Chuyển động quanh trụ tròn xoay ( ≠ 0)

Dòng chảy là tổ hợp của chuyển động quanh trụ tròn và xoáy tự do (+). Trường hợp này ta có: 2 2 1 cos 2 o R u r r               2 2 1 sin ln 2 o R u r r r              Trên mặt trụ thì r = nên ta có: ur = 0 và u = 2 sin 1 2 o u R     

Từ đây ta thấy u = 0 khi u = 0, suy ra:

sin 4 Ruo     (5.35) Từ biểu thức (5.35) ta thấy:

- Nếu  < 4Ruo : dòng chảy có hai điểm dừng đối xứng qua trục Oy - Nếu  = 4Ruo : dòng chảy có một điểm dừng trên trục Oy

- Nếu Nếu  > 4Ruo : dòng chảy không tồn tại điểm dừng.

Hình 5.9 và 5.10 biểu diễn hình ảnh xoáy với một số giá trị của  đối với các trường hợp  > 0 và  < 0.

81

Phân bố áp suất trên mặt trụ:

Phương trình năng lượng giống như trường hợp của dòng chảy quanh trụ tròn: 2 2 2 2 o tr tr u u p  p     

với utr = u (tại r = ) = 2 sin 1 2 o u R     

iả sử áp suất tại : p = pa, khi đó:

2 2 2 2 2 1 1 2sin 2 2 2 du o tr o tr o o u u u p Ru u                             Hình 5.9Các trường hợp xoáy  > 0 Hình 5.10 Các trường hợp xoáy  < 0 Lực tác dụng lên mặt trụ: - Theo phương x: Fx  0

82 - Theo phương y: 2 0 sin du y tr o F p R d u          (5.36)

ực Fy theo biểu thức (5.36) chính là cơ sở của lực nâng Guicopxki trong ngành hàng không.

83

Chương 6

KHÍ ĐỘNG LỰC HỌC

Các lực xuất hiện trong tương tác của vật với chất lưu theo nguyên lý tương đối alileo, không phụ thuộc vào việc vật chuyển động và chất lưu nằm yên hay chất lưu chuyển động còn vật đứng yên.

Thực nghiệm chứng tỏ rằng một vật chuyển động trong chất lưu thực sẽ chịu tác dụng của lực cản và trong các điều kiện nào đó chiụ tác dụng của cả lực nâng. Ta sẽtìm hiểu sự xuất hiện và tính chất của các lực này.

Người ta đã chứng minh rằng các quá trình làm xuất hiện các lực kể trên xảy ra chủ yếu ở trong lớp chất lưu sát bề mặt của vật và lớp đó gọi là lớp biên.

Lớp biên: Ðó là lớp mà vận tốc của dòng thay đổi từ 0 (trên chính bề mặt vật) đến một giá trị bằng vận tốc của dòng không bị nhiễu loạn. í thuyết đã chứng tỏ chiều dày  của lớp biên có thể được xác định phỏng chừng theo công thức:

e

L R

  (6.1)

trong đó là kích thước đặt trưng của vật. ớp biên phụ thuộc vào vận tốc của dòng, các tính chất của chất lưu và hình dạng vật.

Thực nghiệm chứng tỏ chiều dày của lớp biên đối với vật có dạng thuôn giảm theo sự tăng của số eynolds Re.

Khi Re  104 chều dày   0,01 , lớp biên là một lớp rất mỏng bao quanh vật, vì vậy có thể coi vật và lớp biên tiếp giáp với vật là một thể thống nhất và dòng chảy quanh nó là dòng chất lưu lý tưởng.

iống như sự chảy trong ống, chế độ chảy của chất lưu trong lớp biên có thể là chảy tầng hoặc chảy rối. Chế độ chảy trong lớp biên cũng xác định tính chất của lực tương tác của vật với dòng. Trong lớp biên sự chuyển từ chảy thành tầng sang chảy rối cũng có số eynolds đặc trưng như trong sự chảy của chất lưu ở trong ống. Sự chuyển đó trong lớp biên có nhiều tính chất chung với sự chuyển từ chảy tầng sang chảy rối trong các ống. Trong lớp biên chảy cuộn xoáy, trên mặt vật có chất lưu chảy vòng quanh xuất hiện một lớp con rất mỏng có gradien vận tốc ngang rất lớn gây ra do sự xuất hiện các lực ma sát lớn. Do đó, trong sự chuyển từ

84

sự chảy tầng của lớp biên sang chảy cuộn xoáy, lực cản chuyển động của dòng tăng một cách đột ngột.

6.1 Lực cản chuyển động

6.1.1 Lực cản do ma sát

Đối với dòng chảy có vận tốc không lớn, khí ở trong lớp biên ở chế độ chảy thành lớp, chất lưu chảy quanh vật nhịp nhàng (không bị đứt ra). Các đường dòng có dạng giống như trong trường hợp chảy lượn của chất lưu lý tưởng.

