Mục này dành để giới thiệu một lớp môđun thỏa mãn mọi hệ tham số là dãy chính quy với chiều > s và một số tính chất của lớp môđun này thông qua tính catenary của tập (Supp(M))>s, tính đẳng chiều của các iđêan nguyên tố tối thiểu trong tập(Supp(M))>svà tính chất khi chuyển qua địa phương hóa. Các kết quả này là mở rộng từ các kết quả về lớp môđun Cohen-Macaulay, f-môđun và f-môđun suy rộng đã được nghiên cứu trong [CST], [NM],... Định nghĩa 2.2.1. M được gọi là Cohen-Macaulay với chiều > s nếu mỗi hệ tham số của M là một M-dãy với chiều > s. Vành R là một vành Cohen-Macaulay với chiều > s nếu nó là một môđun Cohen-Macaulay với chiều > s trên chính nó.
Chú ý 2.2.2. (i) Theo Chú ý 2.1.2, mỗi dãy chính quy với chiều > −1,0,1
tương ứng là các dãy chính quy, f-dãy, f-dãy suy rộng nên rõ ràng rằng mỗi môđun Cohen-Macaulay với chiều > −1,0,1 tương ứng là môđun Cohen-Macaulay, f-môđun theo nghĩa của Cường-Shenzel-Trung [CST] và f-môđun suy rộng theo nghĩa của Nhàn-Morales [NM].
(ii) Theo Chú ý 2.1.2, mỗi phần tử chính quy với chiều > s là phần tử chính quy với chiều > s+ 1nên mỗi môđun Cohen-Macaulay với chiều> slà một môđun Cohen-Macaulay với chiều > s+ 1.
(iii) Mỗi môđun với chiều bằng s + 1 là một môđun Cohen-Macaulay với chiều > s, vì nếu phần tử tham số xtránh các iđêan nguyên tố có chiềus+ 1
thì x cũng tránh các iđêan nguyên tố p códimR/p > s.
Nhắc lại rằng vành R được gọi là đẳng chiều nếu dimR/q = dimR, với mọi iđêan nguyên tố tối thiểu q ∈ min(AssR) và môđun M được gọi là đẳng chiều nếu dimR/p = dimM, với mọi iđêan nguyên tố tối thiểu
iđêan nguyên tố p = p0 ⊂ . . . ⊂ pn = q sao cho pi 6= pi+1, với mọi i, được gọi là dãy nguyên tố bão hoà giữa p và q nếu với mọi i, không tồn tại một iđêan nguyên tố nào chen giữa pi và pi+1. Vành R là catenary nếu với mỗi cặp iđêan nguyên tố p,q của R sao cho p ⊂ q, mọi dãy bão hoà các iđêan nguyên tố bắt đầu từ p và kết thúc tại q đều có cùng độ dài. Ta nói rằng SuppM là catenary nếu với mỗi cặp iđêan nguyên tố p,q ∈ SuppM
sao cho p ⊂ q, thì mọi dãy bão hoà các iđêan nguyên tố bắt đầu từ p và kết thúc tại q đều có cùng độ dài. Chú ý rằng nếu vành R là đẳng chiều thì R là catenary nếu và chỉ nếu dimR/p + htp = dimR, với mọi iđêan nguyên tố
p của R, và rõ ràng rằng SuppM là catenary nếu và chỉ nếuR/AnnRM là catenary. Do đó, trong trường hợp M là đẳng chiều thì SuppM là catenary nếu và chỉ nếu dimR/p+ dimMp = dimM, với mọi p ∈ SuppM.
Định lý sau là kết quả chính của chương, cho ta đặc trưng của môđun Cohen-Macaulay với chiều > s thông qua hệ tham số của M, địa phương hóa, tính catenary, tính đẳng chiều tới thành phần nguyên tố có chiều > s
của tập support của M. Kết quả này được chứng minh tương tự như kết quả về f-môđun suy rộng trong [NM].
Định lý 2.2.3. Giả sử dimM = d > s. Các mệnh đề sau là tương đương: (i) M là môđun Cohen-Macaulay với chiều > s.
(ii) Với mỗi phần hệ tham số x1, . . . , xr của M và với mỗi iđêan nguyên tố
p ∈ (Ass(M/(x1, . . . , xr)M))>s, ta có dimR/p = d−r.
