3.1.Vị trí và hướng của vật rắn trong không gian 3.1.1 Hệ tọa độ vật
3.2.Phép quay một vector quanh một trục bất kỳ 1 Tổng hợp các ma trận quay
3.2.1. Tổng hợp các ma trận quay
Thông thường một vật thể trong không gian có thể quay quanh một trục bất kỳ.Trong trường hợp đó, có thể coi phép quay tổng quát là sự tổ hợp nào đó của các phép quay đơn giản. Nếu làm được như vậy thì ma trận quay tổng quát sẽ là tổng hợp của các ma trận quay đơn giản.
Giả sử có 3 hệ tọa độ chung gốc là O-xoyozo, O-x1y1z1, O-x2y2z2. Vector p đại diện cho một điểm bất kỳ trong không gian được biểu diễn trong mỗi hệ là po, , p1, p2*. Ký hiệu ma trận biểu diễn phép quay của hệ I so với hệ j là Rij.
Ta có mối quan hệ giữa các vector p’ và p2 như sau:
P1 =R21p2 ( 2.10) Tương tự ta có: P0 =R10p1 ( 2.11) P0 =R20p2 (2.12) Thay (2.10) vào (2.11) và sử dụng (2.12); ta có: = (2. 13)
Ma trận quay R2° trong biểu thức (2.13) có thể hiểu là ma trận tổng hợp từ 2 ma trận quay R10 và R21.Nó mô tả 2 phép quay liên tiếp nhau.
- Quay vật ( đang trùng phương với hệ O-xoyozo) theo R10để nó trùng phương với hệ O-x1y1z1.
- Tiếp tục quay vật ( hiện đã trùng phương với hệ O-x1y1z1) theo R21
để nó trùng phương với hệ O-x2y2z2
Phép quay nói trên là quay vật quanh hệ tọa độ hiện thời ( hình 2.6). Cũng có thể lien tiếp thực hiện phép quay quanh hệ tọa độ ban đầu. Trong trường hợp này, các phép quay luôn luôn được thực hiện với hệ tọa độ cố định ( hình 2.7).
Có thể hình dung quá trình quay theo các bước sau:
Ban đầu có 2 hệ O-xoyozo vàO-x1y1z1 lệch phương nhau theo ma trận quayR10 - Quay hệ O-x1y1z1 cho trùng với hệ O -xoyozo , tương ứng ma trận
quay R01
- Quay hệ O-x1y1z1 theo R12 để nhận được hệ O-x2y2z2 - Bù phép quay ở bước 1 bằng phép quay ngược R01
Quá trình trên được thể hiện bởi biểu thức sau: R20 =R10R01R21R10
Vì R10R01 =1, nên cuối cùng ta nhận được biểu thức: R20 =R21R10 (2.14)
So sánh với (2.13), chúng ta nhận thấy quay lien tiếp vật theo hệ tọa độ cố định cho kết quả giống như phép quay lien tiếp vật theo hệ tọa độ hiện thời, nhưng theo
vật. Củng có thể kiểm tra kết luận trên bằng cách so sánh phép quay trong hình 2.6
và hình 2.7