Trong phần này, luận văn đưa ra một điều kiện đủ cho một LCM v để đạt được cận max-flow trên dim(v(T)) trong Định đề 3.2
Định nghĩa: Một LCM v trên một mạng truyền thông được gọi là generic nếu điều kiện sau thỏa mãn đối với bất kỳ tập kênh X1Y1, X2Y2, …, XmYm với 1 m d; (*) v(Xk) {v(XjYj): jk} với 1 k m khi và chỉ khi các vector v(X1Y1), v(X2Y2), …., v(XmYm) là độc lập tuyến tính.
Nếu v(X1Y1), v(X2Y2), …., v(XmYm) là độc lập tuyến tính, thì v(Xk)
{v(XjYj): j k} vì v(X1Y1) v(Xk). Một LCM yêu cầu rằng điều ngược lại cũng đúng. Theo ý nghĩa này, một generic LCM gán các vector là độc lập tuyến tính nhất có thể cho các kênh.
Ví dụ 3.2: Với với truyền thông trong hình 1-1b, LCM v trong ví dụ 3.1 là một generic LCM. Tuy nhiên LCM u định nghĩa bởi:
u(ST) = u(TW) = u(TY) = 10
u(SU) =u(UW) = u(UZ) = 1 0
u(WX) = u(XY) = u(XZ) = 0 1
thì không phải là generic. Điều này có thể thấy được bằng cách xét một tập các kênh {ST, WX} mà u(S) = u(W) = ,10
0 1
. Lúc đó u(S) u(WX) và
u(W) u(ST) nhưng u(ST) và u(WX) không độc lập tuyến tính. Vì vậy, u
không phải là generic.
Bổ đề 3.1: Gọi v là một generic LCM. Bất kỳ tập các kênh XY1, XY2, … XYm từ một node X với m dim (v(X)) phải được v gán các vector độc lập tuyến tính.
Định lý: Nếu v là một generic LCM trên một kênh truyền thông thì đối với tất cả các node T ta có:
dim(v(T)) = maxflow(T).
Một LCM trong đó dim(v(T)) = maxflow(T) đối với tất cả T cung cấp một cách quảng bá một thông điệp phát sinh từ node nguồn S, trong đó mỗi node không phải nguồn T sẽ nhận thông điệp ở tốc độ bằng với maxflow(T). Điều này được minh họa bởi ví dụ sau, dựa trên giả sử rằng trường cơ sở của là một trường vô hạn hoặc trường hữu hạn đủ lớn. Trong ví dụ này, chúng ta triển khai một kỹ thuật được chứng minh bởi bổ đề sau:
Bổ đề 3.2: Gọi X, Y và Z là các node mà maxflow(X) = i, maxflow(Y) = j và
maxflow(Z) = k, với i j và i > k. Bằng cách loại bỏ bất kỳ cạnh UX nào trong đồ thị,
maxflow(X) và maxflow(Y) bị giảm nhiều nhất là 1 và maxflow(Z) vẫn giữ nguyên. Ví dụ 3.3: Xét một mạng truyền thông trong đó maxflow(T) = 4,3 hoặc 1 đối với tất cả các node T trong mạng. Node nguồn S phải quảng bá 12 ký tự a1, .., a12. Các ký tự này được lấy từ trường cơ sở F đủ lớn. (Chú ý rằng 12 là bội số chung nhỏ nhất của 4,3 và 1). Định nghĩa tập
i
={T:maxflow(T)=i}, với i = 4, 3, 1
Để đơn giản, chúng ta sử dụng giây như là đơn vị thời gian. Chúng ta sẽ mô tả cách a1, …, a12 có thể được quảng bá tới các node trong 4, 3, 1 trong giây thứ 3, 4 và 12 tương ứng, giả sử rằng tồn tại một LCM trên mạng đối với d = 4, 3, 1.
Chúng ta sẽ đưa ra tóm tắt của lược đồ phía trên. Trong giây thứ i đối với i = 1, 2,3, thông qua generic LCM v1, mỗi node trong 4 nhận cả 4 chiều của i, mỗi node trong 3 nhận ba chiều của i, và mỗi node trong 1nhận một chiều của i. Trong giây thứ tư, thông qua generic LCM v2, mỗi node trong 3 nhận vector , vector này cung cấp 3 chiều còn thiếu của 1, 2 và 3 (1 chiều cho mỗi cái) trong suốt 3s đầu tiên trong việc multicast bởi v1. Trong cùng thời gian đó, mỗi node trong
1
nhận một chiều của . Bây giờ, để khôi phục lại , mỗi node trong 1 cần nhận hai chiều còn thiếu của trong suốt giây thứ tư. Điều này đạt được bằng LCM v3 trong giây thứ năm và thứ sáu. Mỗi node trong 1 nhận được một chiều của i cho i = 1,2,3 từ thông qua v2 và v3 trong suốt từ giây thứ tư đến giây thứ sáu. Vì vậy, nó
duy trì việc cung cấp sáu chiều còn thiếu của 1, 2 và 3 (mỗi cái 2 chiều) cho mỗi node trong 1, và điều này đạt được trong giây thứ 7 đến thứ 12 thông qua generic
LCM v3.
Nhận xét: Lược đồ trong ví dụ 3.3 có thể dễ dàng được tổng quát hóa tới một tập các giá trị luồng-cực đại bất kỳ.
Trong lược đồ ví dụ 3.3, ở cuối giây thứ 12, mỗi node nhận được một thông điệp của 12 kí tự. Vì vậy, tốc độ thông tin đến mỗi node trung bình trên toàn bộ quá trình là 1 kí tự/s. Kết quả trong [1] xác nhận rằng có thể đạt được tốc độ này – giá trị nhỏ nhất của cận luồng-cực đại của tất cả các node. Tuy nhiên, trong lược đồ của bài báo này các node trong 4, 3, 1 có thể thực sự nhận được toàn bộ thông điệp ở tốc độ bằng với cận luồng-cực đại của chúng. Vì vậy, kết quả của bài báo phần nào mạnh hơn trong [1]. Tuy nhiên, không có nghĩa là thông tin có thể được multicast liên tục từ nguồn tới mỗi node ở tốc độ bằng với cận luồng-cực đại riêng của chúng.