23 Chapter 5 Image Restoration
5.4.1Ước lượng bằng cách quan sát hình ảnh
Giả sử chúng ta đang có 1 bức ảnh đã bị suy giảm mà không có bất kì thông tin nào về hàm suy giảm H. Một cách để ước lượng hàm này là thu thập thông tin từ chính hình ảnh. Ví dụ, nếu hình ảnh bị mờ, ta có thể nhìn vào một phần nhỏ của hình ảnh có cấu trúc đơn giản, như là một phần của một đối tượng và nền. Để giảm ảnh hưởng của nhiễu trong quan sát
Ước lượng bằng cách mô hình hóa.
Mô hình hóa suy giảm đã được sử dụng trong nhiều năm vì sự hiệu quả của nó các vấn đề phục hồi hình ảnh. Trong một số trường hợp, mô hình thậm chí có thể đưa vào điều kiện môi trường gây ra sự giảm sút. Ví dụ. một mô hình suy giảm bởi Hufnagel và Stanley đề xuất [1964] dựa trên đặc tính vật lý của sự nhiễu loạn khí quyển. Mô hình này có một dạng quen thuộc:
Tr ong đó A: là một hằng số phụ thuộc vào bản chất của sự bất ổn. Ngoài việc có số mũ 5/6 , phương trình này có dạng tương tự như các bộ lọc lowpass Gaussian được thảo luận trong phần 4.3.3. Trong thực tế, Gauss ian LPF được sử dụng đôi khi để mô hình nhẹ, làm mờ đồng nhất. Hình 5.25 là ví dụ thu được bằng cách mô phỏng mờ một hình ảnh sử dụng phương trình (5,6- 3) với giá trị k = 0.0025 , k= 0.001, k=0.00025.
Chương 5 : Khôi phục ảnh
Một cách tiếp cận chính trong mô hình là để lấy được một mô hình toán học bắt đầu từ nguyên tắc cơ bản. Chúng tôi minh họa quá trình này bằng cách xử lý cụ thể một số trường hợp trong đó một hình ảnh đã được làm mờ bằng cách chuyển động thẳng đều giữa hình ảnh và cảm biến trong quá trình thu hình ảnh. Giả sử rằng một ảnh f(x.y) trải qua chuyển động phẳng và x0 (t) và y0(t) là thời gian các thành phần chuyển động khác nhau trong x và y Tổng số điểm phơi sáng tức là các tiếp xúc tức thời trong khoảng thời gian hệ thống chụp ảnh mở.
Giả định rằng việc đóng và mở màn sập diễn ra ngay lập tức, và rằng quá trình hình ảnh quang học là hoàn hảo,ằngn cách các hiệu ứng chuyển động hình ảnh.Nếu T là thời gian tiếp xúc:
ở đây g (x, y ) là bức ảnh được phơi sáng.
Từ ( 4.2 -3 ) biến đổi fourier của hàm (5.6 -4 ) sẽ là :
Hàm (5.6 -5 ) có thể viết thành :
Sử dụng biến đổi fourier hàm này và sử dụng hàm (4.6 -3 ) ta sẽ có :
ở bước cuối cùng ta thấy rằng F(u, v) không phụ thuộc t, ta có :
Hàm (4.5 -7 ) sẽ được viết lại thành :
Nếu các biến thay đổi x0(t) và y0(t) được biết, hàm chuyển đổi H (u, v) có thể được lấy trực tiếp từ biểu thức. (5,6-8). Để minh họa, giả sử rằng các hình ảnh trong câu hỏi phải trải qua chuyển động tuyến tính thống nhất chỉ trong phương x, ở một tỷ lệ nhất định bởi x0(t)=at/T .Khi t=T bức ảnh sẽ được di chuyển bởi 1tổng khoảng cách a.Với y0(t) = 0.Hàm (5.6-8) trở thành:
Chương 5 : Khôi phục ảnh
Chú ý rằng H sẽ nhỏ dần tại giá trị u cho bởi u =n/a , n là số nguyên.Nếu ta cho phép thành phần y biến đổi với y0=bt/T, hàm suy giảm sẽ biến thành :
EXAMPLE 5.10:
Image blurring due to motion
Các đặc tính mờ của phương trình (5,6-11) được minh họa tiếp theo. Hình 5.26 (b) là một hình ảnh mờ bằng cách tính toán biến đổi Fourier của hình ảnh trong hình 5,26 (a), nhân biến đổi H (u, v) từ biểu thức (5,6-11), và dùng biến đổi ngược. Các hình ảnh có kích thước 688 x 688 điểm ảnh, và các thông số được sử dụng trong phương trình (5,6-11) là a = b = 0,1 và T = 1.As thảo luận tại mục 5.8 và 5.9, tái tạo hình ảnh ban đầu từ hình ảnh mờ là 1 việc làm không đơn giản, đặc biệt là có nhiễu.
