Cách giải:
Xác định giá trị trọng số = (a1+a2+a3+…+an) =
= (30+50+55+35+15+10+70) = 132,5 (tấn) Sau đấy so sánh các giá trị ai tại các đỉnh với trọng số , như vậy tại các đỉnh treo A, F, G, E không có đỉnh nào có khối lượng yêu cầu lớn hơn trọng số trên, nên ta tiếp tục dồn vào các đỉnh kề và thu gọn đồ thì lại như sau:
B (135)
C (105)
D (25)
5
Ta nhận thấy tại 2 đỉnh treo B và D thì đỉnh B có trọng số aB = 135 > 132,5 tấn, nên ta có trọng tâm của đồ thị là B và xí nghiệp phụ P được xây dựng ở B để cung cấp vật liệu và vận chuyển đi các địa điểm trên.
2.4.2 Giải bài toán với sơ đồ vận chuyển dạng vòng
Giả sử có m điểm cung cấp vật liệu cho n nơi nhận vật liệu
C(a3) E(a5) F(a6) A(a1) B(a2) G(a7) D(a4) cAE cCE cBE cEG cBF cFG cBG cCF cFD Hình 2.6 Sơ đồ vận chuyển dạng vòng
Trên hình 2.6 các giá trị ai ở các đỉnh thể hiện khả năng cung cấp hoặc thu nhận vật liệu của các trạm, các giá trị cij trên các cạnh thể hiện chi phí vận chuyển từ điểm i đến điểm j.
Bước 1: Dồn trọng số từ các đỉnh treo
Trước hết ta tính trọng số = (a1+a2+a3+…+an), sau đó so sánh các giá trị tại các đỉnh với trọng số nếu có giá trị nào thì đó là vị trí đặt xí nghiệp phụ, còn nếu không có thì ta tiến hành dồn trọng số tại các đỉnh treo vào đỉnh kề nó và thu gọn đồ thì lại.
Dựa theo kết quả toán học đã chứng minh được: trên mỗi chu trình, trong một đồ thị có ít nhất một cạnh có thể xóa bỏ mà không làm thay đổi trọng tâm của đồ thị, mỗi cạnh như vậy gọi là cạnh thừa (cạnh không sử dụng), các cạnh còn lại gọi là cạnh sử dụng.
Theo kinh nghiệm thì khi tính toán ta sẽ chọn cạnh có chi phí vận chuyển lớn nhất làm cạnh thừa, từ cijmax.
Bước 3: Lập ma trận phí tổn vận chuyển (hoặc ma trận khoảng cách)
Sau khi đã chuyển về một đồ thị đơn giản nhất, thì ta xác định trọng tâm của đồ thị. Người ta đã chứng minh được rằng một trọng tâm của đồ thị bao giờ cũng có thể trùng với một đỉnh nào đó có tổng moment là nhỏ nhất, tức là
mAi = tiến tới min.
Với Lij là cự ly vận chuyển từ điểm i đến điểm j
aij là khối lượng vật liệu vận chuyển trên tuyến đường từ điểm i đến điểm j cij là cước vận chuyển của tuyến đường từ điểm i đến điểm j
Sau đó xét trên cột , ta tìm được giá trị nhỏ nhất và đó chính là vị trí ta cần tìm để xây dựng xí nghiệp phụ cung cấp vật liệu cho các hạng mục công trình mà chi phí vận chuyển nhỏ nhất.
Ví dụ: trên một công trường cần xây dựng một nhà máy bê tong lấy vật liệu từ 3 địa điểm A, B, C và cung cấp bê tông đã trộn cho 4 địa điểm E, G, H, I.
C(100) E(400) H(400) A(200) B(500) G(300) I(100) 2 4 8 1 2 2 4 3 5
Hình 2.7 Ví dụ bài toán vận chuyển dạng vòng
Trên hình 2.7: khối lượng về khả năng cung cấp vật liệu tại các đỉnh A, B, C; yêu cầu cần bê tong của các địa điểm thể hiện ở các đỉnh và đơn giá vận chuyển thể hiện trên các cạnh.
Cách giải:
Xác định giá trị trọng số = (200+500+100+400+300+400+100) = 1000
Bước 1: dồn trọng số từ các đỉnh treo, tức là dồn trọng số từ 2 đỉnh A, I vào
đỉnh kề nó vì
aA = 200 < 1000; aI = 100 < 1000; như vậy ta được sơ đồ sau
C(100) E(600) H(500) B(500) G(300) 4 8 1 2 2 4 5
Bước 2: xóa bỏ cạnh thừa
Ở đồ thị này, ta chọn cạnh EG vì đơn giá vận chuyển đắt nên có thể xóa bỏ nó đi. Như vậy ta có sơ đồ sau
C(100) E(600) H(500) B(500) G(300) 4 1 2 2 4 5 Bước 3: Lập ma trận phí tổn vận chuyển Bảng 2-1 Bảng phí tổn vận chuyển
Vị trí E B G H C E 0 2000 1800 3000 400 10800 B 2400 0 600 500 600 4100 G 3600 1000 0 1000 700 6300 H 3000 500 600 0 500 4600 C 2400 3000 2100 2500 0 10000
Xét kết quả ở bảng 2-1, ta thấy rõ ràng điểm B thỏa mãn min. Vì vậy vị trí nhà máy sẽ đặt ở B là lợi nhất.
