đối số
Bài toán 2.17(Cặp hàm chuyển từ trung bình cộng vào trung bình cộng). Tìm các hàm sốf(x), g(x) xác định, liên tục trên R và thỏa mãn điều kiện
f x+y 2 = g(x) +g(y) 2 , ∀x, y ∈ R. (2.21) Lời giải. Cho y = x, ta được f(x) = g(x), ∀x, y ∈ R.
Thay vào (2.21) ta được
f x+ y 2 = f(x) +f(y) 2 , ∀x, y ∈ R.
Theo kết quả của Bài toán 2.1, ta được f(x) =ax+b với a, b ∈ R, tùy ý
Kết luận:
f(x) =ax+b
g(x) = ax+ b a, b ∈ R, tùy ý.
Bài toán 2.18(Cặp hàm chuyển từ trung bình cộng vào trung bình nhân). Tìm các hàm số f(x), g(x) liên tục và dương trên Rvà thỏa mãn điều kiện
fx+y 2 = q g(x).g(y), ∀x, y ∈ R. (2.22) Lời giải. Cho y = x thì f(x) =|g(x)| ≥ 0, ∀x ∈ R.
Để ý rằng khi g(x) ≡ 0 thì f(x) ≡ 0 và cặp hàm này thỏa mãn bài toán. Xét trường hợp tồn tại x0 ∈ R để g(x0) 6= 0. Khi đó, từ (2.22) suy ra
f x+x0 2 = q g(x).g(x0), ∀x ∈ R,
tức g(x) luôn luôn cùng dấu với g(x0) để biểu thức căn thức có nghĩa. Không mất tính tổng quát, ta xét g(x) ≥0. Khi đó f(x) ≡ g(x) và ta thu được bài toán
fx+y 2 = q f(x).f(y), ∀x, y ∈ R.
Theo kết quả của Bài toán 2.2 ta được f(x) = B.Ax, A, B >0 tùy ý.
Kết luận:
f(x) = c.ax, g(x) =c.ax hoặc f(x) =c.ax, g(x) = −c.ax với a > 0, c ≥0.
Bài toán 2.19 (Cặp hàm chuyển từ trung bình cộng vào trung bình điều hòa). Tìm các hàm số f(x), g(x) xác định, liên tục và dương trên R và thỏa mãn điều kiện
fx+y 2 = 2g(x)g(y) g(x) +g(y), ∀x, y ∈ R. (2.23) Lời giải.
Cho y = x ta được f(x) = g(x). Thay vào (2.23)ta được
fx+ y
2
= 2f(x)f(y)
f(x) +f(y), ∀x, y ∈ R.
Theo kết quả của Bài toán 2.3 thì
f(x) ≡ c, c > 0 tùy ý.
Kết luận:
f(x) ≡ c
g(x) ≡ c ;c > 0 tùy ý.
Bài toán 2.20 (Cặp hàm chuyển từ trung bình cộng vào trung bình bình phương). Tìm các hàm số f(x), g(x) liên tục và dương trên R thỏa mãn điều kiện fx+y 2 = r [g(x)]2 + [g(y)]2 2 , ∀x, y ∈ R. (2.24)
Lời giải.
Cho y = x ta được f(x) = |g(x)| = g(x) > 0, ∀x ∈ R. Suy ra
g(x) =f(x) > 0, ∀x ∈ R.
Thay vào (2.24) ta được
fx+y 2 = r [f(x)]2 + [f(y)]2 2 , ∀x, y ∈ R.
Theo kết quả của Bài toán 2.4 thì f(x) = c, c ≥0 tùy ý
Kết luận:
f(x) = c
g(x) =c c ≥ 0 tùy ý
2.2.2. Cặp hàm chuyển đổi từ đại lượng trung bình nhân của đối số
Bài toán 2.21 (Cặp hàm chuyển từ trung bình nhân thành trung bình cộng). Tìm cặp hàm số f(x), g(x) xác định và liên tục trên R+ thỏa mãn điều kiện
f(√
xy) = g(x) +g(y)
2 , ∀x, y ∈ R+. (2.25)
Lời giải.
Cho y = x ta được f(x) = g(x), ∀x ∈ R+. Thay vào (2.25) ta thu được
f(√
xy) = f(x) +f(y)
2 , ∀x, y ∈ R+.
Theo kết quả của Bài toán 2.5 ta được
f(x) = alnx+b, a, b ∈ R; x ∈ R+.
Kết luận:
f(x) =alnx+b
Bài toán 2.22 (Cặp hàm chuyển từ trung bình nhân thành trung bình nhân). Tìm các hàm số f(x), g(x) xác định, liên tục trên R+ và thỏa mãn điều kiện f(√ xy) = q g(x).g(y), ∀x, y ∈ R+. (2.26) Lời giải. Cho y = x ta được f(x) = |g(x)|, ∀x ∈ R+. Nhận xét rằng g(x) ≥ 0, ∀x ∈ R+ hoặc g(x) ≤0, ∀x ∈ R+. Thật vậy, nếu ∃x0 ∈ R+ để g(x0) > 0 thì fx+x0 2 = q g(x).g(x0), ∀x ∈ R+.
Suy ra g(x) ≥ 0, ∀x ∈ R+. Do đó f(x) = g(x), ∀x ∈ R+. Thay vào (2.26) ta thu được
f(√
xy) = q
f(x).f(y), ∀x, y ∈ R+.
Theo kết quả của Bài toán 2.6 thì f(x) ≡0 hoặc f(x) =c.xa
với a ∈ R, c > 0.
Kết luận:
f(x) ≡ 0, g(x) ≡ 0; f(x) = c.xa, g(x) =cxa; f(x) = c.xa, g(x) =−cxa; trong đó a ∈ R, c ∈ R+.
Bài toán 2.23 (Cặp hàm chuyển từ trung bình nhân thành trung bình điều hòa). Tìm các hàm số f(x), g(x) xác định, liên tục và dương trên R+ và thỏa mãn điều kiện
f(√
xy) = 2g(x)g(y)
g(x) +g(y), ∀x, y ∈ R+. (2.27)
Lời giải.
Cho y = x ta được f(x) = g(x), ∀x ∈ R+. Thay vào (2.27) ta thu được
f(√
xy) = 2f(x)f(y)
Theo kết quả của Bài toán 2.7 thì f(x) ≡ b, với b ∈ R+. Kết luận: f(x) ≡b g(x) ≡ b với b > 0.
Bài toán 2.24 (Cặp hàm chuyển từ trung bình nhân thành trung bình bình phương). Tìm các hàm số f(x), g(x) xác định và liên tục trên R+ thỏa mãn điều kiện
f(√ xy) = r [g(x)]2 + [g(y)]2 2 , ∀x, y ∈ R+. (2.28) Lời giải.
Từ giả thiết bài toán suy ra f(x) ≥ 0, ∀x ∈ R+.
Cho y = x ta được f(x) = g(x), ∀x ∈ R+.
Thay vào (2.28) ta thu được
f(√
xy) = r
[f(x)]2 + [f(y)]2
2 , ∀x, y ∈ R+.
Theo kết quả của Bài toán 2.8 thì
f(x) ≡c, c ≥ 0 tùy ý.
Kết luận:
f(x) ≡ c
g(x) ≡c c ≥ 0 tùy ý.