H(S(ω, x), T(ω, y)) ≤λ(ω) maxd(x, y), d(x, S(ω, x)), d(y, T(ω, y)),
1
2[d(y, S(ω, x)) +d(x, T(ω, y))]
với mọi x, y ∈ X, ω ∈ Ω, trong đó λ : Ω → (0; 1) thì S và T có điểm bất động ngẫu nhiên chung.
Chứng minh. Theo Định lý 1.4.8, các toán tử S(ω, .) và T(ω, .) có điểm bất động tất định chung. Từ Định lý 3.2.4 suy ra S và T có điểm bất động ngẫu nhiên chung.
3.3 Điểm bất động của toán tử hoàn toàn
ngẫu nhiên
Trong các phần trước, toán tử ngẫu nhiên được xem xét theo từng quỹ đạo, giả thiết về toán tử ngẫu nhiên được đặt lên các quỹ đạo của chúng. Do đó, vai trò của mỗi quỹ đạo là rõ ràng và quan trọng. Trong phần này chúng ta xem xét toán tử ngẫu nhiên một cách toàn cục và không quan tâm đến tính chất của mỗi quỹ đạo cụ thể. Việc xem xét toán tử ngẫu nhiên như vậy xuất phát từ bài toán thác triển toán tử ngẫu nhiên của Đ. H. Thắng (xem [75]) và các kết quả gần đây của O. Hadzic và E. Pap dựa trên cơ sở vận dụng các kết quả về điểm bất động của toán tử trong không gian metric xác suất vào lý thuyết điểm bất động của toán tử ngẫu nhiên (xem [33, 34]).
Cho X là không gian Banach khả ly. Nếu f : Ω×X → X là một toán tử ngẫu nhiên liên tục thì với mỗi biến ngẫu nhiên X-giá trị u : Ω → X,
theo Định lý 1.3.9 ánh xạ ω 7→ f(ω, u(ω)) đo được, do đó cũng là một biến ngẫu nhiên X-giá trị. Như vậy, nếu có toán tử ngẫu nhiên f thì ta có thể xây dựng được ánh xạ Ψ : LX0 (Ω) → LX0 (Ω) theo quy tắc
Ψu(ω) = f(ω, u(ω)) với mọi u(ω) ∈ LX0 (Ω) (trong [33, trang 97],Ψ được gọi là toán tử Nemytskij của f). Điều đáng chú ý là X có thể coi như một tập con của LX0 (Ω), gồm các biến ngẫu nhiên suy biến (nhận một giá trị cụ thể với xác suất 1), đồng thời hạn chế của ánh xạ Ψ trên X
trùng với toán tử ngẫu nhiên f. Do đó,Ψ là một mở rộng của f lên toàn bộ tập các biến ngẫu nhiên nhận giá trị trongX. Chúng ta cũng dễ dàng nhận thấy, biến ngẫu nhiên X-giá trị ξ là điểm bất động ngẫu nhiên của toán tử ngẫu nhiên f khi và chỉ khi ξ là điểm bất động của ánh xạ Ψ. Do đó, thay vì nghiên cứu điểm bất động của toán tử ngẫu nhiên f ta có thể nghiên cứu điểm bất động của ánh xạ Ψ : LX0 (Ω) →LX0 (Ω).
Trong phần này, ta giả thiết X là không gian Banach khả ly và
(Ω,A, P) là không gian xác suất đầy đủ. Ta sẽ nghiên cứu bài toán điểm bất động của ánh xạ Φ : LX0 (Ω) → LX0 (Ω), mà ta gọi là toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên. Không gian các biến ngẫu nhiên X-giá trị LX0 (Ω) với tôpô hội tụ theo xác suất là một không gian đầy đủ theo nghĩa mỗi dãy
(un) gồm các phần tử trong LX0 (Ω) hội tụ theo xác suất đến phần tử
u ∈ LX0 (Ω) khi và chỉ khi dãy đó là dãy cơ bản theo xác suất. Không gian LX0 (Ω) cũng là không gian metric hóa được với nhiều metric khác nhau (sự hội tụ theo các metric đó tương đương với sự hội tụ theo xác suất). Như vậy, toán tử Φ thực chất có thể xem xét như là toán tử tất định giữa hai không gian metric. Tuy nhiên, nhiều tính chất của Φ nếu nhìn ở góc độ xác suất thì khá đơn giản nhưng khi nhìn ở góc độ Φ là toán tử tất định giữa hai không gian metric thì lại phức tạp. Do vậy,
trong mục này chúng ta sẽ xem xét toán tử Φ ở góc độ xác suất mà không chú trọng đến các metric trên LX0 (Ω). Các kết quả chúng tôi đạt được trong phần này đều dựa trên các tính toán thuần túy xác suất mà không dựa trên các công cụ của lý thuyết điểm bất động trong không gian metric xác suất, các kết quả đó cũng không dễ dàng suy ra được từ các kết quả đã có trong trường hợp tất định. Chúng tôi cũng nhận được các kết quả tương tự như của O. Hadzic và E. Pap. Các kết quả trong phần này được công bố trong các bài báo [2] và [5].