Chương 5 : Khôi phục ảnh
Lọc nghịch đảo
Trong phần này là bước đầu tiên để phục hồi hình ảnh bởi một hàm suy biến H, được đưa ra hoặc thu được bằng phương pháp như thảo luận trong phương pháp trước. Cách đơn giản để phục hồi là lọc ngược trực tiếp, tính toán một ước lượng
Thay thế phía bên phải của phương trình (5,5-17) cho G (u, v) trong phương trình (5,7-1):
Đây là một biểu hiện thú vị. Nó cho chúng ta biết rằng ngay cả khi chúng ta biết được hàm suy giảm, chúng ta vẫn không thể phục hồi hình ảnh [nghịch đảo biến đổi Fourier của F (w, v)] chính xác bởi vì N (u, v) là một hàm ngẫu nhiên .
Một phương pháp để lấy gần về giá trị zero hoặc giá trị nhỏ là để giới hạn bộ lọc tần số đến giá trị gần với giá trị ban đầu. Từ công thức (4.2-22) ta thấy rằng H(0,0) bằng với giá trị trung bình của h(x, y) và đó là giá trị cao nhất của H(u, v) trong miền tần số. Vì vậy bằng cách phân tích giới hạn để tần số gần với giá trị ban đầu, chúng ta giảm khả năng gặp phải giá trị 0. Phương pháp này được minh họa dưới ví dụ sau:
Những hình ảnh thể hiện trong hình. 5.25 (b) là bộ lọc ngược với phương trình (5,7-1) sử dụng đảo ngược chính xác của hàm suy giảm tạo ra hình ảnh đó. Vì vậy hàm suy giảm sẽ là :
với k = 0.0025. M / 2 và N / 2 là hằng số bù đắp giá trị, trung tâm của hàm sẽ phù hợp tâm biến đổi Fourier, như được thảo luận nhiều lần trong các chương trước. Trong trường hợp này, M = N = 480. Chúng ta biết rằng
một hàm Gauss dạng hàm sx không có điểm zero, do đó sẽ khôgn cần quan tâm. Tuy nhiên, bất chấp điều này,sự suy giảm đã trở nê quá nhỏ để lấy kết quả quá trinh inverse filtering.
Hình 5.27 (b) đến (d) cho thấy kết quả của cắt giảm giá trị của tỷ lệ G (u, v) / H (u, v) bên ngoài bán kính 40,70, và 85 tương ứng. Cắt bỏ được thực hiện bằng cách áp dụng tỷ lệ là một hàm LowPass Butterworth trật tự 10. Phương thức cung cấp một quá trình chuyển đổi mạnh (nhưng mịn) tại bán kính mong muốn. Bán kính gần 70 mang lại kết quả tốt nhất hình ảnh [hình. 5.27 (c)]. Giá trị bán kính dưới đây
Chương 5 : Khôi phục ảnh
có xu hướng hướng hình ảnh mờ, như minh họa trong hình. 5.27 (b), sử dụng trong bán kính 40. Giá trị trên 70 bắt đầu sản xuất hình ảnh xuống cấp, như minh họa trong hình 5,27 (d), trong đó bán kính 85.Hình ảnh gần như có thể nhìn thấy phía sau "bức màn" của nhiễu, nhưng nhiễu chắc chắn chi phối kết quả. Tăng thêm giá trị bán kính càng thấy ảnh mờ giống hình a. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Kết quả trong ví dụ trên là minh họa của sự kém của bộ lọc ngược trực tiếp nói chung. Các chủ đề cơ bản của các phần tiếp theo là làm thế nào để cải thiện lọc ngược trực tiếp.
