Xem xét một hệ phân tán là một đồ thị vô hƣớng G = (V, E), với tập nút V biểu diễn các bộ xử lý của mạng và tập cạnh E biểu diễn các liên kết truyền thông giữa các bộ xử lý. Mỗi nút trong mạng có một định danh phân biệt. Mỗi liên kết trong mạng có một trọng số nhất định. Để tiện trong việc xây dựng giải thuật, ta giả thiết trọng số của các liên kết là khác nhau. Ta có định nghĩa sau:
Định nghĩa 3.1:Một cây khung tối thiểu trong đồ thị G = (V, E) (Minimum
Spanning Tree - MST) là một đồ thị con gồm n nút và n – 1 cạnh thỏa mãn các tính chất sau:
- Cây khung là liên thông và không có chu trình (giữa hai nút trên cây tồn
tại duy nhất một đƣờng đi nối hai nút đó).
- Tổng trọng số của n – 1 cạnh của cây khung là nhỏ nhất.
Trong hệ phân tán, bài toán MST có những yêu cầu khác biệt, dựa trên tính chất của từng mạng cụ thể. Nếu mạng là tĩnh, bài toán yêu cầu xây dựng cây khung tối thiểu bằng giải thuật phân tán. Nếu mạng là động nhƣ các mạng MANET, yêu cầu bài toán cần có đáp ứng cụ thể với sự thay đổi hình trạng mạng.
Bài toán xây dựng cây khung MST trên mạng tĩnh phân tán là bài toán kinh điển, thuật toán có kết quả tốt nhất đến thời điểm hiện tại là thuật toán GHS- 83[11] do Gallager, Humblet và Spira đề xuất năm 1983, với độ phức tạp thông báo là O(|V|log|V|). Đây là cơ sở cho hầu hết các giải thuật phân tán cũng nhƣ các giao thức liên quan đến việc xây dựng cây khung phân tán.
Trong mạng MANET cũng nhƣ mạng động nói chung, chi phí xây dựng cây khung không quan trọng bằng chi phí bảo trì, do hình trạng của mạng thƣờng xuyên thay đổi và không thể báo trƣớc, do đó chi phí bảo trì cho mỗi thay đổi hình trạng mạng ảnh hƣởng rất lớn đến hiệu năng truyền dữ liệu. Hầu hết các giải thuật bảo trì cây khung trong mạng động đều có độ phức tạp Ω(E)[12], là một hàm của số cạnh của đồ thị, trong trƣờng hợp đồ thị là đầy đủ,
số cạnh tỉ lệ với V2. Kết quả tốt nhất hiện nay cho bài toán bảo trì cây khung trên
mạng động là giải thuật bảo trì tối ƣu cây khung[12] do Baruch Awerbach, Israel Cidon, Shay Kutten đề xuất năm 2008, với chi phí độ phức tạp thông báo là O(|V|), là độ phức tạp tối ƣu nhất có thể đạt đƣợc. Phần còn lại của chƣơng này chủ yếu tập trung vào hai giải thuật này, làm tiền đề cơ sở để trình bày đóng góp chính của luận văn ở các chƣơng tiếp theo.