Định nghĩa 3.3.1. 1. Mỗi ánh xạ Φ : LX0 (Ω) → LY0 (Ω) được gọi là
một toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên từ X vào Y.
2. Toán tử Φ được gọi là liên tục nếu với mọi dãy (un) trong LX0 (Ω)
sao cho limun = u h.c.c. ta có lim Φun = Φu h.c.c.
3. Toán tử Φ được gọi là liên tục ngẫu nhiên nếu với mọi dãy (un)
trong LX0 (Ω) sao cho p-limun = u ta có p-lim Φun = Φu.
Định nghĩa 3.3.2. Cho Φ : LX0 (Ω)→ LY0 (Ω) là toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên, k = k(ω) là biến ngẫu nhiên nhận giá trị dương.
1. Toán tử Φ được gọi là k-Lipschitz nếu với mỗi u, v ∈ LX0 (Ω)
kΦu(ω)−Φv(ω)k6 k(ω)ku(ω)−v(ω)k h.c.c.
Chú ý rằng tập hợp các ω thỏa mãn bất đẳng thức trên nhìn chung phụ thuộc vào u, v.
2. Toán tử Φ gọi là k-Lipschitz xác suất nếu với mỗi u, v ∈ LX0 (Ω) và
t > 0 ta có
3. Toán tử Φgọi là k-co (tương ứng k-co xác suất) nếuΦ là k-Lipschitz (tương ứngk-Lipschitz xác suất) trong đó k(ω) < 1h.c.c. Khi không quan tâm nhiều đến giá trị cụ thể của k, ta gọi toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên k-co (tương ứng k-co xác suất) là toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên co (tương ứng co xác suất).
4. Toán tử Φ gọi là không giãn (tương ứng không giãn xác suất) nếu
Φ là toán tử 1-Lipschitz (tương ứng 1-Lipschitz xác suất).
Ta dễ nhận thấy nếu Φ là toán tử k-Lipschitz thì Φ cũng là toán tử
k-Lipschitz xác suất. Tuy nhiên, điều ngược lại chưa chắc đúng.
Định nghĩa 3.3.3. Cho Φ là toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên từ X vào
X. Biến ngẫu nhiên ξ nhận giá trị trong X được gọi là điểm bất động
của Φ nếu
Φξ(ω) =ξ(ω) h.c.c.
Định lý 3.3.4. Nếu Φ là toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên k-co từ X vào
X thì Φ có điểm bất động duy nhất. Hơn nữa, với u0 là biến ngẫu nhiên
tùy ý X-giá trị, dãy các biến ngẫu nhiên (un) xác định bởi
un+1 = Φun (n ≥ 0) (3.1)
hội tụ h.c.c. về điểm bất động ξ của Φ và ta có đánh giá
||un−ξ|| ≤ k
n
1−k.||u1 −u0|| h.c.c.
Chứng minh. Ta sẽ chỉ ra rằng dãy (un) là dãy Cauchy với xác suất 1. Do Φ là toán tử k-co nên với mỗi bộ số (i, j) tồn tại tập Ωij có xác suất 1 sao cho: Với mỗi ω ∈ Ωij ta có
Đặt Ω0 = ∩i,jΩij. Khi đó, tập Ω0 có xác suất 1 và với mọi ω ∈ Ω0, mọi
i, j ta có
kΦui(ω)−Φuj(ω)k6 k(ω)kui(ω)−uj(ω)k.