Ðể thí dụ ta xét sự chảy quanh quả cầu. Trường hợp chất lưu lý tưởng (hình 6.1), tổng các áp lực lên mặt quả cầu bằng không do sự đối xứng của các đường dòng. Cũng do nguyên nhân đó tổng các áp lực vuông góc với mặt cầu cũng sẽ bằng không cả trong trường hợp chất lưu nhớt chảy lớp quanh quả cầu.

Hình 6.1

ực do chất lưu tác dụng vào quả cầu là tổng hớp của các lực ma sát dS đặt vào các phần tử của mặt cầu. Ứng suất  phụ thuộc vào gradien vận tốc, gradien vận tốc phụ thuộc chiều dày lớp biên. ớp biên mỏng nhất ở các điểm C và D, dày

nhất ở các điểm A và B. Vì vậy gradien vận tốc và do đó  có giá trị cực đại ở các điểm C và D, cực tiểu ở các điểm A và B. Do tính chất đối xứng, lực ma sát tổng cộng Fms hướng theo dòng chảy. Fms chỉ phụ thuộc độ nhớt , vận tốc tương đối vo của dòng chảy tầng và bán kính của quả cầu:

Fms = 6Rvo (6.2) (6.2) là công thức Stokes.

(6.2) cho thấy lực cản nhớt Fms tỉ lệ tuyến tính với vận tốc vo.

Công thức Stokes (6.2) đúng với điều kiện e 1. Đây là cơ sở của thực nghiệm xác định hệ số nhớt  của một chất lưu. Phương pháp như sau:

85

Khảo sát chuyển động rơi tự do của một quả cầu nhỏ trong một chất lưu đứng yên. Khi đó có ba lực tác dụng vào quả cấu:

- Trọng lượng quả cầu: p = 4

3R3g hướng xuống dưới, với  là khối lượng riêng quả cầu.

- ực đẩy Achimède FA = 4

3 R3og hướng lên trên, với o là khối lượng riêng chất lưu.

- ực cản nhớt Fms = 6 v hướng ngược chiều chuyển động, tức hướng lên phía trên.

Hai lực đầu có trị số không đổi, lực thứ ba tỉ lệ với vận tốc v của quả cầu. Khi quả cầu đạt vận tốc vo sao cho P cân bằng với F + FA hay:

4 3 R3g = FA = 4 3 R3og + 6Rvo Từ đó: 2 2( - ) 9 o o gR v     (6.3)

Thực nghiệm đo được vo sẽ tính ra .

Biểu thức (6.3) cho thấy vo tỉ lệ với 2, do đó nó chỉ phù hợp với các quả cầu bán kính nhỏ.

6.1.2 Lực cản do áp suất

Thực nghiệm chứng tỏ rằng khi tăng vận tốc của dòng chất lưu chảy đến một giá trị nào đó sự chảy quanh vật thay đổi đột ngột, phía sau vật xuất hiện các xoáy được tách ra khỏi vật và bị dòng cuốn ra xa tạo thành các rãnh xoáy (hình 6.2) và biến mất ở một nơi xa vật. Xung quanh vật và các rãnh xoáy là dòng chất lưu chảy lớp.

86

Hình 6.3

Đối với vật có dạng hình đối xứng, phía sau vật thường hình thành hai xoáy có momen xung lượng bằng nhau về giá trị nhưng ngược chiều nhau.

Các xoáy tạo thành phá huỷ tính đối xứng sự phân bố chất lưu trên mặt trụ. Nếu áp suất trong vùng chất lưu không bị nhiễu loạn (chảy tầng) bằng po thì trong vùng có xoáy áp suất nhỏ hơn po.

Trong miền tiếp giáp với mặt trước của hình trụ (điểm A), áp suất theo định luật Bernoulli là 2 2 o o v p  

, áp suất này lớn hơn áp suất trong vùng không bị nhiễu loạn. Kết quả là tổng các áp lực phân bố trên mặt trụ sẽ  0 và do sự đối xứng sẽ hướng theo dòng, đó là lực cản do áp suất pa. Hiệu áp suất trước và sau hình trụ là 2 2 o v 

do đó lực cản tổng cộng do áp suất Fa cũng tỉ lệ với mật độ  của chất lưu và bình phương vận tốc tương đối 2

o

v . Ngoài ra Fa còn phụ thuộc độ lớn của vùng có xoáy phía sau vật, vùng này lại phụ thuộc vào kích thước vật.

