9 Ph´ ep t´ ınh vi phˆ an h` am nhiˆ `u biˆ e e´n
9.1.4 D a.o h`am theo hu.´o.ng
Gia’ su.’ :
(1) w = f(M) l`a h`am x´ac di.nh trong lˆan cˆa.n n`ao d´o cu’a diˆe’m
M(x, y);
(2) ~e = (cosα,cosβ) l`a vecto. do.n vi. trˆen du.`o.ng th˘a’ng c´o hu.´o.ng
L qua diˆe’m M(x, y);
(3) N =N(x+ ∆x, y+ ∆y) l`a diˆe’m thuˆo.cL v`a ∆e l`a dˆo. d`ai cu’a doa.n th˘a’ngM N.
Nˆe´u tˆ` n ta.i gi´o.i ha.n h˜u.u ha.no lim ∆`→0 (N→M)
∆w
∆`
th`ı gi´o.i ha.n d´o du.o..c go.i l`a da.o h`am ta.i diˆe’m M(x, y) theo hu.´o.ng cu’a vecto.~e v`a du.o..c k´y hiˆe.u l`a ∂w
∂~e, t´u.c l`a ∂w
∂~e = lim∆`→0 ∆w
9.1. D- a.o h`am riˆeng 113 Da.o h`am theo hu.´o.ng cu’a vecto.~e = (cosα,cosβ) du.o..c t´ınh theo
cˆong th´u.c ∂f ∂~e = ∂f ∂x(M) cosα+ ∂f ∂y(M) cosβ. (9.4)
trong d´o cosα v`a cosβ l`a c´ac cosin chı’ phu.o.ng cu’a vecto.~e. Vecto. v´o.i c´ac to.a dˆo. ∂f
∂x v`a ∂F
∂y (t´u.c l`a vecto.
∂f ∂x, ∂f ∂y ) du.o..c go.i l`a vecto. gradiˆen cu’a h`am f(M) ta.i diˆe’m M(x, y) v`a du.o..c k´y hiˆe.u l`a gradf(M).
T`u. d´o da.o h`am theo hu.´o.ng ∂f
∂~e c´o biˆe’u th´u.c l`a ∂f
∂~e =
gradf, ~e
.
Ta lu.u ´y r˘a`ng: 1) Nˆe´u h`am w = f(x, y) kha’ vi ta. i diˆe’m M(x, y)
th`ı n´o liˆen tu. c ta. i M v`a c´o c´ac da. o h`am riˆeng cˆa´p 1 ta. i d´o;
2)N´eu h`am w=f(x, y)c´o c´ac da. o h`am riˆeng cˆa´p 1 theo mo. i biˆe´n trong lˆan cˆa. n n`ao d´o cu’a diˆe’m M(x, y)v`a c´ac da. o h`am riˆeng n`ay liˆen tu. c ta. i diˆe’m M(x, y) th`ı n´o kha’ vi ta. i diˆe’m M.
Nˆe´u h`am f(x, y) kha’ vi ta.i diˆe’m M(x, y) th`ı n´o c´o da.o h`am theo mo.i hu.´o.ng ta.i diˆe’m d´o.
Ch´u ´y. Nˆe´u h`am f(x, y) c´o da.o h`am theo mo.i hu.´o.ng ta.i diˆe’m M0 th`ı khˆong c´o g`ı da’m ba’o l`a h`am f(x, y) kha’ vi ta.i diˆe’m M0 (xem v´ı du. 4).