b.Hệ nối tiếp các phần tử phục hồi
Độ tin cậy của hệ thống [3] còn phụ thuộc vào việc các phần tử chƣa hỏng có làm việc hay không trong lúc tiến hành phục hồi các phần tử bị hỏng.Giả thiết thời gian phục hồi là hữu hạn, nếu mỗi phần tử có phân phối thời gian làm việc đến khi hỏng khác nhau và phân phối thời gian phục hồi khác nhau thì thời gian làm việc của hệ đến lần hỏng đầu tiên khác với thời gian làm việc giữa hai lần hỏng.
Giả thiết thời gian phục hồi (thời gian sửa chữa sự cố) của phần tử có phân bố mũ, khi đó cƣờng độ phục hồi i = 1/i, từ đây có thể xác định đƣợc thời gian phục hồi trung bình của hệ thống là:
𝜏𝑠 = 𝜆𝑖𝜏𝑖 𝑛 𝑖=1 𝜆𝑠 = 1 𝜆𝑠 𝜆𝑖 𝜇𝑖 𝑛 𝑖=1 = 1 𝜇 (1.31) Trong đó: = 1/S và ta thấy TS>>S
Khi t -> ∞ thì công thức tính hệ số sẵn sàng của hệ thống là: 𝐴𝑆 = 𝑇𝑆
𝑇𝑆 + 𝜏𝑆 = 𝜇
𝜆𝑠 + 𝜇 (1.32) Hàm tin cậy của hệ thống sẽ là:
𝑃 𝑡 = 𝐴𝑆. 𝑒−𝜆𝑠.𝑡 (1.33) Xác suất trạng thái hỏng của hệ thống:
𝑄𝑆 𝑡 = 1 − 𝑃𝑆 𝑡 = 1 − 𝑃1. 𝑃2… 𝑃𝑛 (1.34)
1.3.3 Hệ thống các phần tử song song
Trong hệ thống các phần tử song song (hệ thống có dự phòng) [3, 17,18], sự cố của một phần tử nào đó không nhất định là sẽ dẫn đến sự cố cho toàn hệ thống, hệ thống sẽ gặp sự cố khi tất cả các phần tử gặp sự cố. Hình 1.9 thể hiện sơ đồ các phần tử song song đơn giản nhất.
Hình 1.9: Sơ đồ hệ các phần tử song song
1 2
n
Xác suất sự cố Qs(t) của toàn hệ thống, hệ thống có sự cố khi toàn bộ n phần tử bị sự cố [15, 20]: 𝑄𝑠 𝑡 = 𝑄1 𝑡 . 𝑄2 𝑡 … 𝑄𝑛 𝑡 = 𝑄𝑖 𝑡 𝑛 𝑖=1 (1.35) Trong đó Qi(t) với i = 1... n là xác suất sự cố của phần tử thứ i trong khoảng thời gian t khảo sát
Giả thiết độ tin cậy tuân theo quy luật hàm số mũ: 𝑃𝑖 𝑡 = 𝑒−𝜆𝑖.𝑡
Thì ta có xác suất sự cố của toàn hệ thống là[7]:
𝑄𝑠 𝑡 = 1 − 𝑒−𝜆𝑖.𝑡 𝑛
𝑖=1
1.36 Độ tin cậy của hệ thống:
𝑃𝑆 𝑡 = 1 − 𝑄𝑆 𝑡 = 1 − 1 − 𝑒−𝜆𝑖.𝑡 𝑛
𝑖=1
= 1 − 1 − 𝑃1 1 − 𝑃2 … 1 − 𝑃𝑛 (1.37) Từ công thức tính độ tin cậy của hệ thống (1.37) so sánh với công thức (1.26) ở trên ta thấy rõ ràng xác suất làm việc không có sự cố của hệ thống song song luôn cao hơn xác suất làm việc không có sự cố của hệ thống nối tiếp.
Thời gian hoạt động an toàn trung bình của hệ thống là:
𝑇𝑠 = 1
𝜆𝑠 1.38
1.4 Phƣơng pháp đánh giá độ tin cậy của hệ thống qua cấu trúc hệ thống
Trên thực tế các hệ thống ngày càng phức tạp nên thực hiện việc tính toán độ tin cậy cho các hệ thống bằng phƣơng pháp thủ công tốn rất nhiều thời gian, công sức cũng nhƣ cho kết quả có độ chính xác không cao. Vì thế, việc tạo ra các phần mềm tính toán chỉ số độ tin cậy cho các hệ thống hỗ trợ con ngƣời là việc hết sức quan trọng.
