Mô hình nhị phân Kỳ vọng điều kiện
Mactingale với thời gian rời rạc Quá trình Markov
Thời điểm dừng
Xét một mô hình nhị phân mô tả giá chứng khoán trong thời gian rời rạc, tại mỗi bước thời gian giá chứng khoán sẽ thay đổi thành một trong hai giá trị có thể. Giả sử ta khởi đầu với một giá chứng khoán ban đầu dươngS0 và có hai số dươngd vàuvới
0<d<u (4)
sao cho tại thời điểm kế tiếp, giá chứng khoán sẽ làdS0 hoặcuS0.Chúng ta sẽ lấyd vàuthỏa mãn
0<d<1+r <u (5) để biểu diễn giá chứng khoán tăng từS0tới uS0và giảm từS0xuống
dS0,vớir là lãi suất. Thông thường ta lấyd = 1
u trong hầu hết các ví dụ
trong chương này.
Trần Trọng Nguyên
Giả sử rằng giá chứng khoán đi lên, hay đi xuống ở mỗi thời điểm kế tiếp ứng với trường hợp ta tung một đồng xu và thấy xuất hiện mặt ngửa (Head-ký hiệu tắt là H) hoặc mặt sấp (Tail-ký hiệu tắt là T). Ký hiệu giá tại thời điểm 1 bởiS1(H) =uS0nếu kết quả của phép thử là ngửa, và bởiS1(T) =dS0nếu kết quả là sấp. Sau lần tung thứ hai giá sẽ là
S2(HH) =uS1(H) =u2S0, S2(TT) =dS1(T) =d2S0,
S2(HT) =dS1(H) =duS0, S2(TH) =uS1(T) =udS0.
Sau lần tung thứ ba, có 8 khả năng có thể cho đồng xu, nhưng không phải tất cả các giá chứng khoán tương ứng tại thời điểm 3 khác nhau. Bây giờ ta giả sử rằng lần tung thứ ba là lần cuối cùng và ký hiệu tập của tất cả các kết cục có thể của lần tung thứ ba bởi
Ω ={HHH,HHT,HTH,HTT,THT,THH,TTH,TTT}.
TậpΩtất cả các kết quả có thể của phép thử ngẫu nhiên được gọi là không gian mẫu của phép thử, và biến cốω∈Ωđược gọi là các điểm mẫu. Trong trường hợp này mỗi điểm mẫuω là một dãy có độ dài 3. Ta ký hiệu thành phần thứk củaω bởiωk.Chẳng hạn, khiω=HTH,ta có
Example
Giả sửS0=4,u=2,d= 1
2.Ta có cây nhị phân:
Trần Trọng Nguyên
Với cổ phiếu là một tài sản chính, giả sử ta xét một quyền chọn mua kiểu châu Âu với giáK >0 và thời gian hết hạn 1. Quyền chọn này cho phép mua cổ phiếu tại thời điểm 1 vớiK$ và vì thế thu đượcS1−K tại thời điểm 1 nếuS1−K >0 và là 0 trong trường hợp còn lại. Ta ký hiệu giá trị của quyền chọn này tại thời điểm đáo hạn là
V1(ω) = (S1(ω)−K)+=max{S1(ω)−K,0}.
Dĩ nhiênV1(ω)thực ra chỉ phụ thuộc vàoω1 và đôi khi chúng ta có thể viếtV1(ω1)thay choV1(ω).Nhiệm vụ trước tiên của chúng ta là tính toán giá cơ lợi của quyền chọn này tại thời điểm 0.
Giả sử rằng tại thời điểm 0 bạn bán quyền chọn mua với giáV0đô la, ở đóV0đã xác định. Bây giờ bạn có nghĩa vụ trả(uS0−K)+ nếuω1=H
và trả(dS0−K)+nếuω1=T.Tại thời điểm bạn bán quyền chọn, bạn chưa biếtω1 sẽ lấy giá trị nào. Bạn bảo hộ giá trị tạm thời của bạn trong quyền chọn bằng cách mua∆0cổ phiếu chứng khoán, ở đó∆0vẫn chưa xác định. Bạn có thể sử dụng doanh thuV0 của việc bán quyền chọn cho mục đích này. NếuV0 nhiều hơn số cần thiết để mua∆0cổ phiếu chứng khoán, bạn đầu tư tiền còn dư (residual) vào lãi suấtr.Trong cả hai trường hợp, bạn sẽ cóV0−∆0S0 đô la đầu tư trong thị trường tiền tệ, trong đó lượng này có thể âm. Bạn cũng sẽ sở hữu∆0 cổ phiếu chứng
Trần Trọng Nguyên
Nếu chứng khoán tăng, giá trị danh mục đầu tư của bạn (loại trừ vị thế ngắn hạn trong quyền chọn) là
∆0S1(H) + (1+r)(V0−∆0S0),
và bạn cần cóV1(H). Do đó, bạn muốn chọnV0và∆0để cho
V1(H) = ∆0S1(H) + (1+r)(V0−∆0S0). (6) Nếu chứng khoán giảm, giá trị danh mục đầu tư của bạn là (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
∆0S1(T) + (1+r)(V0−∆0S0), và bạn cần cóV1(T).Do đó, bạn muốn chọnV0 và∆0để cũng có V1(T) = ∆0S1(T) + (1+r)(V0−∆0S0). (7) Trừ (6) và (7), ta thu được:V1(H)−V1(T) = ∆0(S1(H)−S1(T)),do đó ∆0=V1(H)−V1(T) S1(H)−S1(T). (8)
Đây là một phiên bản với thời gian rời rạc của công thức “delta-hedging" cho chứng khoán phái sinh.