Nhận xét
Công trình thủy lợi được xây dựng ở địa hình phức tạp, nhiều hạng mục công trình, diện tích xây dựng rộng lớn nên việc qui hoạch đường vận chuyển rất quan trọng. Việc qui hoạch đường vận chuyển dựa trên điều kiện địa hình, điều kiện thủy văn công trường. Bài toán này được xây dựng làm cơ sở qui hoạch đường vận chuyển, được ứng dụng để xây dựng mặt bằng công trường trong công trình thủy lợi. Xác định vị trí xí nghiệp phụ sẽ tìm được phương án tối ưu vận chuyển vật liệu đến các hạng mục công trình có giá thành nhỏ nhất.
Việc xây dựng hàm mục tiêu dựa trên các yếu tố cự ly vận chuyển (Lij), cước phí vận chuyển (cij), khối lượng vận chuyển (aij). Trong đó khối lượng vận chuyển đến các hạng mục công trình theo yêu cầu là không thay đổi, để xác định phương án tối ưu nhất ta phải dựa vào cự ly vận chuyển và cước phí vận chuyển.
2.5 Bài toán tối ưu hệ thống vận chuyển
Công trình thủy lợi thường được xây dựng ở những địa điểm có địa hình phức tạp, diện tích rộng lớn, nhiều hạng mục công trình có qui mô lớn nhỏ khác nhau. Và nhu cầu về vật liệu cũng khác nhau, được cung cấp từ các kho, cái bãi vật liệu hay từ các xí nghiệp phụ một cách liên tục, thường xuyên. Việc cung cấp vật liệu cân đối và kịp thời sẽ đẩy nhanh tiến độ cũng như chất lượng công trình, và đặc biệt là ảnh hưởng lớn tới giá thành công trình.
Hiện nay việc quan tâm tới qui hoạch hệ thống vận chuyển chưa được quan tâm, vẫn trong tình trạng thiếu khoa học, dẫn đến sự chồng chéo, bất hợp lý trong vận chuyển. Để lựa chọn phương án vận chuyển cần phải nghiên cứu các tài liệu:
- Bản kế hoạch thiết kế vùng xây dựng, có ghi các tuyến đường chính nối với công trường, các bến tàu, bến cảng…
- Bản vẽ bố trí hệ thống công trình đầu mối thủy lợi, các xí nghiệp sản xuất phụ, cơ sở kỹ thuật và khu công nhân.
- Bình đồ khu vực xây dựng.
- Nhu cầu vật liệu cần vận chuyển trong năm.
Qua đó ta xác định hướng chủ yếu và luồng vật liệu vận chuyển trên các hướng đó. Sau đó tiến hành so sánh kinh tế, kỹ thuật để chọn ra phương án tối ưu nhất.
Hiện nay có 3 phương án vận chuyển chính trên công trường đó là:
- Vận chuyển bằng đường sắt: phương án này khá khó khăn vì nó đòi hỏi
nhiều điều kiện như:
kính cong thích hợp …
+ Cần làm chổ tránh cho tàu.
+ Việc vận chuyển hàng hóa đến các địa điểm xây dựng và vận chuyển thiết bị khó khan.
+ Khi cự ly ngắn thì việc bốc dỡ không hiệu quả.
+ Đặc biệt là chi phí cho việc mua sắm thiết bị vận chuyển, làm đường cao.
- Vận chuyển bằng ô tô: đây là phương án được sử dụng chủ yếu hiện nay trên
điều kiện địa hình phức tạp. Để sử dụng hiệu quả cần tổ chức thành lập một trung tâm điều khiển cũng như một số nhóm điều khiển. Thành lập một số cơ sở sửa chữa, một vài đoàn vận tải. Khi chọn ô tô cần căn cứ vào hình dạng vật liệu và khoảng cách vận chuyển. Sử dụng phương pháp vận chuyển này có thể tận dụng đường giao thông hiện có, hoặc đắp đường thi công, chi phí đắp đường thấp dễ thi công.