(iii) Với mỗi p ∈ (Supp(M))>s, ta có depthMp + dimR/p = d.
(iv) Với mọi p ∈ (Supp(M))>s, ta có dimM = dimMp + dimR/p và
dimMp = depthMp.
(v) dimMp = dimMq + dimRp/qRp với mọi p,q ∈ (Supp(M))>s∪ {m} sao choq ⊆ p,khi đóMp là Cohen-Macaulay với mọi p ∈ (Supp(M))>s và
Chứng minh. (i) ⇒ (ii) Giả sử tồn tại một phần của hệ tham số x1, . . . , xr
của M vàp ∈ Ass(M/(x1, . . . , xr)M) vớidimR/p > s, giả sử phản chứng rằng dimR/p < d−r,khi đó ta có thể chọn xr+1 ∈ p sao cho x1, . . . , xr+1 cũng là một phần của hệ tham số của M. Vì M là môđun Cohen-Macaulay với chiều > s nên x1, . . . , xr+1 là M-dãy với chiều > s. Do đó theo định nghĩaxr+1 ∈/ p sao chop ∈ Ass(M/(x1, . . . , xr)M)vì thế điều giả sử là sai. Suy ra điều phải chứng minh.
(ii)⇒ (i) Bằng quy nạp, ta chỉ cần chứng minh cho một phần tử. Giả sửx
là một phần tử tham số củaM và giả sử M không là môđun Cohen-Macaulay với chiều > s. Khi đó tồn tại p ∈ Ass(M/xM) sao cho dimR/p > s và
x ∈ p. Theo Mệnh đề 1.2.2, (i) suy ra dimR/p > d−1, trái với giả thiết của (ii). Suy ra M là môđun Cohen-Macaulay với chiều > s.
(ii) ⇒ (iii) Cho p ∈ (Supp(M))>s và đặt dimR/p = t. Khi đó
dimM/pM = t. Vì thế tồn tại một phần hệ tham số x1, . . . , xd−t của M
chứa trong p. Theo (i) ⇔ (ii), M là môđun Cohen-Macaulay với chiều > s, nghĩa là x1, . . . , xd−t là một M-dãy với chiều > s. Theo Bổ đề 2.1.3 ta có
x1/1, . . . , xd−t/1là một Mp-dãy và do đó depthMp > d−t. Từ đó suy ra
depthMp + dim(R/p) = d.
(iii)⇒(ii) Giả sử (ii) sai. Vì vậy tồn tại một phần hệ tham sốx1, . . . , xrcủa
M vàp ∈ Ass(M/(x1, . . . , xr)M)ta có s < dimR/p < d−r.Khi đó, theo (iii) ta có r < depthMp. Mặt khác, ta có pRp ∈ Ass(Mp/(x1, . . . , xr)Mp)
và như vậy r > depthMp, điều này dẫn đến mâu thuẫn.
(iii) ⇒(iv) Theo giả thiếtp ∈ SuppM sao cho dimR/p > s. Khi đóMp
là Cohen-Macaulay.Vì vậy theo (iii) suy ra điều phải chứng minh. (iv) ⇒ (iii) Hiển nhiên.
(iii) ⇒ (v) Cho p ∈ SuppM sao cho dimR/p > s. Theo (iii) Mp là Cohen-Macaulay.Giả sử rằngp ∈ Min(Supp(M))>s,khi đódepthMp = 0.
Ta có thể giả sử rằng p 6= q. Giả sử p 6= m. Vì Mp là Cohen-Macaulay nên ta có SuppMp là catenary [Mat, Định lý 14.1]. Vì thế,
htM(p) = dimMp = dim(Rp/qRp) + htMp(qRp)
= dim(Rp/qRp) + htM(q) = dim(Rp/qRp) + dimMq.
Cho p = m. Lấy p ∈ (Min(Supp(M)))>s sao cho q0 ⊆ q. Vì Mq là Cohen-Macaulay và q0Rq ∈ AssMq nên ta có
htM(q) + ht(m/q) = htM(q0) + htM(q/q0) + dimR/q
= dim(Rq/q0Rp) + dimR/q
= dimMq + dimR/q = d = htM(m) = dimM.