Trần Trọng Nguyên
Để hoàn thành nghiệm của (6) và (7), chúng ta thay thế (8) vào (6) hoặc (7) và giải vớiV0.Sau một vài tính toán đơn giản, ta được công thức
V0= 1 1+r 1+r−d u−d V1(H) + u−(1+r) u−d V1(T) . (9)
Đây là giá cơ lợi của quyền chọn mua kiểu châu Âu với thu hoạchV1tại thời điểm 1. Để đơn giản công thức này, ta định nghĩa
˜ p= 1+r−d u−d , q˜= u−(1+r) u−d =1−p˜, (10) khi đó (9) trở thành V0= 1 1+r [˜pV1(H) + ˜qV1(T)]. (11)
Vì chúng ta lấyd<u, cả˜pvà˜qđược xác định, tức là mẫu số trong (10) khác không. Do điều kiện (5) cảp˜vàq˜ thuộc khoảng(0;1),và vì tổng của chúng bằng 1, chúng ta có thể coi chúng như xác suất củaH vàT
Bây giờ chúng ta xét một quyền chọn mua kiểu châu Âu mà trảK đô la tại thời điểm 2. Tại thời điểm đáo hạn, thu hoạch cho quyền chọn này là
V2= (S2−K)+,ở đóV2 vàS2phụ thuộc vàoω1vàω2, lần tung đồng xu thứ nhất và thứ hai. Chúng ta muốn xác định giá cơ lợi cho quyền chọn này tại thời điểm không. Giả sử một cá thể bán quyền chọn tại thời điểm không vớiK đô la, ở đóV0vẫn được xác định. Sau đó cô ta mua
∆0cổ phiếu chứng khoán, đầu tưV0−∆0S0đô la trong thị trường tiền tệ để kinh doanh. Tại thời điểm 1, cá thể có một giá trị danh mục đầu tư (loại trừ vị thế ngắn hạn trong quyền chọn) là
X1= ∆0S1+ (1+r)(V0−∆0S0). (12)
Mặc dù chúng ta không biểu thị nó qua ký hiệu,S1vàX1cần phải phụ thuộc vào kết quả của lần tung thứ nhấtω1.Vì thế, có hai phương trình ẩn trong (12):
X1(H) = ∆0S1(H) + (1+r)(V0−∆0S0),
X1(T) = ∆0S1(T) + (1+r)(V0−∆0S0).
Trần Trọng Nguyên
Trong thời điểm kế tiếp, tài sản của cô ấy sẽ được cho bởi vế phải của phương trình sau, và cô ta muốn nó làV2.Vì thế cho nên cô ta muốn có
V2= ∆1S2+ (1+r)(X1−∆1S1). (13)
Mặc dù chúng ta không biểu thị trong ký hiệu,S2vàV2 cần phải phụ thuộc vào kết quả của hai lần tung đồng xu đầu tiênω1vàω2.Xét tất cả bốn khả năng có thể, chúng ta có thể viết (13) như bốn phương trình
V2(HH) = ∆1(H)S2(HH) + (1+r)(X1(H)−∆1(H)S1(H)),
V2(HT) = ∆1(H)S2(HT) + (1+r)(X1(H)−∆1(H)S1(H)),
V2(TH) = ∆1(T)S2(TH) + (1+r)(X1(T)−∆1(T)S1(T)),
V2(TT) = ∆1(T)S2(TT) + (1+r)(X1(T)−∆1(T)S1(T)).
Bây giờ chúng ta có sáu phương trình, hai phương trình biểu diễn bởi (12) và bốn phương trình biểu diễn bởi (13), trong sáu phương trình
Để giải các phương trình này, và do đó xác định giá cơ lợiV0tại thời điểm 0 của quyền chọn và phòng hộ danh mục đầu tưV0,∆1(H),và
∆1(T),chúng ta bắt đầu với hai phương trình cuối
V2(TH) = ∆1(T)S2(TH) + (1+r)(X1(T)−∆1(T)S1(T)),
V2(TT) = ∆1(T)S2(TT) + (1+r)(X1(T)−∆1(T)S1(T)).