Để xây dựng một phần mềm tính các chỉ số độ tin cậy của hệ thống có cấu trúc phức tạp thì trải qua rất nhiều giai đoạn và quy trình, tuy nhiên các giai đoạn đó đều có những bƣớc và phƣơng pháp cơ bản để xây dựng.
1.4.1 Phƣơng pháp đồ thị giải tích
Sơ đồđộtincậy [20]của hệ thốngđƣợc xây dựng trên cơ sở phântíchảnh hƣởng của hƣ hỏng phần tử đến hƣ hỏng hệ thống.Sơ đồ độ tincậy bao gồm các nút (nguồn, tải,trung gian) và các nhánh. Nút và nhánh tạo thành mạng lƣới nối nút nguồn và nút tải của sơ đồ. Trạng thái hoạt động của hệ thống là trạng thái cóít nhất một đƣờng nối từ nút nguồn đến nút tải. Khi nút nguồn và nút tải bị tách rời do hỏng các phần tử thì hệ thống ở trạng thái hỏng.
Để xây dựng quy trình giải đƣợc bài toán tính độ tin cậy [21] thì chúng ta phải đi giải quyết bao gồm: bài toán tìm đƣờng đi trong đồ thị hệ thống, bài toán tối thiểu các toán tử logic và bài toán xác định trực giao hóa các toán tử logic. Tính toán độ tin cậy của hệ thống có cấu trúc phức tạp gồm nhiều giai đoạn nhƣng đều có chung các bƣớc cơ bản nhƣ sau:
Bước 1: Xây dựng sơ đồ cấu trúc logic: dùng các thuật toán chuyển đổi sơ đồ các trúc logic thành sơ đồ khối nhằm thể hiện rõ từng bƣớc thực hiện, các thành phần cũng nhƣ các mối quan hệ giữa các thành phần trong hệ thống.
Bước 2: Dùng các thuật tìm kiếm tất cả các đƣờng đi thành công trong hệ thống và đƣờng đi thành công trong hệ thống là tất cả các đƣờng đi không lặp có thể nối đỉnh đầu và đỉnh cuối của hệ thống đang xét.
Bước 3: Ghi lại tất cả các đƣờng đi thành công trong hệ thống dƣới dạng các toán tử logic cơ bản và dùng các hằng đẳng thức Boole để tối thiểu hóa các toán tử logic đó.
Bước 4: Sử dụng phƣơng pháp trực giao hóa các phần tử logic theo công thức Porestky để chuyển đổi mô hình logic sang đại số. Sau đó tính toán xác suất độ tin cậy của hệ thống, thời gian trung bình giữa các lần hỏng và các chỉ số khác của hệ thống.
1.4.2 Bài toán tìm đƣờng đi trong đồ thị hệ thống
1.4.2.1 Thuật toán chuyển đổi sơ đồ cấu trúc logic thành sơ đồ khối
Sơ đồ cấu trúc logic [20] là biểu diễn cấu trúc logic của hệ thống bằng sơ đồ theo các quy ƣớc về cách mã hoá và biểu diễn mối quan hệ giữa các thành phần dƣới dạng các ký hiệu.
Xây dựng sơ đồ cấu trúc logic của hệ thống cho hình ảnh trực quan về cấu trúc hệthống và sẽ làđiều kiện tiên đề để có thể phân tích và đánh giá độ tin cậy của hệ thống.
- Các phần tử của một cấu trúc logic (hay còn gọi là các đỉnh), các nút trung gian có một nút khởi đầu và kết thúc (đầu vào và đầu ra).
- Mỗi phần tử của cấu trúc logic đƣợc thay thế bởi một giá trị hợp lý. Mỗi phần tử đại diện cho một đỉnh.
b. Các đỉnh đƣợc kết nối bởi các cạnh. c. Hƣớng của các cạnh trong đồ thị :
- Nếu việc truyền trao đổi thông tin giữa các đỉnh chỉ theo một hƣớng thì các cạnh tƣơng ứng trong sơ đồ cấu trúc logic có hƣớng theo hƣớng truyền. - Nếu các đỉnh truyền thông tin theo cả hai hƣớng thì các cạnh tƣơng ứng
trong sơ đồ khối là vô hƣớng.
d. Cặp gồm hai đỉnh khác nhau trao đổi thông tin cho nhau đƣợc gọi là một cạnh (cung) của sơ đồ cấu trúc logic.