Lọc bình phương tối thiểu.
Phương pháp lọc ngược thảo luận trong phần trước không có sự ràng buộc cho việc xử lý nhiễu. Trong phần này chúng ta thảo luận một cách tiếp cận kết hợp cả hàm suy biến và đặc tính thống kê của nhiễu vào trong tiến trình xử lý.Phương thức này được thành lập dựa trên hình ảnh và nhiễu như là các quá trình ngẫu nhiên, và mục tiêu là tìm thấy một ước tính f của ảnh không bị phá hỏng bằng bình phương tối thiểu của chúng.Việc đo lỗi được cho bởi :
ở đây E{.} là giá trị kỳ vọng của các đối số. Nó được giả định rằng nhiễu và hình ảnh không tương quan, mà một trong hai có điểm cực 0 , và mức độ màu diểmđược ước lượng là một hàm tuyến tính theo cấp độ tong bức ảnh suy giảm. Dựa trên những điều kiện này, hàm tối thiểu hóa lỗi (5,8-1) trong miền tần số sẽ là :
Trang 57
-^'vi =■ ■■ 57 Chapter 5 Image Restoration
Ở đây chúng ta sử dụng 1 hàm phức tạp với liên hợp của nó bằng với biên độ của hàm bình phương, được gọi là bộ lọc Wiener, sau khi N Wiener [1942], người đầu tiên đề xuất khái niệm. Bộ lọc, trong đó bao gồm các điều khoản bên trong dấu ngoặc, cũng thường được gọi là bộ lọc bình phương tối thiểu hoặc là bộ lọc bình phương ít nhất.
Các thành phần trong hàm ( 5.8-2) được cho bởi :
As before, H(a, v) is the transform of the degradation function and G(u. v) is the transform of the degraded image. The restored image in the spatial domain is given bv the inverse Fourier transform of the frequency-domain estimate F(í/, v). Note that if the noise is zero, then the noise power spectrum vanishes and the Wiener filter reduces to the inverse filter.
Như trước,H(u,v)làbiến đổi của hàm suy biến vàG(u, v)làbiến đổicủa hình ảnh suy biến. Hình ảnhphục hồitrong miềntần số của biến đổi fourier ngược nhờ biến đổi của hàm ước lượng . Lưu ý rằng nếunhiễu= 0 , phổ công suất nhiễu sẽ triệt tiêu và lọc wiener sẽ giảm về lọc nghịch đảo.
When we are dealing with spectrally while noise, the spectrum \N(u, v)f is a constant, which simplifies things considerably. However, the power spectrum of the undegraded image seldom is known. An approach used frequently when these quantities are not known or cannot be estimated is to approximate Eq. (5.8-2) by the expression
Khi chúng taxử lý phổ nhiễu trắng, quang phổ|N(u,v)|2 là một hằng số, nó sẽ đơn giản hơn 1 cách đáng kể .Tuy nhiên, công suất phổ của bức ảnh nguyên bản ít khi được biết đến. Vậy
-^'vi =■ ■■ 58 Chapter 5 Image Restoration
Chương 5 : Khôi phục ảnh
có thể sử dụng biểu thức sau khi không thể ước lượng được xấp xỉ phương trình (5.8.2) bởi biểu thức:
Trang 59
-^'vi =■ ■■ 59 Chapter 5 Image Restoration
Hình 5.28 minh họa công suất bộ lọc wiener trên bộ lọc nghịch đảo trực tiếp.Hình 5.28(a) là kết quả lọc nghịch đảo đầy đủ của hình 5.27(a).Tương tự, hình 5,28(b) là kết quả hạn chế của lọc nghịch đảo xuyên tâm của hình 5.27(c).Những hình ảnh này được nhân đôi tiện cho việc so sánh.Hình 5.28(c) là kết quả thu đươc khi sử dụng hàm (5.8-3) với hàm suy biến sử dụng trong ví dụ 5.11.Giá trị của K đã lựa chọn tương tác mang kết quả hình ảnh tốt nhất.Bằng cách so sánh Hình. 5.25 (a) và 5,28 (c) chúng ta thấy rằng các bộ lọc Wiener mang lại một kết quả rất gần trong xuất hiện với hình ảnh ban đầu.
