Chế độ dẫn điện DC mô tả phân bố điện thế trong 3 vùng sử dụng các công thức sau:
kl l 0 với Ωe (3.4)
ks s 0 với Ωc
Ở đây ks là độ dẫn điện ở thể rắn (S/m) và kl là độ dẫn điện của dung dịch ion (S/m).
Điện thế (V) trên điện cực là Φsvà trong dung dịch là Φl. Điều kiện biên cách điện được
áp dụng cho tất cả các mặt vi kênh. Trong điện cực, chúng tôi mô hình hóa lớp hoạt tính của hai điện cực thành các đường biên, tại đó các điện tích được tạo ra hoặc bị mất đi, một nguồn dòng được đặt vào và mật độ dòng cục bộ được tính bởi các công thức Butler – Volmer.
Đối với điện thế, điều kiện biên của điện cực đều giống nhau và quyết định biên của mật độ dòng điện nhưng với dấu ngược nhau. Thêm vào đó, hiệu điện thế giữa anode và cathode tương ứng với tổng điện áp của pin. Điện áp tại anode được chọn làm mốc so sánh và bằng 0.
Ta biết rằng, phương trình Butler – Volmer mô tả mật độ dòng truyền điện tích. Tại anode, hydro bị khử tạo thành nước, và chúng ta có thể áp dụng phương trình động lực học truyền điện tích sau:
ia,cti0,a COx,a COx,a0 exp a nF RT a CRed,a CRed,a0 exp 1 c nF RT a (3.5) Ở đây i0,a là mật độ dòng trao đổi ở anode (A/m2), cOx,a và cRed,a là nồng độ bề mặt
tương ứng của oxy và nhiên liệu tại anode (mol/m3), và c0Ox,avà c0Red,a là nồng độ khối
của oxy và nhiên liệu (mol/m3) trong kênh dẫn. Ngoài ra, F là hằng số Faraday (C/mol),
R là hằng số khí (J/(mol.K)), T là nhiệt độ (K), và ηa là quá áp (V) tại anode.
Đối với cathode, phương trình sau được sử dụng:
ic,cti0,c COx,c COx,c0 exp a nF RT c CRed,c CRed,c0 exp 1 c nF RT c (3.6) Tại đây i0,c là mật độ dòng trao đổi ở cathode (A/m2), cOx,c và cRed,c là nồng độ bề
mặt tương ứng của oxy và nhiên liệu tại cathode (mol/m3), và c0Ox,c và c0Red,c là nồng độ
Trong mô hình pin nhiên liệu vi lưu của chúng tôi, do quá áp tại anode dương (ηa > 0), khiến cho thành phần thứ nhất của phương trình 3.5 không đáng kể so với thành phần thứ 2, hay là dòng oxy hóa chiếm ưu thế và phương trình trở thành:
ia,ct i0,a CHCOOH,a
CHCOOH,a0 exp 1 c
nF
RT a (3.7) Ở đây dòng điện là âm, tương ứng với việc electron rời khỏi điện cực.
Tương tự như vậy, quá áp tại cathode âm (ηc < 0), khiến cho thành phần thứ 2 của phương trình 3.6 lớn hơn rất nhiều thành phần thứ 2, hay là dòng khử chiếm ưu thế và phương trình trở thành: ic,cti0,cCO2,c CO 2,c 0 exp a nF RT c (3.8)
Hai phương trình Butler – Volmer trên được sử dụng làm điều kiện biên của bề mặt phản ứng ở giữa điện cực và chất điện giải ở mỗi bên.
Đối với các biên khác, điều kiện biên cách điện được áp dụng.