7. Ý NGHĨA KHOA HỌC VÀ THỰC TIÊN CỦA ĐỀ TÀI
2.2.1. Khái niệm về cấp số nhân cyclic trên vành đa thức
Xét vành đa thức Z2[ ]/x xn1 với n lẻ.
Định nghĩa 2.6:
Cấp số nhân cyclic (CGP - Cyclic Geometic Progressions) trên vành đa thức là một tập hợp con có dạng sau [6], [10]:
2 1
( , )a q { ( ), ( ) ( ), ( ) ( ),..., ( ) m ( )}
A a x a x q x a x q x a x q x (2.8) Trong đó: m là số các số hạng của cấp số nhân.
a x( )là số hạng đầu của cấp số nhân. ( )
q x là công bội.
a x q( ) m( )x a x( ) modxn 1
Giá trị của m chính là cấp của nhóm nhân sinh với phần tử sinh ( )q x và lũy đẳng qm( )x . Cấp lớn nhất của phần tử ( )q x được xác định bởi định lý 2.2.
Trong trường hợp ta chọn số hạng đầu ( ) 1a x , công bội là ( )q x thì
2 1 (1, )q {1, ( ), ( ),..., m ( )} A q x q x q x 0 ( ) ( ) 1 q x q x Là một cấp số nhân cyclic cấp m.
Như vậy, trong vành đa thức Z x2[ ] / xn1, nếu ta chọn số hạng đầu ( )a x và hạt nhân phân hoạch ( )q x khác nhau thì ta sẽ tạo ra nhiều kiểu phân hoạch khác nhau của vành, do đó ta có các cấp số nhân cyclic để xây dựng được các mã cyclic có cấu trúc khác nhau.
Nếu ta nhân các phần tử của một nhóm nhân cyclic cấp nvới một phần tử bất kỳ trong nhóm nhóm nhân G của vành đa thức ta sẽ thu được một cấp số nhân có công bội là phần tử sinh của nhóm nhân và có số hạng ban đầu là đa thức đem nhân.
Bổ đề 2.6: Số các cấp số nhân cyclic cấp n xây dựng được trong G trên vành 2
1
k
x (k nguyên dương) được xác định như sau [7], [8], [9]: 2 2 2 2 2 k .2 k N (2.9) Ví dụ 2.2: n Số cấp số nhân N n Số cấp số nhân N 8 n 8 1 8 2 13 2 .2 2 8.192 N n64 64 1 64 2 125