Sε). Do u là nghiệm suy rộng nên dẫn đến
R
Sεf(x)dx ≤ |∂(u+ ε)(Sε)| ≤ |∂φ(Sε)| = RS
εdetD2φ(x)dx.
Do tính liên tục của f ta cĩ được detD2φ(x0) ≥ f(x0). Vì vậy u(x) là nghiệm nhớt dưới. Bằng lập luận tương tự ta thấy rằng u là nghiệm nhớt trên.
Bổ đề 2.2. Giả sử f ∈ C(Ω), f ≥ 0, và u ∈ C Ω¯ là nghiệm nhớt trên (tương ứng, nghiệm nhớt dưới) của detD2u = f trong Ω. Giả sử
v ∈ C2(Ω)∩C Ω¯ là một lớp nghiệm lồi của detD2v ≥ tương ứng, ≤
g
trong Ω với g ∈ C(Ω). Khi đĩ, nếu f < (tương ứng, >)g trong Ω, thì
min ¯ Ω (u−v) = min ∂Ω (u−v) tương ứng,max ¯ Ω (u−v) = max ∂Ω (u−v) .
Chứng minh. Điều này cĩ được từ Định nghĩa ( 2.7). Giả sử u là nghiệm nhớt trên và giả sử min
¯ Ω
(u−v) < min
∂Ω (u−v). Khi đĩ tồn tại x0 ∈ Ω sao cho (u−v) (x0) = min
¯ Ω
(u−v), và u−v là cực tiểu địa phương tại x0. Do
u là nghiệm nhớt trên của detD2u = f trong Ω ta cĩ
g(x0) ≤ det D2v(x0) ≤f (x0),
mâu thuẫn giả thiết. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Dưới đây ta sẽ chứng minh định lý đảo của Định lý trên.
Định lý 2.4. Giả sử f ∈ C(Ω) với f > 0 trong Ω. Nếu u là nghiệm nhớt của detD2u = f trong Ω, thì u là nghiệm suy rộng của M u= f trong Ω. Chứng minh. Do f ∈ C(Ω) và f > 0 trong Ω, nên tồn tại 0 < λ ≤ Λ sao cho 0< λ ≤ f(x) ≤Λ trong Ω.
Cho x0 ∈ Ω và 0 < η < λ/2, khi đĩ tồn tại ε > 0 sao cho f (x0) −η < f(x) < f (x0) + η với mọi x ∈ Bε(x0). Giả sử uk ∈ C∞(∂Bε(x0)) là dãy sao cho max∂Bε(x0)|u(x)−uk(x)| ≤ 1/k, và vk+ và vk− là các nghiệm lồi của detD2v±k = f (x0)±η trong Bε(x0) vk± = uk, trên ∂Bε(x0). Ta cĩ vk± ∈ C2(Bε(x0))∩C B¯ε(x0), và
det D2vk− < f (x) < detD2vk+, trong Bε(x0)
và uk = vk±, trên ∂Bε(x0).
Theo Bổ đề 2.2, ta cĩ
vk±(x)− 1
k ≤ u(x) ≤v−k + 1
k với x ∈ B¯ε(x0). (2.8) Theo Định lý 2.2, giả sử v± là nghiệm suy rộng của
det D2v± = f (x0)±η trong Bε(x0) v± = u, trên ∂Bε(x0).
Áp dụng Nguyên lý so sánh ở Định lý 1.6, ta cĩ v±(x)−vk±(x) ≤ 1/k
và vì vậy giả sử k → ∞ trong ( 2.8) cho
v+(x) ≤ u(x) ≤ v−(x) với x ∈ B¯ε(x0). Từ Bổ đề 1.6 ta đạt được ∂v−(Bε(x0)) ⊂∂u(Bε(x0)) ⊂∂v+(Bε(x0)), và suy ra |Bε(x0)|(f (x0 −η)) ≤ |∂u(Bε(x0))| = M u(Bε(x0)) ≤ |Bε(x0)|(f (x0 +η)). (2.9) Do đĩ, nếu Q là hình lập phương với đường kính diam(Q) <ε, thì
C1|Q| ≤ M u(Q) ≤ C2(Q), (2.10) đối với các hằng số dương C1 nào đĩ, C2. Nếu F ⊂ Ω là tập hợp cĩ độ đo khơng, thì khi đĩ cho δ > 0 sẽ tồn tại một dãy các hình lập phương khơng giao nhau Qj ⊂ Ω với diam (Qj) < ε, F ⊂ ∪Qj, và P|Qj| < δ. Áp dụng ( 2.10), ta đạt được M u(F) < C2δ. Như vậy là, M u là liên tục tuyệt đối đối với độ đo Lebesgue và do đĩ tồn tại h ∈ L1loc(Ω) sao cho M u(E) = REh(x)dx. Chia ( 2.9) bởi |Bε(x0)| và cho ε → 0 ta cĩ
f (x0) −η ≤ h(x0) ≤ f (x0) +η với hầu hết các x0 ∈ Ω và với mọi η đủ bé. Suy ra M u cĩ mật độ f.
Kết luận
Luận văn trình bầy các vấn đề sau
- Khái niệm dưới vi phân của hàm lồi, từ đĩ xây dựng độ đo Borel sinh ra bởi hàm lồi.
- Khái niệm nghiệm suy rộng của phương trình Monge-Ampère elliptic. Đĩ là một hàm lồi liên tục mà độ đo Borel sinh ra bởi nĩ trùng với độ đo sinh ra bởi hàm số ở vế phải của phương trình.
- Các Nguyên lí cực đại và Nguyên lí so sánh đối với nghiệm suy rộng. - Các định lý về tồn tại và duy nhất nghiệm suy rộng đối với bài tốn Dirichlet cho các phương trình thuần nhất và khơng thuần nhất.
- Trình bày lớp nghiệm nhớt của phương trình này, đồng thời chứng minh rằng lớp nghiệm nhớt trùng với lớp nghiệm suy rộng.
Tài liệu tham khảo
[1] C. E. Gutiérrez, (2001), The Monge-Ampere Equation , Library of Congress Cataloging-In-Publication Data
[2] I. J. Bakelman, (1994), Convex analysis and nonlinear geometric el- liptic equations, Springer-Verlag, Berlin.
[3] L. C. Evans và R. F. Gariepy, (1992), Measure Theory and Fine Prop- erties of Functions, CRC Press, Boca Raton.
[4] J. W. Milnor, (1997), Topology from the differentiable viewpoint. Princeton, Landmarks in Mathematics. Princeton U. Press, Prince- ton.