Cho L(X) là một đại số của các toán tử tuyến tính bị chặn tác động trong không gian Banach X và cho Ne là một tập con của L(X). Cho P± là các toán tử chiếu và bị chặn. Chúng ta kí hiệu T(Ne) là tập tất cả các toán tử có dạng: TA,B = AP+ + BP−, trong đó A, B ∈ N .e Các toán tử như vậy được gọi là toán tử cặp đôi.
Chú ý: NếuAlà một toán tử bất kỳ thuộc đại sốL(X), vìP++P− = I, toán tử A có thể biểu diễn dưới dạng toán tử cặp đôi: A = AP++AP− =
TA,A.
Một ví dụ về toán tử cặp đôi là SIO với một nhân Cauchy đã xét ở trên. Trong trường hợp này: Ne = a(t)I, a(t) ∈ C(Γ) là tập các toán tử nhân bởi một hàm liên tục.
Một SIFO cũng là một toán tử cặp đôi với
e
là tập tất cả các toán tử hàm cấp một với hệ số liên tục trên Γ. Nhận xét:
1, Nếu a, b ∈ C(Γ)và các toán tử aI và bI có nghịch đảo liên tục thì toán tử Ta,b là Noether.
2, Nếu a, b ∈ C(Γ) và các toán tử aI và bI không có nghịch đảo liên tục thì toán tử Ta,b không là toán tử Noether.
3, Nếu a ∈ C(Γ) thì toán tử aI có nghịch đảo liên tục khi và chỉ khi
inf
Γ |a(t)| > 0.
Từ nhận xét đó giúp ta tổng quát một tiêu chuẩn Noether cho một toán tử SIO và mở rộng cho chứng minh toán tử cặp đôi dạng tổng quát
TA,B = AP++ BP−, A, B ∈ N .e
Từ chứng minh điều kiện đủ trong định lý 1, chúng ta được:
Bổ đề 2.1. Nếu A, B ∈ Ne(S) và A, B là toán tử Noether thì toán tử cặp đôi:
TA,B = AP++BP− là toán tử Noether.
Ta giới thiệu định nghĩa:
Định nghĩa 2.1. Ta nói rằng toán tử A ∈ Ne có một nhân cốt yếu (hoặc đối nhân cốt yếu) đối với toán tử S hoăc toán tử P±, nếu mỗi toán tử
Π ∈ L(X), toán tử AΠ,(ΠA) là một toán tử compact nhưng toán tử P+Π
và P−Π (hoặc ΠP+ và ΠP−) không là toán tử compact.
Chúng ta ký hiệu Mf0(S) là tập tất cả các toán tử A∈ L(X) sao cho mọi ε > 0 tập
chứa một toán tử Aε ∈ Ne(S) có một nhân cốt yếu hoặc đối nhân cốt yếu với toán tử S.
Bổ đề 2.2. Nếu A, B ∈ Mf0(S) thì TA,B = AP++BP− không là toán tử Noether.
Chứng minh. Cho A ∈ Mf0(S) và TA,B là một toán tử Noether với mọi ε > 0, tồn tại một toán tử Aε ∈ Ne(S) sao cho: |A−Aε| < ε và Aε có một nhân cốt yếu. Nghĩa là ta tìm được một toán tử Πε mà: AεΠε ' 0 nhưng P±Πε 6' 0. Theo định lý ổn định Dieudone, tồn tại một số ε > 0 đủ nhỏ sao cho TAε,B là một toán tử Noether. Do đó, tồn tại chính quy TeAε,B. Vì vậy, chúng ta có thể viết
P+ ' TeAε,BTA,B ' TeAε,BP+AεI. (2.4) Nhân cùng vào hai vế của (2.4) vào bên phải bởi toán tử Πε ta được AεΠε ' 0 nên ta có P+Πε ' 0 điều này mâu thuẫn với định nghĩa của nhân cốt yếu. Suy ra, toán tử TA,B không là toán tử Noether.
Từ đó ta có: A ∈ Mf(S) nếu toán tử A ∈ L(X) thỏa mãn một trong các điều kiện sau:
1, A là toán tử có nghịch đảo liên tục và A ∈ Ne(S).
2, A không là toán tử có nghịch đảo liên tục và A ∈ Mf0(S). Tập Ne = {A= a(t)I, a(t) ∈ C(Γ)} là một ví dụ của tập Mf(S).
Ta được định lý sau:
Định lý 2.2. Nếu A, B ∈ Mf(S) thì toán tử TA,B = AP++ BP− là một toán tử Noether khi và chỉ khi A và B là các toán tử có nghịch đảo liên tục.
Vì vậy, bài toán tìm điều kiện Noether cho một SIO với hệ số liên tục và dịch chuyển α(t) với đạo hàmα0(t) thỏa mãn điều kiện Holder trên chu
tuyến đóng Lyapunov thu hẹp về bài toán kiểm tra các toán tử hàm A, B thuộc tập Mf(S) và tìm điều kiện đủ để có nghịch đảo liên tục cho toán tử hàm A, B.
2.1.3 Tiêu chuẩn Noether cho SIFO cấp một trong trường hợp dịch chuyển Carleman bảo toàn hướng
Xét một toán tử tích phân kỳ dị cấp một tác động lên Lp(Γ), p ∈
(1;∞) K = TA,B = AP++BP− (2.5) với A = a(t)I +b(t)U, B = c(t)I +d(t)U, (U ϕ)(t) = |α0(t)|p1ϕ(α(t)), a, b, c, d ∈ C(Γ), P+ = 1 2(I +S), P− = 1 2(I −S), α0 ∈ Hµ(Γ), µ ∈ (0; 1], α0(t) 6= 0,∀t ∈ Γ.
Ở đây ta giả sử α(t) là một dịch chuyển Carleman bảo toàn hướng cấp k(k ≥ 2). Ta có: α0k(t) = k Y j=1 α0(αj−1(t)) = 1 và Uk = I.
như đã biết để tìm một tiêu chuẩn Noether cho toán tử K, ta kiểm tra A, B ∈ Mf(S) và tìm một tiêu chuẩn cho toán tử A và B.
Ta có toán tử A có một nghịch đảo liên tục A−1 khi và chỉ khi hệ k phương trình đại số tuyến tính sau:
(Aj−1ϕ)(t) =a(αj−1(t))(Uj−1ϕ)(t) + b(αj−1(t))(Ujϕ)(t) = (Ugj−1), j = 1,2, . . . , k. (2.6) có nghiệm duy nhất và không cần điều kiện giải được. Tính định thức của hệ (2.2), ta được : det[(Aj−1ϕ)(t)] = vα(a, b) = k−1 Y j=0 a(αj(t)) + (−1)k−1 k−1 Y j=o b(αj(t)). (2.7) Vì vậy tiêu chuẩn khả nghịch cho toán tử A được cho bởi
vα(a, b) 6= 0 (2.8) tại mọi điểm trênΓ. Nếu điều kiện (2.3) đúng, ta được toán tửA−1 có dạng:
vα(a, b)−1( k−1 Y j=1 a(αj(t))I−b(t) k−1 Y j=2 a(αj(t))U+b(t)b(α(t)) k−1 Y j=3 a(αj(t))U2+. . . +(−1)k−1 k−2 Y j=0 b(αj(t))Uk−1) (2.9) Trong trường hợp k = 2 chúng ta có vα(a, b) =a(t)a(α(t))−b(t)b(α(t)) 6= 0 A−1 = vα−1(a, b)(a(α(t))I −b(t)U)
Bây giờ ta kiểm tra lại rằng A ∈ Mf(S). Chúng ta sẽ bắt đầu với việc kiểm tra A = a(t)I +b(t)U ∈ Ne(S).
Bổ đề 2.3. Nếu α0(t) ∈ Hµ(Γ)(µ ∈ (0; 1]), α0(t) 6= 0 và a(t), b(t) ∈ C(Γ)
thì toán tử A ∈ Ne(S).
Thật vậy, theo điều kiện của bổ đề trên giao hoán tử [aI, S] và [U, S]
là các toán tử compact trong Lp(Γ). Do đó giao hoán tử [A, S] cũng com- pact trong Lp(Γ).
Chú ý rằng: Bổ đề trên không cần sử dụng đến tính chất của dịch chuyển Carleman mà nó đúng với mọi dịch chuyển bảo toàn hướng trên Γ
và điều kiện Holder: α0(t) 6= 0.
