dị với một nhân Cauchy
Định lý 2.1. Một toán tử tích phân kỳ dị với nhân Cauchy
Ta,b = a(t).P++b(t).P− : Lp(Γ) →Lp(Γ),1 < p < ∞. (2.1) Trong đó a(t), b(t) ∈ C(Γ) và Γ là một chu tuyến đóng, là một toán tử Noether khi và chỉ khi:
inf
Γ |a(t)b(t)| > 0 (2.2) Chứng minh. Trước tiên chúng ta đi chứng minh điều kiện đủ (2.2). Do điều kiện (2.2) toán tử
Ta−1,b−1Ta,b ' I;Ta,bTa−1b−1 ' I.
Nghĩa là toán tử Tea,b = Ta−1b−1 là một chính quy của Ta,b và theo định lý Atkinson 2, Ta,b là một toán tử Noether.
Chứng minh điều kiện (2.2) là điều kiện cần.
Cho toán tử Noether Ta,b nhưng giả sử rằng tồn tại một điểm t0 ∈ Γ trong đó a(t0) = 0. Thì với mọi ε > 0, tồn tại một cung γε ∈ Γ chứa t0 và một hàm aε(t) ∈ C(Γ), sao cho
sup
Γ
|a(t)−aε(t)| < ε, aε(t) = a(t),
với t∈ Γγε và aε(t) ≡ 0 trên một cung eγε chứa hoàn toàn trong γε. Theo Định lý Dieudone, có một số ε > 0 đủ nhỏ: tính chất Noether
của TA,B bảo đảm tính chất Noether của toán tử TAε,B gần với toán tử TA,B trong tôpô đều. Do đó, tồn tại một chính quy TeAε,B của toán tử. Ta có thể viết:
P+ ' Teaε,bTaε,bP+ = Teaε,baε(t)P+ ' Teaε,bP+aε(t)I
Theo đó, từ việc chọn hàm aε(t), toán tử aε(t)I có một nhân vô hạn chiều ϕε(t) = 0 trênΓeγε η(t) trênγeε. (2.3)
Trong đó η(t) là hàm bất kỳ từ Lp(eγε),1 < p < ∞. Sau khi nhân hai vế của (2.3) với vế phải của hàm đặc trưng χ
e
γε(t) của cung eγε, chúng ta được P+ |Lp(
e
γε)' 0. Điều này là không thể, do toán tử hạn chế P+ |Lp( e
γε) không là toán tử compact trong không gian Lp(eγε).