Không gian tìm kiếm của các bảng quan sát được sử dụng trong giải thuật trên chứa hoàn toàn các bảng quan sát được tạo ra để tạo giả thiết ứng cử viên có kích
thước nhỏ hơn hoặc bằng max cho luật ghép nối. Không gian tìm kiếm này được mô tả như là một cây tìm kiếm trong đó gốc của cây chính là bảng quan sát ban đầu OT0. Để thuận lợi chúng ta có thể định nghĩa |OT| là kích thước của một bảng quan sát OT = (S,
thứ j (ký hiệu OTj) tại chiều sâu thứ i của cây tìm kiếm. Từ cách xây dựng cây tìm
kiếm như trong Giải thuật 3 chúng ta có một định lý như sau:
Định lý 1. Giả sử Aij và Akl là hai giả thiết ứng cử viên tương ứng được tạo ra tại chiều
sâu thứ i và k. Khi đó ta có khẳng định sau: Nếu |Aij| < |Akl| thì i < k.
Chứng minh: Bảng quan sát tại chiều sâu thứ i + 1 được tạo ra từ bảng quan sát tại chiều sâu thứ i theo một số trường hợp sau:
Trong các bảng quan sát OTij tại mức i có ít nhất một bảng quan sát chứa giá trị “?”. Trong trường hợp này, bảng thay thế cho bảng này sau khi thay giá trị “?” bởi true hoặc false là các bảng quan sát ở mức i+1. Những bảng quan sát đó có cùng kích thước với bảng OTij.
Có ít nhất một bảng OTij trong các bảng tại mức i không phải là bảng đóng. Một bảng cập nhật OT(i+1)k tại chiều sâu thứ i+1 thu được từ bảng OTij bằng cách thêm một
phần tử và tập Sij. Điều này có nghĩa là |OTij| < |OT(i+1)k|.
Cuối cùng, có ít nhất một bảng OTij trong các bảng quan sát tại mức i không cho ta một giả thiết thực sự. Trong trường hợp này, một bảng cập nhật OT(i+1)k tại mức
i+1 sẽ thu được từ bảng này bằng cách thêm một hâu tố e của phản ví dụ cex vào trong
tập Eij. Điều này có nghĩa là |OTij| = |OT(i+1)k|.
Từ những điều trên ta có thể khẳng định được rằng, giả thiết Aij được tạo ra tại
chiều sâu i có kích thước nhỏ hơn kích thước của giả thiết Akl được tạo ra tại chiều sâu
k thì khi đó i < k.