Từ điều kiện vα(a, b) 6= 0 và bổ đề (2.1) suy ra A ∈ Mf(S). Ngược lại, nếu (2.8) không thỏa mãn thì mệnh đề sau đúng
Bổ đề 2.4. Nếu a(t), b(t) ∈ C(Γ) và inf
Γ |vα(a, b)| = 0 thì toán tử A =
a(t)I +b(t)U ∈ Mf0(S) và không có nghịch đảo liên tục trong Lp(Γ). Chứng minh. ta đã biết Akhông có nghịch đảo liên tục nếu điều kiện (2.8) không thỏa mãn. Ta kiểm tra rằng A ∈ Mf0(S).
Ta chỉ ra rằng trong lân cận bất kỳ của toán tử A tồn tại một toán tử Aε = aε(t)I + bε(t)U có một nhân cốt yếu hoặc đối nhân cốt yếu. Vì
inf
Γ |vα(a, b)| = 0 và a(t), b(t) ∈ C(Γ) nên tồn tại một điểmt0 ∈ Γ sao cho: vα(a(t0), b(t0)) = 0
thì với bất kỳ ε > 0 chúng ta có thể tìm hàm: aε(t), bε(t) ∈ C(Γ) và một cung γeε sao cho:
|a(t)−aε(t)| < ε |b(t)−bε(t)| < ε k−1 \ j=0 αj(γeε) = ∅.
aε(t) = a(t0), bε(t) = b(αj(t0)),∀t∈ αj(γε). Ta có: vα(aε, bε) = k−1 Y j=0 aε(αj(t))+(−1)k−1. k−1 Y j=0 bε(αj(t)) ≡ 0,∀t∈ γε = k−1 [ j=0 αj(γeε). (2.10) Chúng ta lấy một hàm bất kỳ ϕ ∈ Lp(γε) , bởi vì điều kiện (2.10), hàm ϕ(t) có thể thác triển trên chu tuyến Γ thành hàm mở rộng ϕe∈ Lp(Γ) là nghiệm không tầm thường của phương trình thuần nhất:
(Aεϕ)(t) = 0.
Suy ra, toán tử Aε có một nhân cốt yếu Πε = χγε(t)ϕe(t),Πε ∈ Lp(γε). trong đó χγε(t) là hàm đặc trưng của γε
Mặt khác, theo bổ đề 3, toán tử Aε ∈ Ne(S) (Aε gần với A). Do đó, toán tử A không có nghịch đảo liên tục trong Lp(Γ) và A∈ Mf(S).
Do đó ta có, tiêu chuẩn Noether cho toán tử SIFO cấp 1 với dịch chuyển Carleman cấp k là:
Định lý 2.3. Γ là một chu tuyến Lyapunov đóng a, b, c, d ∈ C(Γ), α0(t) 6= 0, α0 ∈ Hµ(Γ),0< µ ≤ 1. Toán tử
TA,B = AP++BP−
trong đó A = a(t)I + b(t)U;B = c(t)I + d(t)U và Uk = I với k ≥ 2, là toán tử Noether khi và chỉ khi hàm vα(a, b) và vα(c, d) được cho bởi công thức (2.8) thỏa mãn bất đẳng thức:
inf
Γ |vα(a, b)| > 0,
inf
2.1.4 Chỉ số của toán tử tích phân kỳ dị với nhân Cauchy
Chúng ta xét một toán tử tích phân kỳ dị với nhân Cauchy
Ta,b = aP++bP−,
ta giả sử rằng Ta,b là toán tử Noether. Ta có a(t) 6= 0, b(t) 6= 0 tại mọi điểm trên chu tuyến Γ. Do đó, toán tử Ta,b có thể biểu diễn dưới dạng
Ta,b = a(P++ a−1bP−) = aT1,a−1b
Cho c(t) =a−1(t)b(t). Thì c ∈ C(Γ) và c(t) 6= o trên Γ ta được ind(aI) = 0.
Suy ra, tính chỉ số của toán tử Noether Ta,b được thu hẹp về tính chỉ số của toán tử
T1,c = P++ cP−.
Sử dụng đồng luân của toán tử và hàm, chúng ta đơn giản việc tính chỉ số của toán tử T1,c bằng việc tính chỉ số của toán tử tích phân kỳ dị
Km = T1,tm = P++ tmP−.