Cố định ω ∈ Ω0. Với n∈ N, theo quy nạp ta có
||un+1(ω)−un(ω)|| = ||Φun(ω)−Φun−1(ω)|| ≤ k(ω)||un(ω)−un−1(ω)|| ≤ ...≤ kn(ω)||u1(ω)−u0(ω)||. Với m, n ∈ N ta có ||un+m(ω)−un(ω)|| ≤ ||un+m(ω)−un+m−1(ω)||+...+||un+1(ω)−un(ω)|| ≤[kn+m−1(ω) +...+kn(ω)].||u1(ω)−u0(ω)|| = kn(ω).1−km(ω) 1−k(ω) .||u1(ω)−u0(ω)|| ≤ k n(ω) 1−k(ω).||u1(ω)−u0(ω)|| → 0 (n → ∞).
Từ đó suy ra (un(ω)) là dãy Cauchy với mỗi ω ∈ Ω0. Do đó, tồn tại biến ngẫu nhiên X-giá trị ξ sao cholimun = ξ h.c.c. Vì toán tử Φ là k-co nên
Φ là toán tử liên tục. Do vậy, lim Φun = Φξ h.c.c. Cho n→ ∞ từ hai vế của (3.1) ta có Φξ = ξ h.c.c., hay ξ là điểm bất động của toán tử Φ.
Do với mọi ω ∈ Ω0, mọi m, n ∈ N ta có
||un+m(ω)−un(ω)|| ≤ k
n(ω)
1−k(ω).||u1(ω)−u0(ω)||
nên cho m → ∞ ta nhận được
||un(ω)−ξ(ω)|| ≤ k
n(ω)
hay
||un −ξ|| ≤ k
n
1−k.||u1 −u0|| h.c.c.
Giả sử ξ1, ξ2 là hai điểm bất động của Φ. Khi đó, tồn tại tập Ω1 có xác suất 1 sao cho: Với mọi ω ∈ Ω1 và n ∈ N ta có
||ξ1(ω)−ξ2(ω)|| = ||Φξ1(ω)−Φξ2(ω)|| ≤ k(ω).||ξ1(ω)−ξ2(ω)||
≤ ...≤ kn(ω).||ξ1(ω)−ξ2(ω)||.
Cho n → ∞ ta có ||ξ1(ω) −ξ2(ω)|| ≤ 0. Do đó, ξ1(ω) = ξ2(ω) với mọi
ω ∈ Ω1, hay ξ1 = ξ2 h.c.c.
Ví dụ 3.3.5. Cho X = C[0; 1], K(ω, s, t) là hàm ngẫu nhiên liên tục trên [0; 1] × [0; 1] và λ(ω) là biến ngẫu nhiên nhận giá trị dương. Đặt
M(ω) = maxs,t∈[0;1]|K(ω, s, t)|. Xét phương trình tích phân ngẫu nhiên
1
Z
0
K(ω, s, t)x(ω, s)ds−λ(ω)x(ω, t) =y(ω, t) (3.2)
trong đó x(ω, t) và y(ω, t) là các hàm ngẫu nhiên liên tục trên [0; 1],
y(ω, t) đã biết. Chúng ta sẽ chỉ ra rằng nếu M(ω) < λ(ω) h.c.c. thì phương trình (3.2) có nghiệm duy nhất là hàm ngẫu nhiên ξ(ω, t) liên tục trên [0; 1].
Thật vậy, phương trình (3.2) tương đương với
1 λ(ω) 1 Z 0 K(ω, s, t)x(ω, s)ds−y(ω, t) = x(ω, t).
Xét toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên Φ : LX0 (Ω) →LX0 (Ω) xác định bởi
Φx(ω, t) = 1 λ(ω) 1 Z 0 K(ω, s, t)x(ω, s)ds−y(ω, t)
với mỗi x(ω, t) ∈ LX0 (Ω). Để chứng minh phương trình (3.2) có nghiệm duy nhất ta chứng minh toán tử Φ có điểm bất động duy nhất. Đặt
k(ω) = M(ω)
λ(ω) . Với u = u(ω, t) và v = v(ω, t) là hai hàm ngẫu nhiên liên
tục trên [0; 1] ta có kΦu(ω, t)−Φv(ω, t)k ≤ 1 λ(ω) 1 Z 0 M(ω) max s∈[0;1] |u(ω, s)−v(ω, s)|ds = M(ω) λ(ω) ku(ω, t)−v(ω, t)k = k(ω)ku−vk.
