Ta nhắc lại khái niệma-dãy lọc chính quy trên vànhRgiao hoán, Noether được giới thiệu trong [AS].
Định nghĩa 3.1.1. Một dãy x1, . . . , xn các phần tử của a được gọi là a-dãy lọc chính quy của M nếu
Supp(((x1, . . . , xi−1)M :M xi)/(x1, . . . , xi−1)M)) ⊆V(a),
Chú ý 3.1.2. (i) Một dãy các phần tử x1, . . . , xn trong a được gọi là a-lọc chính quy của M nếu với mỗi i = 1, . . . , n ta luôn có xi ∈/ p, với mọi
p ∈ AssM/(x1, . . . , xi−1)M thoả mãn tính chất a * p.
(ii) Nếu(R,m)là vành địa phương với iđêan cực đại duy nhấtmthìm-dãy lọc chính quy chính là khái niệm f-dãy được đưa ra bởi Cường-Schenzel-Trung [CST]. Do đó a-dãy lọc chính quy chính là sự mở rộng của khái niệmf-dãy. (iii) Cho x1, . . . , xn là một dãy các phần tử của a. Khi đó các mệnh đề sau là tương đương:
(a) x1, . . . , xn là a-dãy lọc chính quy của M;
(b) x1/1, . . . , xn/1trong Rp là Mp-dãy nghèo, ∀p ∈ SuppM \V(a);
(c) xa1
1 , . . . , xan
n là a-dãy lọc chính quy của M, với mọi số nguyên dương
a1, . . . , an.
Mệnh đề sau đây cho thấy cứ mỗi số nguyên dương n luôn tồn tại một
a-dãy lọc chính quy của M có độ dài n. Điều đó chứng tỏ rằng độ dài của một a-dãy lọc chính quy có thể là vô hạn.
Mệnh đề 3.1.3. Giả sửx1, . . . , xn là mộta-dãy lọc chính quy củaM. Khi đó luôn tồn tại phần tử y ∈ a sao cho x1, . . . , xn, y là một a-dãy lọc chính quy của M.
Chứng minh. Nếu Ha0(M) = M, thì ta chọn tuỳ ý phần tử y ∈ a. Nếu
Ha0(M) 6= M, thì Ha0(M/Ha0(M)) = 0. Suy ra depth(M/Ha0(M)) > 0.
Do đó tồn tại phần tử y ∈ I là M/Ha0(M)-chính quy. Suy ra x1, . . . , xn, y là một a-dãy lọc chính quy của M.