2 Bài tốn Dirichlet đối với phương trình Monge-Ampère
2.3 Lớp nghiệm nhớt của phương trình Monge-Ampère elliptic
elliptic
2.3.1 Định nghĩa nghiệm nhớt
Định nghĩa 2.2. Cho u ∈ C(Ω) là hàm liên tục và f ∈ C(Ω), f ≥ 0. Hàm u gọi là nghiệm nhớt dưới (tương ứng, nghiệm nhớt trên) của phương trình
detD2u = f (2.6)
trong Ω nếu với mọi φ ∈ C2(Ω) và x0 ∈ Ω sao cho
(u−φ)(x) ≤ (tương ứng, ≥)(u−φ)(x0)
với mọi x trong lân cận của x0, thì phải cĩ
detD2φ(x0) ≥(tương ứng, ≤)f(x0).
Nghiệm nhớt của phương trình (2.6) là hàm số u(x) mà vừa là nghiệm nhớt dưới và nghiệm nhớt trên. Hàm φ(x) được gọi là hàm thử.
Chú ý 2.2. Ta khẳng định rằng nếu u ∈ C(Ω) là lồi,φ ∈ C2(Ω) và u−φ
là cực đại địa phương tại x0 ∈ Ω, thì
D2φ(x0) ≥0. Thật vậy, từ φ ∈ C2(Ω), ta cĩ φ(x) = φ(x0) +Dφ(x0).(x−x0)+ 1 2 D2φ(x0)(x−x0), x−x0+o(|x−x0|2) do đĩ, khi x dần đến x0 ta cĩ u(x) ≤φ(x) +u(x0)−φ(x0) = u(x0) +Dφ(x0)(x−x0) + 12 D2φ(x0)(x−x0), x−x0+o(|x−x0|2)
Do u là lồi, nên tồn tại psao cho u(x) ≥ u(x0) +p.(x−x0) với mọi x ∈ Ω. Cho |ω| = 1 và ρ > 0 nhỏ, bằng cách cho x−x0 = ρω ta đạt được
Chia biểu thức này cho p, cho ρ → 0 và chú y rằng kết quả của bất đẳng thức vẫn đúng với mọi |ω| = 1 dẫn đến p = Dφ(x0). Do đĩ
D2φ(x0)ω, ω ≥ 0 và khẳng định được chứng minh.
Chú ý 2.3. Ta sẽ chỉ ra rằng lớp các hàm thử trong Định nghĩa 2.2 cĩ thể hạn chế trong lớp các đa thức bậc hai lồi chặt. Trước hết ta chứng minh rằng nếu φ(x) là đa thức bậc hai lồi chặt và thỏa mãn
(u−φ)(x) ≤ (u−φ)(x0) với mọi x gần x0, thì ta cĩ
DetD2φ(x0) ≥ f(x0),
và do đĩ u là nghiệm nhớt dưới của phương trình D2u = f trong Ω. Để chứng minh chú ý trên, cho φ ∈ C2(Ω) là lồi sao cho u−φ là cực đại địa phương tại x0 ∈ Ω. Ta viết
φ(x) =φ(x0) +Dφ(x0).(x−x0)
+12 D2φ(x0)(x−x0), x−x0+ o(x−x02) = P(x) +o(|x−x0|2).
(2.7) Cho ε > 0 và xét đa thức bậc hai Pε(x) = P(x) +ε|x−x0|2. Ta cĩ
D2Pε(x0) = D2P(x0) + 2εId = D2φ(x0) + 2εId, và vì thế đa thức Pε là lồi chặt. Ta cĩ
φ(x)−Pε(x) =o(|x−x0|2)−ε|x−x0|2 ≤ 0
và φ−Pε là cực đại địa phương tại x0. Do đĩ u−Pε là cực đại địa phương tại x0. Suy ra D2Pε(x0) = det (D2φ(x0) + 2εId) ≥ f(x0). Cho ε → 0, ta cĩ được bất đẳng thức cần chứng minh.
Để chứng minh phát biểu cho nghiệm nhớt trên, giả sử φ ∈ C2(Ω) là lồi sao cho u−φ là cực tiểu địa phương tại x0. Nếu D2φ(x0) cĩ một số giá trị riêng là khơng, thì detD2φ(x0) = 0 ≤ f(x0). Nếu tất cả giá trị riêng của
D2φ(x0) là dương và P(x) dựa theo (2.1), thì Pε(x) = P(x)−ε|x−x0|2
là lồi chặt với mọi ε > 0 đủ bé. Tiếp tục như trên, ta cĩ được u−Pε là cực tiểu địa phương tại x0 và vì vậy detD2φ(x0) ≤ f(x0).