Vìk(ω) < 1h.c.c. nênΦlà toán tử hoàn toàn ngẫu nhiênk-co. Theo Định lý 3.3.4, Φ có điểm bất động duy nhất là biến ngẫu nhiênξ ∈ LX0 (Ω). Từ đó suy ra ξ = ξ(ω, t) chính là nghiệm duy nhất của phương trình (3.2).
Nhận xét 3.3.6. Ví dụ 3.3.5 mở rộng kết quả của A. T. Bharucha Reid
[19, Định lý 4.7] theo hướng λ là biến ngẫu nhiên, toán tử tích phân tác động lên hàm ngẫu nhiên thay vì λ là hằng số và toán tử tích phân tác động lên hàm tất định.
Các kết quả sau đây liên quan đến toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên co xác suất. Trước hết ta có:
Bổ đề 3.3.7. Cho ξ, η : Ω → X là hai biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong X. Nếu P(kξ −ηk > t) = 0 với mọi t > 0 thì ta có ξ = η h.c.c.
Chứng minh. Ta có {ξ 6= η}= ∪n∞=1{kξ −ηk > n1}. Do đó P(ξ 6= η) = P(∪∞n=1{kξ −ηk > 1 n}) ≤ ∞ X n=1 P(kξ −ηk> 1 n) = 0. Từ đó suy ra ξ = η h.c.c.
Mệnh đề 3.3.8. Cho Φ là toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên q-co xác suất từ X vào X, trong đó q là hằng số trong (0; 1). Khi đó
1. Toán tử Φ liên tục ngẫu nhiên.
2. Nếu Φ có điểm bất động ξ thì Φ có điểm bất động duy nhất và p-
lim Φnu(ω) = ξ với mọi u(ω) ∈ LX0 (Ω), trong đó
Φ0u(ω) = u(ω),Φnu(ω) = Φ(Φn−1u(ω)), n≥ 1.
Chứng minh. 1. Cho (un) là dãy biến ngẫu nhiên trong LX0 (Ω) hội tụ theo xác suất đến u. Với mọi t > 0, n ∈ N
P(kΦun −Φuk > t) ≤ P(qkun −uk> t) = P(kun −uk > t/q).
Cho n→ ∞, do p-limun = u nên ta có
lim
n→∞P(kΦun −Φuk > t) ≤ lim
n→∞P(kun−uk > t/q) = 0.
Do đó, p-lim Φun = Φu, hay Φ là toán tử liên tục ngẫu nhiên.
2. Giả sử Φ có hai điểm bất động ngẫu nhiên là ξ1 và ξ2. Với mỗi t >0, với mọi n ∈ N, theo quy nạp ta có
P(kξ1 −ξ2k > t) = P(kΦξ1 −Φξ2k> t) ≤ P(kξ1 −ξ2k > t/q)
≤ ...≤ P(kξ1 −ξ2k> t/qn).
Cho n → ∞ ta có P(kξ1 −ξ2k > t) = 0 với mọi t > 0. Từ Bổ đề 3.3.7 suy ra ξ1 = ξ2 h.c.c., hay điểm bất động của Φ là duy nhất. Với mỗi u ∈ LX0 (Ω), đặt un = Φnu (n= 0,1,2, ...). Do ξ là điểm bất động của Φ nên ξ = Φnξ h.c.c. Với mọi t >0 ta có
P(kun −ξk > t) = P(kΦnu−Φnξk > t)
≤ P(kΦn−1u−Φn−1ξk > t/q)
Cho n→ ∞ ta nhận được
lim
n→∞P(kun−ξk > t) ≤ lim
n→∞P(ku−ξk > t/qn) = 0.
Do đó, p-limun = ξ.
Định nghĩa 3.3.9. Cho Φ là toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên từ X vào
X, u là biến ngẫu nhiên X-giá trị. Đặt
Φ0u(ω) = u(ω),Φnu(ω) = Φ(Φn−1u(ω)), n ≥ 1
và O(Φ,u) = {Φnu(ω) : n ≥0}. Ta gọi O(Φ,u) là quỹ đạo của toán tử Φ tại biến ngẫu nhiên u.
