xét lớp các bất phương trình hàm tương ứng.
3.1. Bất phương trình hàm chuyển đổi từ các phép tính số họccủa đối số của đối số
Bài toán 3.1. Xác định các hàm số f(t) thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:
f(t) ≥0, ∀t ∈ R, (3.1)
f(x+y) ≥f(x) +f(y), ∀x, y ∈ R. (3.2)
Lời giải.
Thế x = 0, y = 0 vào (3.2), ta thu được f(0) ≥ 2f(0), suy ra f(0) ≤ 0.
Kết hợp với (3.1) ta được f(0) = 0.
Tiếp theo, thế x = t, y = −t vào (3.2), ta thu được
0 = f(0) = f(t+ (−t)) ≥ f(t) +f(−t) ≥0, ∀t∈ R.
Suy ra f(t) ≡0. Thử lại, ta thấy hàm này thỏa mãn các điều kiện (3.1)-(3.2).
Vậy nghiệm của bài toán là f(t) ≡ 0.
Bài toán 3.2. Xác định các hàm số f(t) thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:
f(t) ≥1, ∀t ∈ R, (3.3)
Lời giải.
Thế x = 0, y = 0 vào (3.4), ta thu được f(0) ≥ [f(0)]2,
suy ra 0≤ f(0)≤ 1. Kết hợp với (3.3) ta được f(0) = 1.
Tiếp theo, thế x = t, y = −t vào (3.4), ta thu được
1 = f(0) = f(t+ (−t)) ≥ f(t)f(−t) ≥ 1 với mọi t ∈ R.
Suy ra f(t) ≡1. Thử lại, ta thấy hàm này thỏa mãn các điều kiện (3.3)-(3.4).
Vậy nghiệm của bài toán là f(t) ≡ 1.
Bài toán 3.3. Xác định các hàm số f(t) thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:
f(t) ≥ 0, ∀t ∈ R+, (3.5)
f(xy) ≥ f(x) +f(y), ∀x, y ∈ R+. (3.6)
Lời giải.
Thế x = 1, y = 1 vào (3.6), ta thu được f(1) ≥ 2f(1), suy ra f(1) ≤ 0.
Kết hợp với (3.5) ta được f(1) = 0.
Tiếp theo, ứng với mỗi t ∈ R+, thế x= t, y = 1
t vào (3.6), ta thu được
0 = f(1) = ft× 1 t ≥ f(t) + f1 t ≥ 0.
Suy ra f(t) ≡0. Thử lại, ta thấy hàm này thỏa mãn các điều kiện (3.5)-(3.6).
Vậy nghiệm của bài toán là f(t) ≡ 0.
Bài toán 3.4. Xác định các hàm số f(t) thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:
f(t) ≥ 1, ∀t ∈ R+, (3.7)
f(xy) ≥ f(x)f(y), ∀x, y ∈ R+. (3.8)
Lời giải.
suy ra 0≤ f(1)≤ 1. Kết hợp với (3.7) ta được f(1) = 1.
Tiếp theo, ứng với mỗi t ∈ R+, thế x = t, y = 1
t vào (3.8), ta thu được
1 =f(1) = ft× 1 t ≥ f(t)f1 t
≥ 1. Suy ra f(t) ≡ 1. Thử lại, ta thấy hàm này thỏa mãn các điều kiện (3.7)-(3.8).
Vậy nghiệm của bài toán là f(t) ≡ 1.