Trong đó m là số nguyên không âm. Thật vậy, điều kiện c ∈ C(Γ) và c(t) 6= 0 trên Γ. Chỉ số Cauchy của hàm c(t) là
k = 1
2π{argc(t)}Γ
tồn tại hàm liên tục duy nhất h(t) =ln(t−kc(t)) nghĩa là c(t) = tk.eh(t), h ∈ C(Γ)
Họ các hàm số
c(t, µ) = tkeµh(t), t ∈ Γ,0 ≤ µ≤ 1
thực hiện đồng luân c(t) ' tk. Thật vậy, hàm của hai biến c(t, µ) liên tục và không triệt tiêu tại t ∈ Γ, µ ∈ [0; 1] ta có c(t, µ)|µ=1 = c(t) và c(t, µ)|µ=0 = tk.
Họ của toán tử tích phân kỳ dị với một nhân Cauchy
T1,c(t,µ) = P++ c(t, µ)P− thực hiện đồng luân toán tử T1,c = Kk.
Vì vậy, ta trở về tính ind(P++ tkP−), trong đó k là một số nguyên. Cho k = m ≥0, ta có đẳng thức
(P++tmP−)(P++t−mP−) = I, (2.11) do đó toán tửKm có nghịch đảo phải là toán tửK−m.Do đó, khik = m ≥0
phương trình (P++tmP−)ϕ = f giải được với mọi f ∈ Lp(Γ). Suy ra, khi k ≥ 0, Coker(P+ + tkP−) = ∅, dimCoker(P+ + tm.P−) = 0. Theo điều kiện chỉ số của toán tử Noether, ta có
ind(P+ +tkP−) = dim Ker(P++tkP−).
Để nghiên cứu tính giải được của toán tử tích phân kỳ dị với nhân Cauchy T1,c = P+ + c(t)P−. Có thể thu hẹp về nghiên cứu bài toán biên Riemann thuần nhất tìm một hàm{ϕ+(z), ϕ−(z)}giải tích từng khúc trên
Γ, triệt tiêu tại vô cùng và thỏa mãn điều kiện
ϕ+(t) = c(t)ϕ−(t),∀t ∈ Γ (2.12) Nghiệm của phương trình T1,cϕ = 0 có được từ việc giải bài toán biên (2.12) nhờ công thức Sokhotski-plemelij ϕ(t) = ϕ+(t) − ϕ−(t). Do
đó, ta có nghiệm của bài toán giá trị biên Riemann thuần nhất với hệ số c(t) = tm, m ≥ 0. Áp dụng điều kiện biên cho hàm liên tục giải tích và định lý Liouville, ta được các nghiệm
ϕ+(z) =Pm−1(z), ϕ−(z) = z−mPm−1(z)
trong đó Pm−1(z) là một đa thức với bậc nhỏ hơn hoặc bằng m −1 với các hệ số phức bất kỳ c0, c1, c2, . . . , cm−1. Sử dụng công thức Sokhotzki ta được nhân của toán tử Km = P++tmP−, m ≤ 0 có dạng
KerKm = {tk(1−t−m)}, k = 0,1, . . . , m−1.
Vì dim KerKm = m. Suy ra, từ điều kiện k = m ≥ 0, ta có indKk = k. Cho k < 0, đẳng thức (2.12) có thể biểu diễn dưới dạng
(P++t−kP−)(P++ tkP−) = I. (2.13) Từ (2.13) và công thức chỉ số của tích của các toán tử Noether ta có
ind(P++t−kP−) +ind(P++tkP−) =ind(P++t−kP−)(P++tkP−) = 0, (2.14) vì chỉ số của toán tử đồng nhất bằng không. Vì −k = m >0, theo chứng minh trên chúng ta có
ind(P++t−kP−) = −k. (2.15) Từ (2.14) và (2.15), trong trường hợp k < 0 ta cũng được
ind(P++tkP−) = 0. Sử dụng đồng luân T1,c(t) ' Kk, ta được
ind(P++a−1bP−) =ind(P+ +tkP−) = k = 1
2π{argb(t) a(t)}Γ.
Ta thu được công thức tính chỉ số của toán tử tích phân kỳ dị với nhân Cauchy
Định lý 2.4. Chỉ số của toán tử tích phân kỳ dị với nhân Cauchy
Ta,b = aP++bP−
với các hệ số a, b ∈ C(Γ) được xác định bởi công thức indTa,b = 1
2π{argb(t) a(t)}Γ.