Ta nhắc lại rằng tập con M của không gian các biến ngẫu nhiên
X-giá trị LX0 (Ω) được gọi là bị chặn theo xác suất nếu
lim
t→∞sup
u∈M
P(kuk > t) = 0.
Định lý sau đây cho chúng ta một điều kiện cần và đủ để một toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên co xác suất có điểm bất động.
Định lý 3.3.10. Cho Φ là toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên q-co xác suất từ X vào X, trong đó q là hằng số trong (0; 1). Toán tử Φ có điểm bất động khi và chỉ khi tồn tại biến ngẫu nhiên u0 ∈ LX0 (Ω) sao cho O(Φ,u0) bị chặn theo xác suất. Khi đó, dãy biến ngẫu nhiên (Φnu) hội tụ theo
xác suất đến điểm bất động của Φ với mọi xấp xỉ ban đầu là biến ngẫu
nhiên u ∈ LX0 (Ω).
Chứng minh. Giả sử Φ có điểm bất động ngẫu nhiên là ξ. Lấy u0 = ξ thì
Ngược lại, giả sử tồn tại u0 ∈ LX0 (Ω) sao cho O(Φ,u0) bị chặn theo xác suất. Đặt un = Φnu0 (n = 1,2, ...). Ta sẽ chỉ ra rằng dãy (un) hội tụ theo xác suất. Thật vậy, với mọi n, m ∈ N và t > 0, theo quy nạp ta có
P(kun+m −unk > t) =P(kΦn+mu0 −Φnu0k > t) ≤ P(kΦn+m−1u0 −Φn−1u0k > t/q) ≤ ...≤ P(kΦmu0 −u0k > t/qn) = P(kum −u0k > t/qn) ≤P(kumk+ku0k > t/qn) ≤ P(kumk > t/2qn) +P(ku0k> t/2qn) ≤ 2 sup u∈O(Φ,u0) P(kuk > t/2qn).
Vì quỹ đạo O(Φ,u0) bị chặn theo xác suất nên cho n→ ∞ ta có
lim
n→∞P(kun+m−unk> t) = 0
với mọi m ∈ N, t > 0. Điều này chỉ ra rằng (un) là một dãy Cauchy theo xác suất. Do đó, (un) hội tụ theo xác suất đến một biến ngẫu nhiên ξ
nào đó. Ta sẽ chứng minh ξ là điểm bất động của Φ. Thật vậy, ta có
un = Φnu0 (n = 1,2, ...) hay un+1 = Φun. Theo mệnh đề 3.3.8, Φ liên tục ngẫu nhiên, nên cho n → ∞ ta có ξ = Φξ h.c.c., hay là ξ là điểm bất động của Φ.
Với mỗi u ∈ LX0 (Ω), sự hội tụ của (Φnu) đến điểm bất động ξ của Φ
được suy ra từ Mệnh đề 3.3.8.
Định lý sau đây là một mở rộng của Định lý 3.3.10 cho trường hợp lũy thừa của toán tử Φ là toán tử co xác suất.
Định lý 3.3.11. Cho Φ : LX0 (Ω) → LX0 (Ω) là toán tử liên tục ngẫu nhiên sao cho tồn tại k ∈ N để Φk là toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên q-co
xác suất. Khi đó, Φ có điểm bất động duy nhất khi và chỉ khi tồn tại biến ngẫu nhiên u0 ∈ LX0 (Ω) sao cho O(Φ,u0) bị chặn theo xác suất. Hơn nữa, dãy các biến ngẫu nhiên (Φnu) hội tụ theo xác suất về điểm bất động của
Φ với mọi xấp xỉ ban đầu là biến ngẫu nhiên u ∈ LX0 (Ω).
