II. Các đề thi vào ban tự nhiên
Đại học khoa học tự nhiên
Bài 1: Giải phơng trình ( x+ −5 x+2 1)( + x2+7x+110)=3. Bài 2: Giải hệ phơng trình
3 2 3 2 2 3 5 6 7 x yx y xy + = + =
Bài 3: Tím các số nguyên x, y thỏa mãn đẳng thức : 2 2 2
2y x x y+ + + =1 x +2y +xy.
Bài 4: Cho nửa đờng tròn (O) đờng kính AB = 2R. M, N là hai điểm trên nửa đờng tròn (O) sao cho M thuộc cung AN và tổng các khoảng cách từ A, B đến đờng thẳng MN bằng R 3
a) Tính độ dài MN theo R.
b) Gọi giao điểm của hai dây AN và BM là I. Giao điểm của các đờng thẳng AM và BN là K. Chứng minh rằng bốn điểm M, N, I, K cùng nằm trên một đờng tròn , Tính bán kính của đờng tròn đó theo R.
c) Tìm giá trị lớn nhất của diện tích ∆ KAB theo R khi M, N thay đổi nhng vẫn thỏa mãn giả thiết của bài toán.
Bài 5: Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn điều kiện : x + y + z + xy + yz + zx = 6. Chứng minh rằng : x2 + y2 + z2 ≥ 3.
Bài 5: Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn điều kiện : x + y + z + xy + yz + zx = 6. Chứng minh rằng : x2 + y2 + z2 ≥ 3.
Bài 1: a) Giải phơng trình : x2−3x+ +2 x+ =3 x2+2x− +3 x−2. b) Tìm nghiệm nguyên của phơng trình : x + xy + y = 9 Bài 2: Giải hệ phơng trình :
2 23 3 1 3 3 1 3 x y xy x y x y + + = + = + {M}
Bài 3: Cho mời số nguyên dơng 1, 2, …, 10. Sắp xếp 10 số đó một cách tùy ý vào một hàng. Cộng mỗi số với số thứ tự của nó trong hàng ta đợc 10 tổng. Chứng minh rằng trong 10 tổng đó tồn tại ít nhất hai tổng có chữ số tận cùng giống nhau.
Bài 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : P 4a 3b or 5b 16c
b c a a c b a b c
= + +
+ − + − + − Trong đó a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác.
Bài 5: Đờng tròn (C) tâm I nội tiếp ∆ ABC tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB tơng ứng tại A’, B’, C’ . a) Gọi các giao điểm của đờng tròn (C) với các đoạn IA, IB, IC lần lợt tại M, N, P. Chứng minh rằng các đờng thẳng A’M, B’N, C’P đồng quy.
b) Kéo dài đoạn AI cắt đờng tròn ngoại tiếp ∆ ABC tại D (khác A). Chứng minh rằng IB IC. r
ID = trong đó r là bán kính đờng tròn (C).
ID = trong đó r là bán kính đờng tròn (C).
Bài 1: a) Giải phơng trình : 8+ x + 5− x =5 b) Giải hệ phơng trình :{ 1 1 8 1 1 17 ( )( ) ( ) ( ) x y x x+ + =y y xy + + + + =
Bài 2: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng phơng trình x2 + (a + b + c)x + ab + bc + ca = 0 vô nghiệm.
Bài 3: Tìm tất cả các số nguyên n sao cho n2 + 2002 là một số chính phơng. Bài 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểt thức: 1 1 1
1 1 1
S
xy yz zx
= + +
+ + + Trong đó x, y, z là các số dơng thay đổi thỏa mãn điều kiện x2 + y2 + z2≤ 3.
Bài 5: Cho hình vuông ABCD. M là điểm thay đổi trên cạnh BC (M không trùng với B) và N là điểm thay đổi trên cạnh CD (N không trùng D) sao cho = + .
a) BD cắt AN, AM tơng ứng tại p và Q. Chứng minh rằng 5 điểm P, Q, M, C, N cùng nằm trên một đờng tròn.