- Vận chuyển bằng máy kéo: phương án vận chuyển này về cơ bản là thay thế
cho phương án vận chuyển bằng ô tô, khi điều kiện không có đường giao thông, như là thời kỳ chuẩn bị thi công, hoặc điều kiện địa hình khó khăn chưa có đường sá hay địa hình bị cắt xẻ nhiều, chưa hình thành đường thi công.
Để chọn ra phương án tối ưu nhất cần so sánh giữa các phương án, chỉ tiêu cơ bản để so sánh là cước phí vận chuyển 1 tấn hàng.
CT = Cct + Cbd + Ctb Trong đó:
CT là cước phí vận chuyển 1 tấn hàng (đ/T) Cbd là cước phí bốc và dỡ 1 tấn hàng (đ/T)
Ctb là cước phí khai thác thiết bị vận chuyển (tính cho 1 tấn hàng), được xác định theo (đ/T)
Trong đó:
Ccm là tổng chi phí ca máy của 1 đơn vị thiết bị vận chuyển (ô tô, rơ móoc …) tính cho 1 ca máy
Qcm là khối lượng hàng vận chuyển trong 1 ca của thiết bị vận chuyển
Cct là cước phí khai thác công trình vận chuyển tính cho 1 tấn hàng (đ/T), phụ thuộc vào loại công trình tạm thời hay lâu dài
Đối với công trình tạm thời sử dụng trong thời kỳ thi công (đ/T)
Đối với đường lâu dài (đ/T)
Trong đó:
Cd là chi phí để xây dựng đường sá (đ)
Cv là chi phí vật liệu còn lại khi tháo dỡ công trình vận chuyển Qtc Qn là lượng hàng hóa tổng cộng và lượng hàng hóa trung bình năm theo thiết kế tổ chức thi công (T)
Cs là chi phí sửa chữa đường sá (đ) H là khấu hao cơ bản và sửa chữa lớn (đ)
Ck là chi phí khai thác công trình trên đường, các trạm, bến xe, đường tránh, chi phí điều khiển vận chuyển
K là hệ số xét đến chi phí điều khiển phương tiện vận chuyển và những chi phí khác.
2.5.1 Bài toán yêu cầu
Bài toán đặt ra là tìm phương án vận chuyển vật liệu từ m kho xuất vật liệu có trữ lượng ai cung cấp vật liệu cho n kho nhập với khối lượng tương ứng là bj đạt tổng giá thành vận chuyển nhỏ nhất.
i = 1 m, j = 1 n Ký hiệu
xij là lượng hàng hóa vận chuyển từ kho xuất i đến kho nhận j (tấn)
Cij là cước phí vận chuyển 1 đơn vị hàng hóa từ kho xuất i đến kho nhập j (đ/T)
Ta có các điều kiện ràng buộc
Để thuận tiện ta giả thiết
Ta có thể biểu diễn bài toán dưới dạng bảng như bảng 2-2 Bảng 2-2 Bài toán vận chuyển
Nơi xuất Nơi nhận B1 B2 Bj … Bn ai
A1 C11 C12 C1j … C1n a1
A2 C21 C22 C2j … C2n a2
Ai Ci1 Ci2 Cij … Cin ai
… … … …
Am Cm1 Cm2 Cmj … Cmn am
bj b1 b2 bi … bn
Nếu cước phí vận chuyển Cij tính theo đ/T.km thì hàm mục tiêu của bài toán được viết lại
Trong đó Lij là cự ly vận chuyển (km)
2.5.2 Sử dụng phương pháp thế vị để giải bài toán
Để giải bài toán ta biểu diễn bài toán dưới dạng bảng, những ô có giá > 0 gọi là ô sử dụng.
- Đường đi: đường đi trong bảng vận chuyển là 1 dãy các ô i1j1, i2j2, …, isjs có các giá trị xij > 0, hình 2.8 i j1 1 i j1 2 i j2 2 i j2 3 i j3 3 i js s
Hình 2.8 Đường đi trong bảng vận chuyển Nếu đường đi khép kín thì gọi là một chu trình, hình 2.9
i j1 1 i j1 2 i j2 1 i j2 2 i j3 2 i j2 3 i j3 3 i j1 1 i j1 2 i j2 1 i j 2 2
Hình 2.9 Chu trình trong bài toán vận chuyển
- Phương án cực biên của bài toán vận chuyển: một tập hợp (m+n-1) ô sử dụng, không lập thành chu trình thỏa mãn các điều kiện ràng buộc gọi là một
phương án cực biên của bài toán vận chuyển.
- Phương án tối ưu của bài toán vận chuyển: một phương án của bài toán vận chuyển thỏa mãn điều kiện làm cực tiểu hàm mục tiêu thì gọi là phương án tối ưu.