Chứng minh. Trước hết, giả sử tồn tại u0 ∈ LX0 (Ω) sao cho O(Φ,u0) bị chặn theo xác suất. Theo Định lý 3.3.10, Φk có điểm bất động duy nhất, ký hiệu là ξ, và dãy (un) với un = Φknu0 (n = 1,2, ...) hội tụ theo xác suất về ξ. Do tính liên tục ngẫu nhiên của Φ nên Φun hội tụ theo xác suất tới Φξ. Chúng ta chỉ ra rằng ξ cũng chính là điểm bất động của Φ. Thật vậy, với mọi t >0 ta có
P(kΦξ −ξk > t) ≤ P(kΦξ −Φun)k > t/3) +P(kΦun−unk > t/3) +P(kun−ξk > t/3) = P(kΦξ −Φunk > t/3) +P(kΦ(Φknu0)−Φknu0k > t/3) +P(kun−ξk > t/3) = P(kΦξ −Φunk > t/3) +P(kΦkn(Φu0)−Φknu0k > t/3) +P(kun−ξk > t/3) ≤ P(kΦξ −Φunk > t/3) +P(kΦu0 −u0k> t/3qn) +P(kun−ξk > t/3).
Cho n → ∞ ta nhận được P(kΦξ −ξk > t) = 0 với mọi t > 0. Từ Bổ đề 3.3.7 suy ra Φξ = ξ h.c.c. hay ξ là điểm bất động của Φ. Để chứng minh tính duy nhất của ξ, ta chú ý rằng nếu Φ có hai điểm bất động khác nhau thì Φk cũng có hai điểm bất động khác nhau. Tuy nhiên, theo Mệnh đề 3.3.8 điều đó là mâu thuẫn, do Φk là toán tử q-co xác suất.
u0 = ξ ta có O(Φ,u0) = {ξ}. Do đó, O(Φ,u0) bị chặn theo xác suất.
Để kết thúc chứng minh, ta chỉ ra rằng p-lim Φnu = ξ với mỗi u ∈
LX0 (Ω). Với n > k ta có n= mk+ ` trong đó m, ` ∈ N và 0 < ` < k. Với mỗi t > 0, ta có P(kΦnu−ξk > t) =P(kΦnu−Φmkξk> t) = P(kΦmk(Φ`u)−Φmkξk> t) ≤ P(kΦ`u−ξk > t/qm) ≤ max 0<`<kP(kΦ`u−ξk> t/qm) Khi n→ ∞ thì m → ∞ nên ta có lim n→∞P(kΦnu−ξk > t) ≤ lim m→∞ max 0<`<kP(kΦ`u−ξk> t/qm) = 0, hay p-lim Φnu = ξ. Bổ đề 3.3.12. Cho α > 0, 0 < q < 1 và ϕ(x) là hàm xác định trong (q; 1) theo công thức ϕ(x) = x x−q α . 1 1−xα. Khi đó min x∈(q;1)ϕ(x) = 1 (1−q1+αα)1+α đạt được tại x = q1+1α.
Chứng minh. Ta có limx→1− f(x) = limx→q+ϕ(x) = +∞ và ϕ0(x) = 0
khi và chỉ khi x = q1+1α. Từ tính liên tục của ϕ(x) ta suy ra điều phải chứng minh.
Định lý sau đây cho chúng ta một điều kiện cần và đủ khác để đảm bảo toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên q-co xác suất có điểm bất động và đưa ra đánh giá độ lớn của xác suất đuôi P(kun − ξk > t) trong đó
Định lý 3.3.13. Cho Φ là toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên q-co xác suất từ X vào X. Khi đó, Φ có điểm bất động khi và chỉ khi tồn tại biến ngẫu nhiên u0 ∈ LX0 (Ω) và số thực α > 0 sao cho
sup
t>0
tαP(kΦu0 −u0k > t) < +∞. (3.3)
Hơn nữa, nếu điều kiện (3.3) được thỏa mãn thì dãy (un) với un =
Φnu0 (n = 1,2, ...) hội tụ theo xác suất về điểm bất động ξ của Φ và ta có đánh giá P(kun −ξk> t) ≤ M (1−q1+αα)1+α.(q α)n tα , trong đó M = supt>0tαP(kΦu0 −u0k > t).
Chứng minh. Trước hết, ta giả sử rằng tồn tại u0 ∈ LX0 (Ω) và α > 0 để
supt>0tαP(kΦu0 −u0k > t) < +∞. Chúng ta sẽ chỉ ra rằng (un) là dãy Cauchy theo xác suất. Với mọi n ∈ N và t > 0, theo quy nạp ta có
P(kun+1 −unk > t) = P(kΦn+1u0 −Φnu0k> t)
≤ P(kΦnu0 −Φn−1u0k > t/q)
≤ ...≤ P(ku1 −u0k > t/qn).