Phương trình Bernoulli

ấy trong chất lưu lý tưởng một ống dòng giới hạn bởi hai diện tích S1 và S2 vuông góc với các đường dòng (hình 3.6). ọi v1 và v2 là vận tốc chảy của chất lưu trên diện tích S1 và S2 tương ứng. Sau thời gian t, lượng thể tích chất lưu đi vào tiết diện S1 là v1S1t = V1, lượng thể tích chất lưu ra khỏi tiết diện S2 là v2S2t = V2. Ta phải có:

v1S1t = V1 = v2S2t = V2 = V (3.10)

Chất lưu lý tưởng có thể xem như một hệ nhiều hạt. Năng lượng của mỗi hạt bao gồm động năng và thế năng của nó trong trường hấp dẫn.

Chọn t đủ nhỏ sao cho các hạt trong thể tích V1 có cùng vận tốc v1 và các hạt trong thể tích V2 có cùng vận tốc v2. Ký hiệu  là khối lượng riêng chất lưu, ta có:

Động năng của các hạt trong thể tích V1 là:

2 1 1 1 2 V v E   Động năng của các hạt trong thể tích V2 là:

2 2 2 2 2 V v E   Hình 3.6

Do t đủ nhỏ nên V1 và V2 cũng đủ nhỏ để xem như các hạt trong thể tích V1 có cùng độ cao h1 và các hạt trong thể tích V2 có cùng độ cao h2 so với mặt đất. Như vậy:

Thế năng của các hạt trong thể tích V1 là V1gh1 Thế năng của các hạt trong thể tích V2 là V2gh2

34 W = W2 – W1 = 2 2 2 ρΔV v 2 – 2 1 1 ρΔV v 2 + V2gh2 – V1gh1

Đối với chất lưu lý tưởng không có nội ma sát nên không có tổn thất năng lượng. Do đó biến thiên năng lượng W bằng công A thực hiện bởi áp lực phía trên lên S1 và phía dưới lên S2. ọi p1 và p2 là áp suất bên ngoài ống dòng tác dụng lên diện tích S1 và S2 tương ứng, ta có :

A = p1S1l1 – p2S2l2 = (p1 – p2)V

Với l1 và l2 là quãng đường phần tử chất lưu ở S1 và S2 tương ứng chảy được trong thời gian t. Từ đó:

2 2 1 2 1 1 2 2 2 2 v v p   gh  p   gh

Do S1 và S2 là hai tiết diện tuỳ ý trên ống dòng nên:

2

2

v

p  gh  const

(3.11)

(3.11) là biểu thức của định luật Bernoulli.

Chú ý rằng các số hạng đều có cùng thứ nguyên của áp suất. Số hạng p biểu thị cho áp suất bên trong chất lưu chảy được gọi là áp suất tĩnh.

Ý nghĩa của các số hạng trong biểu thức (3.11):

Theo (3.11) áp suất tĩnh được xác định là:

2

2

v

p  const  gh

Nếu v = 0 và h = 0 thì p = const = po chính là áp suất tĩnh ở mực nước biển. Số hạng 2

2

v



xuất hiện khi vận tốc của chất lưu v  0 gọi là áp suất động. Số hạng này cho thấy do chuyển động của chất lưu mà áp suất bên trong chất lưu giảm đi. Áp suất bên trong chất lưu giảm rất nhanh theo vận tốc chất lưu.

Số hạng gh gọi là áp suất thuỷ lực, nó cho thấy áp suất tĩnh giảm theo sự tăng độ cao bên trong chất lưu.

Ở trạng thái cân bằng (v = 0) của chất lưu: p = po  gh

35

Dấu (–) khi vị trí tính áp suất p cao hơn vị trí tính Po, dấu (+) trong trường hợp ngược lại.

po  gh = p được gọi là áp suất thuỷ tĩnh.

Từ biểu thức (3.11) ta đi đến kết luận: Trong chất lưu lý tưởng chảy dừng, áp suất toàn phần (gồm áp suất động, áp suất thủy lực và áp suất tĩnh) luôn bằng nhau đối với tất cả các tiết diện ngang của ống dòng.