Như vậy kích thước đặc trưng của vật ảnh hưởng đến độ lớn của lực cản Fa. Người ta đưa vào khái niệm diện tích đặc trưng Sc là tiết diện lớn nhất của vật vuông góc với các đường dòng gọi là tiết diện tiền đầu. Từ đó ta thu được biểu thức của định luật về lực cản chính diện khi ở phía sau vật xuất hiện các xoáy:

2 2 x a c o C F  S v (6.4)

với Cx là hệ số không thứ nguyên gọi là hệ số cản tiền đầu. Cx phụ thuộc hình dạng và sự định hướng của vật đối với dòng, không phụ thuộc kích thước của vật.

Thực nghiệm cho thấy Cx phụ thuộc số eynol e do đối với trị số e lớn sẽ hình thành các xoáy dịch chuyển về vùng phía trước vật và vùng có chuyển động xoáy phía sau vật mở rộng. Hình 6.4 biểu diễn một số giá trị của Cx đối với một số vật có hình dạng khác nhau, có chỉ số e = 103 104 và có giá trị Sc giống nhau.

87

Hình 6.4

Có thể thấy rằng vật dạng thuôn có Cx nhỏ nhất, đĩa có Cx lớn nhất. Từ đó ta thấy ảnh hưởng đến độ lớn của Cx không phải phần phía trước mà là phần phía sau vật – nơi hình thành các xoáy.

6.2 Lực nâng

Cơ sở lý thuyết của lực nâng cánh máy bay được iucopxki nêu năm 1906 trong công trình nổi tiếng “về các xoáy liên hợp”. Ðể nghiên cứu trước tiên ta xét hiệu ứng Magnus.

6.2.1 Lực tác dụng vào hình trụ quay. Hiệu ứng Magnus

Khi hình trụ rắn quay nó sẽ tạo ra trong khối chất lưu nhớt bao quanh nó các chuyển động tròn không xoáy (hình 6.5a) có cường độ:

G = 2S (6.5)

với S là tiết diện hình trụ,  là vận tốc quay của hình trụ.

Hình 6.5

Đối với hình trụ không quay, chuyển động tịnh tiến với vận tốc tương đối vo nhỏ thì khối chất lưu nhớt bao quanh sẽ tạo thành dòng chảy lớp và phía ngoài lớp biên cũng không xoáy (hình 6.5b).

Nếu hình trụ đồng thời quay và chuyển động tịnh tiến thì hai dòng không xoáy bao quanh nó sẽ chồng lên nhau và cho một dòng chảy tổng hợp với vận tốc chảy của chất lưu ở phía trên lớn hơn ở phía dưới (hình 6.5c).

88

Vì vậy, theo định luật Bernoulli áp suất chất lỏng ở phần trên hình trụ sẽ nhỏ hơn ở phần dưới làm xuất hiện một lực thẳng đứng gọi là lực nâng. Đó chính là hiệu ứng Magnus.

Giukôpxki và Kutt tính toán bằng lý thuyết một cách độc lập thu được cùng một kết quả cho độ lớn của lực nâng Fn:

2

n o

F  G v (6.6)

ực nâng chính là kết quả của chuyển động tròn của chất lưu với cường độ của chuyển động tròn được xác định bởi biểu thức (6.5).

ực nâng Fn vuông góc với vận tốc vo của dòng. Chiều của Fn được xác định theo thứ tự F , v và ωn o lập thành một tam diện thuận.

Có thể quan sát hiệu ứng Magnus bằng thực nghiệm đơn giản (hình 6.6): một hình trụ nhẹ lăn trên một mặt phẳng nghiêng, sau khi rời khỏi mặt nghiêng hình trụ không đi theo đường parabol theo hướng ra xa bàn mà ngược lại nó đi ngoặt vào gầm bàn.

Hình 6.6

Nếu thay hình trụ quay bằng xoáy (cột chất lưu quay) với cường độ = S thì lực Magnus cũng như vậy.

Từ đó ta đi đến kết luận quan trọng:

Chất lưu bao quanh xoáy tác dụng vào xoáy một lực vuông góc với vận tốc tương đối vo của chất lưu, lực có chiều xác định bằng qui tắc tam diện thuận đã nói ở trên.

6.2.2 Lực nâng cánh máy bay

Cơ chế hình thành lực nâng cánh máy bay giống như cơ chế hình thành lực nâng trong hiệu ứng Magnus. Tuy nhiên, sự xuất hiện chuyển động tròn được giải

89 hoàn toàn do các nguyên nhân khác.

