Đây là phép biến đổi mới nhất được áp dụng cho ảnh số. Ý tưởng của DWT cho tín hiệu một chiều như sau: Tín hiệu đưa chia thành 2 phần, phần tần số cao và phần tần số thấp. Hầu hết năng lượng được tập trung ở phần góc cạnh hoặc có kết cấu và thuộc thành phần có tần số cao. Thành phần tần số thấp được chia thành hai phần có tần số cao và thấp. Với các bài toán nén, thuỷ vân thì ta chỉ cần áp dụng không quá năm lần bước phân chia trên. Ngoài ra, từ các hệ số DWT ta có thể tạo lại ảnh ban đầu bằng quá trình DWT ngược (IDWT).
Ta có thể mô tả bằng toán học DWT và IDWT như sau.
Đặt k jkw ke h H( ) và k jkw ke g G( )
là lọc thông thấp và lọc thông cao tương ứng, mà thoả mãn một vài điều kiện cho việc tái xây dựng ảnh ban đầu. Một tín hiệu F(n) có thể được phân tích đệ quy như sau:
Hệ số tần số cao Hệ số tần
số thấp Hệ số
tần số giữa
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn/ n j k n low j k h f n f 1( ) 2 ( ) và n j k n high j k g f n f 1 ( ) 2 ( ) với j = J+1, J, …, J0 với fJ+1(k) = F(j), k Z. J+1 là chỉ số mức phân giải cao còn J0 là chỉ số mức phân giải thấp. Các hệ số:
)( ( 0 k fJlow , ( ) 0 k fJhigh , 1( ) 0 k fJlow …, fJhigh(k)
được gọi là các hệ số của tín hiệu F(n), với fJlow0 (k) là phần phân giải nhỏ nhất (xấp xỉ) của F(n) và fJhigh(k)là phần chi tiết của F(n) tại các dải tần.
Tín hiệu ban đầu F(n) có thể được xây dựng lại từ các hệ số DWT bằng cách đệ quy như sau:
k high j k n k k j k n low j n h f g f k f ( ) 2 . 1 2 . 1 ( )
Để đảm bảo quan hệ giữa DWT và IDWT, thì H( ) và G( ) phải thoả điều kiện trực giao sau: H( )2
+ G( )2 =1.
Biến đổi DWT và IDWT cho mảng hai chiều MxN có thể được định nghĩa tương tự bằng cách thực hiện các biến đổi một chiều DWT và IDWT cho mỗi chiều tương ứng.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn/ Hình 2.3. Cấu trúc của các vị trí sóng con sau phép biến đổi DWT Như trong hình trên, sau 2 lần thực hiện phép biến đổi DWT, ta thu được bẩy băng tần con (subband). Các tần số thấp (đạt được bằng lọc thông thấp liên tiếp) tập trung ở góc trái trên và trông giống như một ảnh thu nhỏ của ảnh gốc, vì vậy dải phụ này còn được gọi là băng tần xấp xỉ. Các thành phần tần số cao của ảnh ở trong các băng tần chi tiết còn lại.
Biến đổi sóng có rất nhiều lợi thế so với các biến đổi khác, đó chính là: - Biến đổi sóng là một mô tả đa độ phân giải của ảnh. Quá trình giải mã có thể được xử lý tuần tự từ độ phân giải thấp cho đến độ phân giải cao.
- Biến đổi sóng gần gũi với hệ thống thị giác người hơn biến đổi DCT. Vì vậy, có thể nén với tỉ lệ cao bằng DWT mà sự biến đổi ảnh khó nhận thấy hơn nếu dùng DCT với tỉ lệ tương tự.
- Biến đổi sóng tạo ra một cấu trúc được gọi là biểu diễn tỉ lệ-không gian (scale-space representation). Trong biểu diễn này, các tín hiệu tần số cao được xác định chính xác trong miền điểm ảnh (pixel domain), còn các tín hiệu tần số thấp được xác định chính xác trong miền tần số.
Trong nhiều ứng dụng, sơ đồ dùng biến đổi sóng con đã tỏ ra ưu thế so với biến đổi DFT hay biến đổi DCT truyền thống. Do đặc tính đa phân giải, sơ đồ mã hoá Wavelets đặc biệt thích hợp cho các ứng dụng mà tính vô hướng và suy biến đóng vai trò quan trọng. Minh chứng cho điều này là biến đổi sóng con đã được dùng như một tiêu chuẩn trong nén JPEG2000. Ngoài ra, tính đa phân giải của Wavelets còn hữu ích trong việc phân phối thông điệp vào đối tượng bao phủ trong khi vẫn đảm bảo tính bền vững và chất lượng hiển thị. Tổng quát, biến đổi sóng con thực hiện khai triển tần số - không gian đa tỉ lệ của một ảnh, khai triển này tạo ra các hệ số xấp xỉ và các hệ số chi tiết ngang, dọc và chéo. Quá trình khai triển lại tiếp tục với các hệ số xấp xỉ ở các mức
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn/
phân tích cao hơn. Các hệ số xấp xỉ sau cùng chứa thông tin về băng tần thấp nhất trong khi các hệ số chi tiết chứa thông tin về băng tần cao hơn.