- Điều kiện tối ưu: một phương án gọi là tối ưu nếu như tồn tại một hệ thế vị ui, vj thỏa mãn các điều kiện sau
i = 1,2 … m; j = 1,2 … n
2.5.2.2 Cách giải
Ta có điều kiện ràng buộc
Điều kiện tối ưu
Hàm mục tiêu
Bước 1: tìm phương án cực biên
Để tìm phương án cực biên ta ưu tiên phân phối hàng cho nhưng ô có cước phí nhỏ nhất, sau đó lần lượt phân phối cho những ô khác đến khi thỏa mãn điều kiện ràng buộc thì thôi.
Giả thiết u1 = 0 tìm các vj theo công thức vj = Cij – u1
Từ những vj đã biết ta sẽ tính các ui còn lại theo công thức ui = Cij – vj
Sau khi tính được tất cả các thế vị ui, vj ta dựa vào điều kiện tối ưu để kiểm tra các ô còn lại. Nếu như mọi ô đều thỏa mãn điều kiện thì có phương án tối ưu, nếu còn một ô nào chưa thỏa mãn thì sẽ tiến hành điều chỉnh theo bước 2.
Bước 2: Điều chỉnh phương án
Những ô nào không thỏa mãn điều kiện tối ưu gọi là những ô vi phạm. Trong các ô vi phạm tính các giá trị theo công thức sau:
= ui + vj – Cij
Chọn ô vi phạm nào đạt giá trị lớn nhất trong số các đó để đưa vào phương án mới, gọi ô đó là ô chọn. Đồng thời sẽ đưa một ô của phương án cũ ra khỏi phương án. Cách điều chỉnh như sau: lập một chu trình giữa ô chọn và một số ô trong phương án cũ, đánh dấu (+) cho ô chọn, dấu (-) cho ô bên cạnh nó, tiếp tục đánh dấu như vậy cho toàn bộ chu kỳ. Ta sẽ có tập hợp các ô mang dấu (+) ký hiệu D+ và các ô dấu (-) ký hiệu D-
Trong những ô D- chọn ô nào có giá trị xij nhỏ nhất gọi là x0 để đưa ra ngoài phương án
Trong những ô D+ cộng thêm một lượng x0, trong những ô D- trừ bớt 1 lượng x0. Sau khi làm như vậy ta có một phương án mới.
Tiến hành kiểm tra điều kiện tối ưu, nếu thỏa mãn thì thôi, nếu không thỏa mãn lại tiếp tục lặp lại bước 2. Sau 1 số lần thì thuật toán kết thúc.
Ví dụ
Giả sử có 3 kho chứa cát A1, A2, A3 cung cấp cho 4 trạm trộng bê tong B1, B2, B3, B4. Khối lượng các kho cát, yêu cầu của các trạm trộn, cước phí vận chuyển được cho như bảng 2-3
Bảng 2-3 Ví dụ giải bài toán bằng phương pháp thế vị
Ai Bj B1 B2 B3 B4 ai
A1 1 3 3 2 30
A2 7 1 2 6 20
A3 3 3 2 2 10
bj 15 20 5 20 60
Bước 1: tìm phương án cực biên
Phương án cực biên thỏa mãn điều kiện ràng buộc
Ta ưu tiên phân phối vật liệu cho những ô có cước phí nhỏ nhất, được biểu thị bằng các giá trị trong ô vuông như bảng trên
15 5 10
15 5
Kiểm tra điều kiện tối ưu
Giả thiết u1 = 0, dựa vào ô (1,1) ta có x11 = 15>0 => V1 = C11 – u1 = 1 Dựa vào ô (1,2) và ô (1,4) ta có V2 = 3; V4 = 2
Dựa vào ô (2,2) ta có U2 = C22 – V2 = -2 Dựa vào ô (2,3) ta có V3 = 4
Dựa vào ô (3,4) ta có U3 = 0
Dựa vào điều kiện ” ” để kiểm tra các ô còn lại. Ta thấy các ô (1,3) và (3,3) không thỏa điều kiện. Do đó ta tiến hành bước 2.
Bước 2: điều chỉnh phương án
Trong các ô vi phạm, ta tính giá trị theo công thức sau: = ui + vj – Cij
Như vậy ta có
= U1 + V3 – C13 = 0 + 4 – 3 = 1 = U3 + V3 – C33 = 0 + 4 – 2 = 2
=> max = = 2, do đó lấy ô (3,3) để bổ sung phương án mới
Lập một chu trình giữa ô chọn (3,3) và một số ô trong phương án cũ, tiến hành đánh dấu các ô trong chu trình đó như bảng 2-4
Ai Bj B1 B2 B3 B4 ai
A1 1 3(-) 3 2(+) 30
A2 7 1(+) 2(-) 6 20
A3 3 3 2(+) 2 (-) 10
bj 15 20 5 20 60