Trừ một trong chúng từ phương trình khác và giải với∆1, chúng ta thu được công thức “delta-hedging"
∆1(T) = V2(TH)−V2(TT) (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
S2(TH)−S2(TT), (14)
và trừ phương trình này vào các phương trình khác, ta có thể giải với
X1(T) = 1
1+r[˜pV2(TH) + ˜qV2(TT)]. (15)
Phương trình (15) cho giá trị phòng hộ danh mục đầu tư cần phải có thời hạn 1 nếu chứng khoán giảm giữa 0 và 1. Ta định nghĩa đẳng thức này là “giá trị cơ lợi của quyền chọn tại thời điểm 1 nếuω1=T," và ký hiệu bởiV1(T).
Trần Trọng Nguyên
Bằng phương pháp tương tự, hai phương trình đầu tiên ẩn (implicit) trong (13) dẫn đến công thức
∆1(H) =V2(HH)−V2(HT)
S2(HH)−S2(HT), (16)
vàX1(H) =V1(H),ở đóV1(H)là giá trị của quyền chọn tại thời điểm 1 nếuω1=H,xác định bởi V1(H) = 1 1+r ˜ pV2(HH) + ˜qV2(HT) . (17)
Công thức này cũng tương tự công thức (11) nhưng hoãn lại một bước. Cuối cùng, ta thế các giá trịX1(H) =V1(H)vàX1(T) =V1(T)vào hai phương trình ẩn trong (12). Nghiệm của các phương trình này với∆0và
V0 là giống như nghiệm của (6) và (7) và kết quả lại là (8) và (11). Mô hình trên vẫn còn nhược điểm là số thời điểm được xét còn hạn chế. Một cách tổng quát, nếu ký hiệuVk là giá trị tại thời điểmk của chứng khoán phái sinh, và giá trị này phụ thuộc vàok lần tung đồng xu đầu tiênω1, ..., ωk,thì tại thời điểmk−1, sauk−1 lần tung,ω1, ..., ωk−1đã được biết, danh mục đầu tư để phòng hộ một vị trí ngắn hạn cần nắm giữ∆k−1(ω1, ..., ωk−1)cổ phiếu chứng khoán, ở đó
∆k−1(ω1, ..., ωk−1) = Vk(ω1, ..., ωk−1,H)−Vk(ω1, ..., ωk−1,T)
Sk(ω1, ..., ωk−1,H)−Sk(ω1, ..., ωk−1,T), (18) và giá trị tại thời điểmk−1 của chứng khoán phái sinh, khik−1 lần tung đầu tiên cho kết quảω1, ..., ωk−1 được xác định bởi
Vk−1(ω1, ..., ωk−1) = 1 1+r ˜ pVk(ω1, ..., ωk−1,H)+ ˜qVk(ω1, ..., ωk−1,T) . Trần Trọng Nguyên
Thông tin
Xét không gian xác suất trong mô hình nhị phân đã xét vớinthời kỳ. Một dãy ký tự củaΩsẽ được ký hiệu làω= (ω1, ω2, ..., ωn).Ta ký hiệuSk(ω)
là giá chứng khoán tại thời điểmk (tức là sauk lần tung 1≤k ≤n) ứng với kết cụcω.Nhận thấy rằng Sk(ω)chỉ phụ thuộc vàoω1, ω2, ...ωk;mỗi
Sk là một biến ngẫu nhiên xác định trên tậpΩ.Chính xác hơn nữa, giả sửF =P(Ω) là họ tất cả các tập con củaΩ,khi đóF là một σ-đại số và(Ω,F)là một không gian đo được. MỗiSk là một hàmF-đo được từ
Ω→R,tức làSk−1 là một hàmB → F ở đóBlà một σ-đại số trênR.
Example
Xét mô hình nhị phân với ba thời kỳ. Họ tất cả các kết cục có thể thu được là:Ω ={HHH,HHT,HTH,HTT,THH,THT,TTH,TTT}.
Vì thế, ta có thể viết:S1(ω) =S1(ω1, ω2, ω3) =S1(ω1),
S2(ω) =S2(ω1, ω2, ω3) =S1(ω1, ω2).
Trần Trọng Nguyên
Definition
Ta nói rằng một tậpA⊂Ωlà xác định bởi lần tung đồng xu thứ k nếu chỉ biết kết quả củak lần tung đầu tiên ta có thể quyết định có hay không các kết cục của tất cả các lần tung trong A. Trong trường hợp tổng quát, chúng ta ký hiệu họ của các tập xác định bởi lần tung thứk
bởiFk. Dễ dàng kiểm tra đượcFk là một σ-đại số.
Dễ dàng nhận thấy rằng các biến ngẫu nhiênSk làFk-đo được, với mỗi
k=1,2, ...,n. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Example
Trong Ví dụ trên, họF2 các tập xác định bởi hai lần tung đồng xu đầu tiên bao gồm: