3.1.Vị trí và hướng của vật rắn trong không gian 3.1.1 Hệ tọa độ vật
3.2.2Phép quay quanh trục bất kỳ
Trường hợp thường xuyên gặp phải trong nghiên cứu động học tay máy là mô tả phép quay một vật quanh trục bất kỳ.
Giả sử r = [ rx ry rz ]T là vector đơn vị trong hệ O-xyz củ trục quay. Ma trận quay R(r, φ) mô tả phép quay quanh trục r một góc φ được xác định bằng cách tổ hợp các ma trận quay theo các trục tọa độ gốc ( hình 2.8). Góc φ được quy ước là dương nếu chiều quay ngược kim đồng hồ.
Một trong cách tổ hợp có thể như sau:
- Làm trùng vector r với trục z bằng cách quay r một góc –α quanh trục z, sau đó là –β quanh trục y.
- Quay một góc β quanh z. - Quay trả góc β quanh y, rồi α quanh z.
Mô tả bằng ma trận quay các phép quay trên như sau: R(r, φ) = r(z, α)R(y, β)R(z, φ)R(y, -β)R(z, -α) (2. 15)
Từ các thành phần của vector r, có thể biểu diễn các hàn siêu việt để tính các thành phần của ma trận quay trong (2.15) như sau:
Thay chúng vào (2.15), nhận được ma trận quay R(r, φ), mô tả phép quay quanh trục bất kỳ như sau:
Ma trận quay R(r, φ) có tính chất sau: R(r, φ) = R(-r, - φ)
Điều đó có nghĩa là phép quay một góc φ quanh trục r tương đương với phép quay một góc –φ quanh trục –r.
Khi giải bài toán ngược, nghĩa là tìm góc quay φ và trục quay r khi biết ma trận quay:
Thì có thể sử dụng biểu thức sau: φ = cos-1) ; r = (2.17 )
Với sinφ ≠ 0.
Ta thấy (2.17) mô tả phép quay nhờ 4 thông số: góc quay φ và 3 thành phần của vector r. Tuy nhiên, vì r là vector đơn vị nên 3 thành phần của nó bị rang buộc bởi điều kiện:
rx2 + ry2 + r22 = 1 ( 2.18) Nếu sinφ = 0 thì ( 2.17) vô nghĩa. Khi đó, phải xét trực tiếp các trường hợp cụ thể, kể cả trường hợp φ = 0 và φ = π.
Ta thgy (2.17) me to pile') quay nM 4 Meng se: gee quay 9 va. 3 thank plian dm vector T. Thy nhien, vl r la vector don vi nth 3 thanh phan &la no bi rang bugs biri dieu 7-A.2 + J. = . (2.18) Neu sin9 = 0 tin (2.17) ve nghia. Khi de, phai xet tun tiep cac trubng hop au the, ke ca truang him 79 = 0 ya S =