1.4.2.2 Thuật toán chuyển đổi sơ đồ cấu trúc logic sang đồ thị liên kết:
Theo bài toán về lý thuyết đồ thị thì ta có các định nghĩa về phân loại các đỉnh và các cạnh của đồ thị liên kết: định nghĩa về nút nguồn, nút đích, các cạnh, các cung, đƣờng đi đầy đủ, đơn đồ thị,… Dựa trên lý thuyết đồ thị về các đỉnh và cạnh đồ thị thì chúng ta xây dựng thuật toán chuyển đổi từ sơ đồ cấu trúc logic sang đồ thị liên kết[1] gồm các bƣớc sau:
Bước 1:Nguồn của sơ đồ cấu trúc logic đƣợc thay thể bằng các đỉnh của đồ thị, gọi là đỉnh gốc. Các cung bắt đầu từ đỉnh nguồn của sơ đồ cấu trúc logic đƣợc thay thế bằng các cung của đồ thị và xuất phát từ đỉnh gốc.
Bước 2: Các nút đỉnh đƣợc thay thế bằng các đỉnh của sơ đồ cấu trúc logic .
Bước 3:Các cung trong sơ đồ cấu trúc logic đƣợc thể hiện bằng các cung trong đồ thị với các đỉnh tƣơng ứng.
Bước 4:Tất cả các đỉnh khác (đỉnh khuyên - bắt đầu và kết thúc tại chính nó) đƣợc thể hiện bằng các cung trong đồ thị.
Bước 5:Các cung và các cạnh của đồ thị đƣợc thay thế bởi các cung của sơ đồ cấu trúc logic .
Đồ thị liên kết nói chung (có ít nhất một cạnh) là có hƣớng nếu các cặp (i,j) đƣợc sắp thứ tự và mỗi cặp (i,j) là một cung. Đồ thị là vô hƣớng nếu các cặp (i,j) không sắp thứ tự và mỗi cặp (i,j) gọi là một cạnh
1.4.2.3Thuật toán tìm tất cả các đường đi trong ma trận liên kết:
Ý tưởng thuật toán: Đồ thị có thể đƣợc biểu diễn bằng ma trận kề vuông cấp n, với n là số đỉnh của đồ thị. Phần tử δij ở hàng i cột j (i,j=0,1,2, ..., n) đƣợc xác định nhƣ sau:
- δij =1 nếu cặp đỉnh xi và xj có cạnh nối với nhau.
- δij =0 nếu cặp đỉnh xi và xj không có cạnh nào nối với nhau.
Ma trận của đồ thị vô hƣớng là ma trận đối xứng, tức là các phần tử đối xứng qua đƣờng chéo chính sẽ tƣơng ứng bằng nhau.
b. Trường hợp đồ thị cần biểu diễn là có hướng [1]:
Ý tưởng thuật toán: Đồ thị có thể đƣợc biểu diễn bằng ma trận kề vuông cấp n, với n là số đỉnh của đồ thị. Phần tử δij ở hàng i cột j (i,j=0,1,2, ..., n) đƣợc xác định nhƣ sau:
- δij =1 nếu cặp đỉnh (xi, xj ) có cung.
- δij =0 nếu cặp đỉnh (xi, xj ) không có cung nào.
Ma trận của đồ thị có hƣớng không phải là ma trận đối xứng và ma trận biểu diễn đồ thị đơn là ma trận logic.
c. Thuật toán tìm tất cả các đường đi trong ma trậnkề:
Để tìm tất cả các đƣờng đi trong ma trận kề dựa trên thao tác nhân ma trận liên kết một cột tƣơng ứng của ma trận đó đƣợc thể hiện nhƣ sau:
Bk = A B*k- 1(*)
Trong đó: - Bk cột ma trận kết quả của phép nhân (*). - B*k- 1 là kết quả của phép chuyển đổi B k- 1 ;
Bài toán tìm tất cả các đƣờng đi trong ma trận kề trở thành bài toán cho ma trận A và ma trận cột B1 hãy tìm tất cả các đƣờng đi có thể có từ nguồn (điểm phát) tới đích (điểm nhận).
Thuật toán:
- Bước 1: Kiểm tra ma trận cột B1 có chứa cung bắt đầu từ đỉnh nguồn hay không. Nếu cung tồn tại thì ghi nhận đƣờng đi đó và thay thế cung đó bởi giá trị 0. Sự thay đổi này sẽ cho ta kết quả là B*1 ;
- Bước 2: Xét với k=2.
