II. Các đề thi vào ban tự nhiên
thi vào 10 hệ THPT chuyên 1991-1992 Đại học tổng hợp
Đại học tổng hợp
Bài 1. a) Giải phơng trình 1 1 2
2 4 x+ x+ + x+ = . b) Giải hệ phơng trình : 33 2 22 12 0 8xy xyx 12 y + + = + =
Bài 2. Tìm max và min của biểu thức : A = x2y(4 – x – y) khi x và y thay đổi thỏa mãn điều kiện : x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 6.
Bài 3. Cho hình thoi ABCD. Gọi R, r lần lợt là các bán kính các đờng tròn ngoại tiếp các tam giác ABD, ABC và a là độ dài cạnh hình thoi. Chứng minh rằng 12 12 42
R +r = a .
Bài 4. Tìm tất cả các số nguyên dơng a, b, c đôi một khác nhau sao cho biểu thức 1 1 1 1 1 1
A
a b c ab ac bc
= + + + + + nhận giá trị nguyên dơng.
Đề thi vào 10 hệ THPT chuyên 1991-1992 Đại học tổng hợp Đại học tổng hợp
Bài 1. a) Rút gọn biểu thức A= 32 3 4 2 44 16 6− .6 + .
b) Phân tích biêu thức P = (x – y)5 + (y-z)5 +(z - x )5 thành nhân tử.
Bài 2. a) Cho các số a, b, c, x, y, z thảo mãn các điều kiện 00 0 a b c x y z x y z a b c + + = + + = + + =
hãy tính giá trị của biểu thức
A = xa2 + yb2 + zc2.
b) Cho 4 số a, b, c, d mỗi số đều không âm và nhỏ hơn hoặc bằng 1. CMR 0 ≤ a + b + c + d – ab – bc – cd – da ≤ 2. Khi nào đẳng thức xảy ra dấu bằng.
Bài 3. Cho trớc a, d là các số nguyên dơng. Xét các số có dạng :
a, a + d, a + 2d, … , a + nd, …CMR: trong các số đó có ít nhất một số mà 4 chữ số đầu tiên của nó là 1991.
Bài 4. Trong một cuộc hội thảo khoa học có 100 ngời tham gia. Giả sử mỗi ngời đều quen biết với ít nhất 67 ngời. Chứng minh rằng có thể tìm đợc một nhóm 4 ngời mà bất kì 2 ngời trong nhóm đó đều quen biết nhau.
Bài 5. Cho hình vuông ABCD. Lấy điểm M nằm trong hình vuông sao cho = = 150. Chứng minh rằng ∆ MCD đều.
Bài 6. Hãy xây dựng một tập hợp gồm 8 điểm có tính chất: Đờng trung trực của đoạn thẳng nối hai điểm bất kì luôn đI qua ít nhất hai điểm của tập hợp đó.