(v) ⇒ (iii) Vì Mp là môđun Cohen-Macaulay nên depthMp = dimMp.
Khi đó, với mọi p ∈ (Supp(M))>s thì dimMp = d−dimR/p nên suy ra
depthMp = d−dimR/p.
Kết quả sau cho thấy rằng tính Cohen-Macaulay của vành địa phương hóa tại các iđêan nguyên tố với chiều> s được bảo toàn qua các đồng cấu phẳng. Nhắc lại rằng đồng cấu vành f : R −→ S được gọi là đồng cấu phẳng nếu
S xét như R-môđun xác định bởi f là R-môđun phẳng, tức là với mỗi dãy khớp 0→ N0 →N → N00 →0 các R-môđun, dãy cảm sinh
0 →N0 ⊗R S →N ⊗R S → N00⊗R S → 0
là khớp.
Nếu vành A là một vành con của vành B thì ta nói B là vành mở rộng của
A. Trong trường hợp này, một phần tử b ∈ B được gọi là nguyên trên A nếu
blà nghiệm của đa thức với hệ số trong A. Nếu mỗi phần tử của B là nguyên trên A thì ta nói B là nguyên trên A, hoặc B là mở rộng nguyên của A. Mệnh đề 2.2.4. Chof : (R,m) −→ (S,n) là đồng cấu phẳng giữa các vành địa phương. Khi đó ta có:
(i) Nếu Sq là Cohen-Macaulay với mỗi q ∈ (Spec(S))>s, thì Rp là Cohen-Macaulay với mỗi p ∈ (Spec(R))>s;
(ii) Nếu cộng thêm giả thiết S là một mở rộng nguyên của R, và với mỗi
p ∈ (Spec(R))>s vành Rp và tất cả các vành thớ (Rp/pRp) ⊗R S là Cohen-Macaulay, thì Sq là Cohen-Macaulay với mỗi q ∈ (Spec(S))>s.
Chứng minh. (i) Cho p ∈ Spec(R) với dim(R/p) > s. Vì S là một R- môđun hoàn toàn phẳng, nên tồn tại q ∈ Spec(S) sao cho p = q ∩ R và
dim(S/q) > s. Xét đồng cấu phẳng Rp −→ Sq, với r/u 7−→ f(r)/f(u).
Theo [BH, Mệnh đề 1.2.16], ta có
depthSqSq = depthRpRp + depthSq(Sq/(pRp)Sq)
và
dimSq Sq = dimRp Rp + dimSq(Sq/(pRp)Sq).
Vì depthSq(Sq/(pRp)Sq) 6 dimSq(Sq/(pRp)Sq) theo Mệnh đề 1.5.4 (i) và theo giả thiết Sq là Cohen-Macaulay với mỗi q ∈ (Spec(S))>s, nên từ các đẳng thức trên ta códepthRpRp = dimRpRp, suy ra Rp là Cohen-Macaulay với mỗi p ∈ (Spec(R))>s.
(ii) Cho q ∈ (Spec(S))>s và p = q ∩ R. Ta có Sq/(pRp)Sq là địa phương hóa của (Rp/pRp) ⊗R S, mà theo giả thiết tất cả các thớ hình thức (Rp/pRp) ⊗R S là Cohen-Macaulay nên Sq/(pRp)Sq cũng là Cohen-Macaulay hay depthSq(Sq/(pRp)Sq) = dimSq(Sq/(pRp)Sq). Hơn nữa, vì đồng cấu cảm sinh R/p −→ S/q là mở rộng nguyên nên từ
dimR/p > s ta có dimS/q > s. Do đó, từ giả thiết Rp là Cohen-Macaulay và kết hợp với các đẳng thức ở trên ta có depthSqSq = dimSqSq, hay Sq là Cohen-Macaulay với mỗi q ∈ (Spec(S))>s.
Chú ý 2.2.5. Chú ý rằng nếuRlà vành thương của vành Cohen-Macaulay thì khi đó Spec(R) và do đó(Supp(M))>s là catenary. Vì vậy từ Định lý 2.2.3,
(i)⇔ (v), ta có M là Cohen-Macaulay với chiều > s nếu và chỉ nếu Mp là Cohen-Macaulay với mọi p ∈ (Supp(M))>s và dimR/p = dimM với mọi
p ∈ (min(Supp(M)))>s.
Theo Chú ý 2.2.5 ở trên, tính Cohen-Macaulay với chiều> scó thể chuyển qua đầy đủ như sau.
Mệnh đề 2.2.6. Nếu Mc là Cohen-Macaulay với chiều > s thì M cũng là Cohen-Macaulay với chiều > s. Hơn nữa, nếu R là một vành thương của vành Cohen-Macaulay thì điều ngược lại cũng đúng.
Chứng minh. Để chứng minh M là Cohen-Macaulay với chiều > s, ta lấy
x1, . . . , xd là một hệ tham số của M. Cho xˆi là ảnh của xi trong Rb. Khi đó theo Mệnh đề 1.2.2, (iv) ta có dãy xˆ1, . . . ,xˆd là một hệ tham số của M .c Vì theo giả thiết Mclà Cohen-Macaulay với chiều > s nên xˆ1, . . . ,xˆd làMc-dãy với chiều > s. Do đó theo Bổ đề 2.1.3 ta có
dim(((x1, . . . , xi−1)M :M xi)/(x1, . . . , xi−1)M) = dim(((ˆx1, . . . ,xˆi−1)Mc:
c
M xˆi)/(ˆx1, . . . ,xˆi−1)Mc) 6 s,
với mọi i = 1, . . . , d. Vì thế theo Bổ đề 2.1.3, (i) ⇔ (ii) ta có x1, . . . , xd là
M-dãy với chiều> s. Vì vậy M là Cohen-Macaulay với chiều > s.
Ngược lại, R là vành thương của vành Cohen-Macaulay, chứng minh rằng nếu M là Cohen-Macaulay với chiều > s thì Mc cũng là Cohen-Macaulay với chiều > s. Thật vậy, từ Chú ý 2.2.5 ta thấy, với mỗi q ∈ (Supp(Mc))>s,
ta có Mcq là Cohen-Macaulay và với mỗi q ∈ (Min(Supp(Mc)))>s, ta có
dimR/b q = dimM .c Vì thế, lấy q ∈ (Supp(Mc))>s và p = q∩ R. Vì R là vành thương của vành Cohen-Macaulay nên ta có dimR/p > s và tất cả các vành thớ Rbq/pRbq = (Rp/pRp) ⊗Rp Rbq của đồng cấu chính tắc Rp −→ Rbq
là vành Cohen-Macaulay. Theo Bruns-Herzog [BH, Mệnh đề 1.2.16] ta có
và
depthMcq = depthMp + depthRbq/pRbq.
Vì M là Cohen-Macaulay với chiều > s nên suy ra Mp cũng là Cohen-Macaulay theo Định lý 2.2.3, (i) ⇔ (v). Vì thế, từ hai đẳng thức trên ta có dimMcq = depthMcq, hay Mcq là Cohen-Macaulay. Hơn nữa, lấy
q ∈ (Min(Supp(Mc)))>s, khi đó theo Mệnh đề 1.1.2, ta có q ∈ Ass
b
R(Mc)và
dimR/b q > s. Lại theo Mệnh đề 1.1.2 ta có
Ass b R(Mc) = [ p∈AssR(M) (Ass b RR/b (pRb)).
Vì thế tồn tại p ∈ (Ass(M))>s sao cho q ∩ R = p. Do đó, vì R là vành thương của vành Cohen-Macaulay và từ giả thiết M là Cohen-Macaulay với chiều > s, theo Chú ý 2.2.5 ta có
dimR/b q = dimR/p = dimM.
Chương 3
Một số kết quả trên môđun đối đồng điều địa phương
Trong chương này ta vẫn kí hiệu (R,m) là vành giao hoán Noether, địa phương với iđêan cực đại m, a là một iđêan của R và M là R-môđun hữu hạn sinh với chiều Krull dimM = d. Chương này nghiên cứu một loại dãy là mở rộng của f-dãy được giới thiệu bởi Cường-Schenzel-Trung [CST]. Kết quả chính của chương là trình bày lại chứng minh về tính hữu hạn của tập iđêan nguyên tố liên kết của một số môđun đối đồng điều địa phương của một môđun Cohen-Macaulay với chiều > s.