- Bước 3: Thực hiện phép tính (*) để tìm các giá trị Bk tƣơng ứng.
- Bước 4: Kiểm tra Bk bắt đầu từ nguồn, nếu đƣờng đi tồn tại thì ghi nhớ và thay thế cung đƣờng đi đó bởi giá trị 0. Nếu đƣờng đi xuất hiện trong Bk là đƣờng đi đầy đủ thì thay thế Bk =0. Sự thay đổi này cho ta kết quả là B*k .
- Bước 5: Kiểm tra B*k . Nếu B*k =0 thì thực hiện tiếp bƣớc 7. Nếu B*k ≠0 thì thực hiện tiếp bƣớc 6.
- Bước 6: Kiểm tra điều kiện k ≤ n-1. Nếu thoả mãn điều kiện k < n-1 thì tăng k lên 1 và thực hiện tiếp bƣớc 3. Nếu điều kiện k = n-1thì thực hiện tiếp bƣớc 7.
- Bước 7: Kiểm tra lại danh sách đƣờng đi và kết quả nhận đƣợc là danh sách các đƣờng đi có thể có từ đỉnh đầu đến đỉnh cuối.
d. Ví dụ mô tả:
Xét ví dụ sau: cho đồ thị có hƣớng và đồ thị vô hƣớng
Đồ thị nhƣ hình 1.10a và 1.10b đƣợc chuyển thành dạng ma trận liên kết tƣơng ứng là A1 và A2 trong đó các phần tử là 0 hoặc (i,j):
𝐴1 = 0 (2,1) (3,1) (4,1) (1,2) 0 (3,2) (4,2) (1,3) (2,3) 0 (4,3) (1,4) (2,4) (3,4) 0 𝐴2 = 0 0 0 0 (1,2) 0 0 0 (1,3) (2,3) 0 0 (1,4) (2,4) (3,4) 0
Để thuận tiện và đơn giản hóa cách viết các phần tử trong ma trận thì ta bỏ dấu ngoặc đơn và dấu phẩy giữa hai đỉnh kết nối. Ví dụ: (1,2) = 12,…
Áp dụng thuật toán vừa trình bày ở trên mục 1.4.1.4 để áp dụng với ma trận A1 để tìm tất các các đƣờng đi trong ma trận từ đỉnh nguồn là đỉnh 1 và đỉnh đích là đỉnh 4: 𝐴1 = 0 21 31 41 12 0 32 42 13 23 0 43 14 24 34 0 ; 𝐵1 = 14 24 34 0 ; 𝐵1∗ = 0 24 34 0
Các bƣớc tiếp theo của thuật toán đƣợc thực hiện nhƣ sau: 𝐵2 = 12 ∗ 24 v 13 ∗ 34 23 ∗ 34 32 ∗ 24 0 ; 𝐵2∗ = 0 23 ∗ 34 32 ∗ 24 0 ; 𝐵3 = 12 ∗ 23 ∗ 34 v 13 ∗ 32 ∗ 24 23 ∗ 32 ∗ 24 32 ∗ 23 ∗ 34 0 ;𝐵3∗ = 0 Theo thuật toán thì ở bƣớc 6 khi gặp điều kiện k = n -1 thì dừng lại và chuyển sang bƣớc 7 tức là liệt kê tất các đƣờng đi đã tìm đƣợc. Với bài toán này ta đã tính đƣợc các ma trận B1, B2, B3 và danh sách tất cả các đƣờng đi từ đỉnh 1
(đỉnh nguồn) đến đỉnh 4 (đỉnh đích)là: 14, 12*24, 13*34, 12*23*34, 13*32*24. Hệ thống có cấu trúc phức tạp đƣợc mô tả thông qua đồ thị có tất cả các đƣờng đi thành công f(1,4): 14 v 124 v 134 v1234 v 1324
1.4.2.4Thuật toán tìm tất cả đường đi của ma trận liên kết theo lý thuyết đồ thị
Thuật toán tìm tất cả các đƣờng đi trong ma trận kề chỉ thích hợpvới những đồ thị có kích thƣớc nhỏ. Đối với các đồ thị có kích thƣớc lớn thì việc thực hiện bƣớc 4 và 5 là rất khó khăn, việc tính toán dài và dễ nhầm lẫn vì các phần tử của ma trận lúc này là các chuỗi dài. Chính vì sự khó khăn đó nên ta sẽ xây dựng thuật toán tự động tìm kiếm tất cả các đƣờng đi giữa 2 đỉnh đồ thị.
Trong bài toán lý thuyết đồ thị [1] thì chúng ta biết đến bài toán tìm đƣờng đi ngắn nhất,bài toán đƣờng đi tối thiểu giữa hai đỉnh của đồ thị, bài toán tìm đƣờng đi qua tất cả các đỉnh của đồ thị nhƣng bài toán ở đây là tìm tất cả danh sách các đƣờng đi từ đỉnh đầu đến đỉnh cuối của đồ thị.
a. Ý tưởng thuật toán:Thuật toán sử dụng phƣơng pháp tìm kiếm theo chiều sâu. Tƣ tƣởng của tìm kiếm theo chiều sâu là: Từ đỉnh nguồn (đỉnh đầu) của đồ thị ta di chuyển đến một đỉnh khác (một đỉnh bất kỳ mà có thể đi từ đỉnh đầu). Từ đỉnh này ta tiếp tục đi đến khác đỉnh khác. Nếu không thể đi tiếp đƣợc nữa thì quay lại đỉnh trƣớc đó và đi đến đỉnh khác. Cứ nhƣ vậy cho đến khi đến đỉnh cuối của đồ thị.
b. Ví dụ mô tả:
Xét lại ví dụ trên, cho đồ thị vô hƣớng:
Áp dụng thuật toán tìm kiếm theo chiều sâu, ma trận A1 sẽ đƣợc viết lại nhƣ sau:
𝐴1 = 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0
Để tìm tất cả các đƣờng dẫn từ đỉnh 1 (nguồn) đến đỉnh 4 (đích) theo thuật toán 1.4.1.5, chúng ta có đƣờng đi đầu tiên từ đỉnh 1 2, đỉnh 2 không phải là đỉnh đích nên chuyển tiếp sang đỉnh 3, theo đƣờng: 123; đỉnh 3 không phải là đỉnh đích nên đi tiếp sang đỉnh 4, đỉnh 4 là đỉnh đích nên ta có đƣờng đi:
1234. Ghi nhớ lại đƣờng đi này và quay trở lại đỉnh 3, nhƣng không có đƣờng đi nào từ đỉnh 3 đến đỉnh 4 ngoài con đƣờng đã tìm đƣợc nên từ đỉnh 3 quay lại đỉnh 2 hoặc đỉnh 1.
- Nếu quay lại đỉnh 2 thì từ đỉnh 2 ta có thể đi tiếp đến đỉnh 4, vậy ta có đƣờng đi:1→2→4.
- Nếu quay lại đỉnh 1 thì ta có thể đi tiếp đến đỉnh 4, vậy ta có đƣờng đi:1→3→4.
Tƣơng tự nhƣ vậy ta cũng tìm đƣợc các đƣờng đi: 1 3 2 4 và 1 4. Hệ thống phức tạp đƣợc mô tả bằng phƣơng pháp đồ thị, áp dụng thuật toán ở mục 1.4.1.5 ta tìm đƣợc tất cả các đƣờng đi thành công f(1,4): 14 v 124 v 134 v 1234 v 1324.
c. Kết luận:
- Thông qua phƣơng pháp chuyển đổi sơ đồ cấu trúc logic sang đồ thị liên kết, từ đó khi áp dụng hai thuật toán tìm tất cả các đƣờng đi trong ma trận liền kềvà tìm tất cả đƣờng đi của ma trận liên kết theo lý thuyết đồ thị đều cho kết quả nhƣ nhau.
- Thuật toán tìm tất cả các đƣờng đi trong ma trận kề chỉ thích hợp với những đồ thị có kích thƣớc nhỏ, đối với các đồ thị có kích thƣớc lớn thì việc thực hiện các là khó khăn hơn so với thuật toán tìm tất cả đƣờng đi của ma trận liên kết theo lý thuyết đồ thị.
1.4.3 Bài toán tối thiểu phần tử logic
Các phương pháp cơbản để tối thiểu hoá các toán tử logic:
Việc tối thiểu hoá các toán tử logic thƣờng dựa trên các hằng đẳng thức Boole hay còn đƣợc gọi là các luật trong đại số Boole. Một đại số Boole [1] là một cấu trúc đại số gồm một tập hợp S chứa ít nhất là 2 phần tử, đƣợc ký hiệu là