Hàng đầu tiên của hình 5.29 cho thấy, từ trái sang phải, hình ảnh mờ của hình 5,26 (b) sẽ nặng hơn bằng cách cộng thêm nhiễu Gaussian điểu cực 0, biến 650 ; kết quả của lọc nghịch đảo trực tiếp và kết quả của lọc Wiener. Bộ lọc Wiener của phương trình. (5,8-3) đã được sử dụng, với H(u, v) từ Ví dụ 5.10. K được lựa chọn tương tác để cung cấp cho các kết quả hình ảnh tốt nhất có thể. Bộ lọc nghịch đảo sẽ cho ra 1 hình ảnh không sử dụng được.
Hàng thứ 2 của hình 5.29 chỉ ra rằng nó cùng 1 thứ tự, tuy nhiên biến nhiễu giảm biên độ.Sự giảm này đã có 1 số tác động trong bộ lọc nghịch đảo.
Hình 5.28: So sánh giữ bộ lọc đảo ngược và bộ lọc Wiener. a/ Kết quả của việc áp dụng bộ lọc đảo ngược hoàn toàn của hình 5.25b. b/Kết quả của việc áp dụng bộ lọc đảo ngược có giới hạn làm tròn. c/ Kết quả của bộ lọc Wienwer.
Hình 5.28 minh họa năng lực vượt trội của việc lọc Wiener so với việc lọc đảo ngược trực tiếp. Những bức ảnh này được nhân đôi để thuận tiện hco việc so sánh. Hình 5.28c là kết quả nhận được khi sử dụng công thức 5.8-3 với chức năng suy biến được sử dụng ở ví dụ 5.11. Giá trị của K được chọn có tính tương tác sao cho nhận được kết quả mô phỏng tốt nhất. Năng lực vượt trội của việc lọc Wiener so với lọc đảo ngược trực tiếp được chứng minh trong ví dụ này. Thông qua việc so sánh hình 5.25a và 5.28c, chúng ta có thể thấy rằng bộ lọc Wiener cho ra kết quả rất gần với hình ảnh gốc.
-^'vi =■ ■■ 60 Chapter 5 Image Restoration
Chương 5 : Khôi phục ảnh
Hàng đầu tiên của hình 5.29, từ trái sang phải, là hình bị làm mở của ảnh 5.26b, bị nhiễu nặng bởi nhiễu cộng Gaussian với trọng số là 0 và biến là 650; tiếp theo là ảnh kết quả của việc lọc đảo ngược trực tiếp; kết quả của lọc Wiener. Bô lọc Wiener của phương trình 5.8-3 đã được sử dụng với H(u,v) từ ví dụ 5.10 và với K được chọn sao cho nó cho ra kết quả mô phỏng tốt nhất. Như đã được dự đoán, bộ lọc đảo ngược đã cho ra 1 bức hình không giống bình thường. Cần chú ý rằng nhiễu trong bức ảnh dùng bộ lọc đảo ngược là rất mạnh và cấu trúc của nó trực tiếp hướng đến bộ lọc deblurring. Kết quả này của bộ lọc Wiener không hàm ý rằng nó là hoàn hảo, ngược lại nó đem đến cho chúng ta lời gợi ý để giải quyết các vấn đề về xử lý ảnh. Tuy nhiên, đối với các đoạn chữ thì còn gặp một số khó khăn.