2.1.5 Chỉ số của SIFO Kveselava-Vekua
Giả sử dịch chuyển bảo toàn hướng α(t) : Γ → Γ chỉ thỏa mãn hai điều kiện α0(t) 6= 0,∀t∈ Γ vàα0 ∈ Hµ(Γ),0 < µ ≤ 1. Giả sử, tập M(α, k)
các điểm bất động hoặc tuần hoàn của α(t) có thể là tập rỗng. Toán tử
W P++aP− (2.16)
trong đó (W ϕ)(t) = ϕ(α(t)) được gọi là toán tử hàm tích phân kỳ dị Kveselava -Vekua. Nếu toán tử (2.16) tác động vào không gianLp(Γ),(1< p < ∞) thì nó có toán tử liên kết U P+ + aP− trong đó (U ϕ)(t) =
|α0(t)|1pϕ(α(t)) là một toán tử dịch chuyển đẳng cự. Trong trường hợp M(α, k) 6= 0 với k ≥ 1, và a(t) 6= 0 trên Γ.
Tính Noether của toán tử (2.16) có được nhờ tính Noether của toán tử tích phân kỳ dị cấp một tổng quát với tập M(α, k) khác rỗng.
Ta xét tính Noether và chỉ số cho toán tử trong không gianHµ(Γ),(0 < µ≤ 1) và Lp(Γ),(1 < p < ∞). Ta có
W P+ +aP− '(W P++P−)(P++ aP−). (2.17) Ta dễ dàng tính được chỉ số của toán tử (P+ +aP−). Bây giờ ta tính chỉ số cho toán tử
Vì toán tử W khả nghịch trong Hµ(Lp) nên ta được toán tử Wf−1P++P− là một chính quy hai phía của toán tử K. Do đó, toán tử K là toán tử Noether trong Hµ(Γ) cũng như trong Lp(Γ). Mặt khác, từ hệ thức
KKe = I, e KK = I, ta được indK = −indK,e (2.18) ta xét toán tử compact (F ϕ)(t) = ϕ(t) ta đã biết F S = −SF, F2 = I, suy ra, ta có F KF ' W P−+P+. (2.19) Vì toán tử F khả nghịch trong Hµ(Lp) nên indF = 0 và từ (2.19) ta được indK = ind(W P−+P+). (2.20) Mặt khác
W P−+P+ = W(P−+ W−1P+) = WKe (2.21) Do indW = 0 nên từ (2.20) và (2.21) ta được
indK = indKe (2.22)
do đó, từ (2.18) và (2.22) suy ra indK = indKe = 0
Định lý 2.5. Toán tử hàm tích phân kỳ dị Kveselava-Vekua là toán tủ Noether trong Hµ(Γ)(Lp(Γ)) khi và chỉ khi a(t) 6= 0 trên Γ. Chỉ số của toán tử đó được xác định bởi công thức
ind(W P++aP−) = 1
Nhận xét: trong không gian Lp(Γ), chúng ta có
U P++P− = |α0(t)|1pW P++P− ' (|α0(t)|1pP+ +P−)(W P++P−), với α0(t) 6= 0 trên Γ và {arg|α0(t)|1p}Γ = 0, suy ra
indLp(U P++ P−) = indLp(W P++P−) = 0, Do đó, toán tử Kveselava - Vekua
U P++aP− : Lp(Γ)→ Lp(Γ), cũng đúng với định lý (2.5) và có chỉ số
indLp(U P++aP−) = 1
2π{arga(t)}Γ
Định lý 2.6. (Kveselava 1) Toán tửK = W P++P−,(W ϕ)(t) =ϕ(α(t)), có nghịch đảo liên tục trên không gian Hµ(Γ)với điều kiện α0(t) 6= 0, α0 ∈ Hµ(Γ).