Hình 6.7

Nhờ hình dạng không đối xứng của cánh và mép phía sau nhọn (hình 6.7), do các quá trình như đã mô tả ở trên xảy ra trong biên, phía sau cánh hình thành xoáy, ngoài ra còn một xoáy khác gọi là xoáy lấy đà. Xoáy lấy đà có mômen xung lượng xác định. Theo định luật bảo toàn mômen xung lượng, mômen xung lượng của hệ cánh và không khí không đổi (bằng 0) do không có mômen của các ngoại lực tác dụng vào hệ. Vì vậy cùng với xoáy hình thành ở đằng sau cánh, phải xuất hiện một chuyển động tròn nào đó của không khí có mômen xung lượng bằng mômen xung lượng của xoáy nhưng ngược chiều. iucôpxki đã chứng tỏ rằng chuyển động tròn của không khí chung quanh cánh xuất hiện cùng với sự hình thành xoáy.

Ta đã biết xoáy sinh ra chuyển động tròn. Từ đó suy ra bản thân cánh phải được coi như một xoáy ảo nào đó chuyển động cùng với cánh. iucôpxki gọi đó là

xoáy liên hợp. Nhưng trên xoáy chuyển động (tức là trên cánh) phải có tác dụng của lực Magnus mà với cánh nằm ngang là lực nâng Fn hướng lên trên theo qui tắc xác định hướng của lực Magnus. Điều này cũng có thể thấy từ sự phân bố vận tốc của dòng ở trên và dưới cánh. Trong chuyển động tròn, vận tốc của không khí ở trên cánh lớn hơn ở dưới cánh. Theo định luật Bernoulli áp suất không khí ở dưới cánh lớn hơn ở trên cánh, đó chính là nguyên nhân xuất hiện lực nâng.

Kết luận: Trong chuyển động vòng quanh cánh tồn tại hai xoáy: xoáy lấy đà và xoáy liên hợp. Xoáy liên hợp tạo ra lực nâng có độ lớn tỉ lệ với chiều dài của cánh. Theo lý thuyết của iucôpxki, cường độ của xoáy đối với cánh có dạng trông xiên (hình 5.8a) được xác định bằng công thức:

1 2

G 

với α là góc đụng, là chiều dài dây cung tức là khoảng cách từ mép trước đến mép sau của cánh.

Đối với cánh dài vô hạn, trục của xoáy liên hợp sẽ là một đường thẳng dài vô hạn. Thực tế chiều dài của cánh máy bay là hữu hạn nên xuất hiện hiệu ứng

90

vòng làm cho xoáy liên hợp trở thành xoáy vòng (hình 6.8b), kết quả là sự chảy vòng quanh cánh trở nên phức tạp thêm.

a) b)

Hình 6.8

Xoáy lấy đà vừa hình thành bị tách ra ngay khỏi cánh và được dòng mang đi, ở vị trí của nó lại xuất hiện một xoáy lấy đà mới đồng thời cũng xuất hiện một xoáy liên hợp mới. Như thế chuyển động tròn quanh cánh luôn được bảo toàn do sự tách ra của các xoáy lấy đà.

TÀI LIỆU THAM KHẢO

91 Hồ Chí Minh.

2. Tóm tắt bài giảng Cơ lưu chất- TS Huỳnh công Hoài ĐH Bách Khoa Tp. Hồ Chí Minh.

3. Giáo trình Cơ lưu chất, Bộ môn Cơ lưu Chất, Trường Đại học Bách khoa Tp. Hồ Chí Minh.

4. Bài tập Cơ lưu Chất, Nguyễn thị Phương, Lê song Giang, Bộ môn Cơ lưu Chất, Trường Đại học Bách khoa Tp. Hồ Chí Minh.

5. Solutions Manual. Introduction to Fluid Mechanics, Robert W.For, Alan T. Mc Donald.

6. Bài giảng Thuỷ lực và máy thuỷ lực, Nguyễn Đăng Phóng, Bộ môn Thủy lực Thủy văn Khoa Công trình, Trường Đại học Giao thông Vận tải

7. Fundamental of Fluid mechanics–Phillip M. Berhart, Richard J. Gross, John I. Hochstein. Second edition, Addison –wesley Publising Company Inc. 1985.

8. Applied Fluid Mechanics- Robert L. Mott , Fourth edition , Macmillian Publishing Company, 1990.

9. Fluid mechanics – John Doughlas, Janusz M. Gasiorek , John A. Swaffiield. Fourth edition, Prentice Hall, 2001.

10. E-book : Fluid Mechanics , Frank M. White , 1994.

11. E-book : Shaum’s interactive Fluid mechanics – Giles R.V et al. Web: https://ecourses.ou.edu/cgi-bin/ebook.cgi?doc=&topic=fl Chean Chin Ngo, Kurt Gramoll. Website : www.engin.umich.edu.

12. 2500 solved problems in Fluid mechanics and hydraulics. Jak B. Evett, Ph.D and Cheng Liu, Ph.D. McGraw-Hhill Book Company.

MỤC LỤC

92

Chương 1 ... 1

MỞ ĐẦU ... 1