Hàng thứ 2 của hình 5.29 với cùng thứ tự như hàng đầu nhưng ở cấp độ khác của biến nhiễu, giảm biên độ nhiễu. Sự giảm nhiễu này ảnh hưởng nhỏ đến bộ lọc đảo ngược, nhưng đối với bộ lọc Wiener, nó có tác động rõ rệt. Các dòng chữ bây giờ dễ đọc hơn. Trong hàng thứ 3 của hình 5.29, nhiễu được giảm 5 lấn so với hàng đầu tiên về biên độ. Trên thực tế, hình 5.29g đã không còn nhìn thấy
Trang 61
-^'vi =■ ■■ 61 Chapter 5 Image Restoration
nhiễu. Đây là trường hợp thú vị của bộ lọc đảo ngược, nhiễu vẫn thấy được nhưng đoạn chữ đã có thể được hiển thị bằng chính các đường nhiễu đó.Đây là ví dụ rõ ràng nhất về lời giải thích lien quan đến phương trình 5.702. Nói cách khác, như là một
bằng chứng, hình 5.29h đã không còn bị mờ. Mặc dù vậy, nhiễu vẫn hiện diện. Nếu chúng ta có thể nhìn vào đằng sau nhiễu ở hình 5.29 b và e, các đặc tính cũng cho thấy một số nét mờ. Kết quả của bô lọc Wiener ở hình 5.29i là tốt nhất. Những kết quả khác nhau này đại diện cho những khả năng có thể thực hiện được với bộ lọc Wiener. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Bộ Lọc khối vuông nén ít nhất.
Phải hiểu được chức năng của H là vấn đề thường gặp của tất cả các phương pháp được thảo luận trong chương này. Mặc dù vậy, bộ lọc Wiener
-^'vi =■ ■■ 62 Chapter 5 Image Restoration
Chương 5 : Khôi phục ảnh
filter cũng đem đến các khó khăn như: cần phải biết phổ công suất của ảnh và nhiễu. Chúng ta đã chỉ ra ở các phần trước rằng có thể nhận được một kết quả rất khả quan với việc sử dụng sự làm tròn trong phương trình 5.8-3. Mặc dù vậy, việc ước định không đổi về tỉ lệ của phổ năng lượng không hẳn luôn là đáp án phù hợp nhất.
Các thức được thảo luận dưới đây chỉ yêu cầu về trọng số và biến của nhiễu. Như đã nói ở phần 5.2.4, những thông số này thường được tính toán từ các bức ảnh đã cho, đây là yếu tố quan trọng. Một điểm khác biệt khác là bộ lọc Wiener dựa trên việc giảm thiểu một tiêu chuẩn thống kê, và do đó làm tối ưu mức trung bình. Thuật toán được trình bày trong phần này có những đặc tính đáng chú ý, đạt được kết quả tối ưu cho mỗi bức ảnh nó áp dụng.
Bằng cách sử dụng định nghĩa về hàm chập trong công thức 4.2-30, chúng ta có thể diễn ta phương trình 5.5-16 dưới dạng ma trận như sau:
Ví dụ, giả sử g(x,y) có kích thước MxN. Chúng ta có thể tạo nên các yếu tố N đầu tiên của vecto g bằng cách sử dụng các yếu tố trong bức ảnh tại hàng đầu tiên của g(x,y), các yếu tố N tiếp theo từ hàng thứ hai, và tiếp tục như thế. Vecto kết quả sẽ có chiều MN x 1. Đây cũng là chiều của f và n, khi những vecto này được hình thành với cách thức như trên. Ma trận H sau đó có chiều MN x MN. Các yếu tố của chúng được rút ra từ các yếu tố của hàm chập trong công thức 4.2-30
Khá hợp lý khi cho là có thể đi đến kết luận rằng vấn đề khôi phục có thể được giảm nhẹ bằng việc nhân ma trận đơn giả. Tuy nhiên không đơn giản như vậy, đối với trường hợp này, giả sử chúng ta đang thao tác với ảnh có kích thước trung bình M =N=512. Khi đó, vecto ở phương trình 5.9-1 sẽ có số chiều