Chứng minh. Toán tử K liên hết với bài toán giá trị biên tìm hàm giải tích từng khúc ϕ(z) ={ϕ+(z), ϕ−(z)} trên mặt phẳng phức cho bởi
ϕ+(α(t)) = ϕ−(t), ϕ−(∞) = 0,∀t ∈ Γ, (2.23) cho {ϕ+, ϕ−} là một nghiệm của bài toán giá trị biên (2.23). Theo tính chất của toán tử chiếu P+ và P−, ta có
(1 2(I −S)ϕ+)(t) = 0, (2.24) (1 2(I +S)ϕ −)(t) = 0. (2.25) Từ (2.24) ta có 1 2(I −W SW−1W)ϕ+ = 0. (2.26)
Từ (2.23) và (2.26) ta được
1
2(I −W SW−1)ϕ− = 0. (2.27) Cộng theo từng vế của (2.25) và (2.27) ta được
ϕ−+ 1
2(S −W SW−1)ϕ− = 0. (2.28) Phương trình (2.28) là phương trình Fredholm chính tắc nên nó có hữu hạn nghiệm độc lập tuyến tính. Mặt khác, mọi nghiệm của bài toán giá trị biên (2.23) đều là nghiệm của phương trình (2.28) nên bài toán (2.23) cũng có hữu hạn nghiệm độc lập tuyến tính. Dễ thấy hàm hằng là một nghiệm của bài toán (2.23) nhưng từ điều kiện ϕ−(∞) = 0 ta suy ra hằng số đó phải bằng không. Cho {ϕ+(z), ϕ−(z)} là một nghiệm khác hằng số của bài toán giá trị biên (2.23). Nâng lên lũy thừa m(m = 2,3, . . .) đồng nhất thức
ϕ+(α(t)) ≡ ϕ−(t)
ta được
[ϕ+(α(t))]m ≡[ϕ−(t)]m, m = 1,2, . . .
Do đó, hàm giải tích từng khúc {(ϕ+(z))m,(ϕ−(z))m}, với m = 2,3, . . . cũng là nghiệm của bài toán (2.23), tất cả các nghiệm đó độc lập tuyến tính và hình thành nên một tập đếm được. Điều đó mâu thuẫn với tính hữu hạn của nghiệm độc lập tuyến tính của bài toán giá trị biên (2.23). Mâu thuẫn này chỉ ra rằng KerK = 0 và ind K=0 nên
dimCokerK = dimKerK −indK = 0
suy ra, CokerK = ∅
Định lý 2.7. (Kveselava2) Toán tử K = W P−+P+,(W ϕ)(t) = ϕ(α(t))
có nghịch đảo liên tục trên không gian Lp(Γ),(1 < p < ∞), với điều kiện α0(t) 6= 0, α0(t) ∈ Hµ(Γ).
Chứng minh. Dễ thấy K là toán tử Noether trong không gian Lp(Γ). Do đó, tập ảnh của toán tử K là đóng trong không gian Lp(Γ)
imK = imK
K là toán tử khả nghịch liên tục trong không gian Hµ(Γ), ta có Hµ(Γ) ⊂ imK.Mặt khácHµ(Γ)trù mật trong không gianLp(Γ)nên ta được imK =
Lp(Γ) nghĩa là CokerKLp = ∅ và indKLp = 0 (do ind(W P− + P)+ = 0)
thì KerLpK = 0
2.1.6 Chỉ số của SIFO cấp một với dịch chuyển Car- leman bảo toàn hướng
Ta xét SIFO:
K = TA,B = AP++BP− trong đó:
A= a(t)I +b(t)U, B = c(t)I +d(t)U; (U ϕ)(t) = |α0(t)|p1ϕ(α(t)), a, b, c, d ∈ C(Γ).
ta đã biết K là toán tử Noether trong không gian Lp(Γ) khi và chỉ khi điều kiện: vα(a, b) = k−1 Y j=0 a(αj(t)) + (−1)(k−1) k−1 Y j=0 b(αj(t)) 6= 0
vα(c, d) = k−1 Y j=0 c(αj(t)) + (−1)(k−1) k−1 Y j=0 d(αj(t)) 6= 0 được thỏa mãn. Ta xây dựng k −1 toán tử: Kj = (aI +wjbU)P++ (cI + wjdU)P−, j = 1,2, . . . , k −1.
Trong đó w = e2kπi là các căn bậc k của đơn vị. Toán tử Kj được gọi là toán tử kèm theo của toán tử K0
Để tính chỉ số của toán tử K0 ta cần hai kết quả cơ bản sau:
1, Các toán tử Kj, j = 1,2, . . . , k−1 là các toán tử Noether và đồng luân với nhau.
2, Tích
k−1
Q j=0
Ej của các toán tử kèm theo Ej(j = 0,1, . . . , k−1)có thể