5. Các phụ thuộc dữ liệu
5.3. Tách không mất thông tin
Giống như trong mô hình cổ điển, khi xuất hiện các phụ thuộc dữ liệu trong một lược đồ quan hệ, cần thiết phải khảo sát xem có thể tách-kết nối một quan hệ ban đầu thành những quan hệ nào đó sao cho có thể dùng phép kết nối tự nhiên để khôi phục lại được quan hệ ban đầu hay không. Ở mô hình đang xem xét, tương ứng với quan niệm đã đưa ra về dư thừa dữ liệu, có thể coi một phép tách-kết nối là không mất thông tin nếu có thể dùng phép kết nối tự nhiên mờ để có được một quan hệ mờ r’ tương đương (theo một ngưỡng α) với quan hệ ban đầu r.
Định lý 2.3. Cho r là một quan hệ mờ với ngưỡng α trên lược đồ R(U). X, Y⊆U và X∩Y=∅. Quan hệ r thoả FMVD X≈→→Y khi và chỉ khi r≅r[XY]r[X(U-Y)].
Chứng minh:
a) Giả sử với ngưỡng α, quan hệ r thoả X≈→→Y, cần chứng tỏ rằng r≅r[XY]r[XZ]. Với Z=U–Y.
• Lấy t∈r[XY]r[XZ], khi đó ∃t1∈r[XY] và ∃t2∈r[XZ] sao cho xảy ra đồng thời:
t[]=MαX{t1[X], t2[X]}, (1’)
t[Y]=t1[Y], (2)
t[Z]=t2[Z] (3)
Theo Định lý 2.1 từ (1’) ta được t[X]≈t1[X]≈t2 [X] (1’’) Do có X≈→→Y, nên Y(t2[X])≅Y(t2[X], t2[Z]) (4)
Từ (1) được t1[Y]∈Y(t2[X]), kết hợp với (4) suy ra ∃t3∈Y(t2[X], t2[Z]) sao cho t3[Y]≈t1[Y], nói cách khác đồng thời có
t3[X]≈t2[X] (5)
t3[Y]≈t1[Y] (6)
t3[Z]≈t2[Z] (7)
Đối chiếu với (1’’), (2) và (3) được t≈t3.
• Lấy t∈r, xét t[XY] và t1[XZ]. Nếu không có bộ t0∈r[XY] sao cho t0=t[XY] thì chứng tỏ phép chiếu r[XY] đã trộn t[XY] với một hay một số bộ của r[XY] và theo Định lý 2.1 thì ∃t1∈r[XY] : t1[XY]≈t[XY]. Một cách tương tự có thể thấy ∃t2∈r[XZ]: t2[XZ]≈t[XZ]. Khi kết nối tự nhiên r[XY] và r[XZ], vì có t1[]≈t[X]≈t2[X] nên ∃t’∈r[XY]r[XZ] sao cho:
t’[X]=Mα {t1[X], t2[X]}≈t[X], t’[Y]=t1[Y]≈t[Y],
t’[Z]=t2[Z]≈t[Z] Vậy t’≈t.
b) Giả sử r≅r[XY]r[XZ], cần chứng tỏ rằng quan hệ r thoả X≈→→Y. Cần phải chỉ ra rằng Yr(x)≅Yr(xz). Từ Bổ đề 2.8, chỉ cần chứng minh ∀y0∈Yr(x) ∃y’∈Yr(xz) sao cho y0≈y’.
Thật vậy, giả sử x là giá trị của bộ t trên thuộc tính X, t=<x, y, z>∈r. Với y0∈Yr(x), gọi t0 là bộ mà y0 chính là giá trị của nó trên thuộc tính Y, t0=<x0, y0, z >∈r. Rõ ràng là ∃t =<x , y , z >∈r[XY] sao cho t [XY]=t [XY] hoặc t là kết quả
của việc trộn t0[XY] với một số bộ khác khi thực hiện phép chiếu r[XY]. Cả hai tình huống này đều cho thấy x1y1≈x0y0. Với t=<x, y, z>∈r, lập luận tương tự cũng có ∃t2=<x2, y2, z2>∈r[XZ] sao cho x2z2≈xz. Vì y0∈Yr(x) nên x0≈x. Lại có x1≈x0 và x2≈x. Nhờ tính bắc cầu của quan hệ ≈, rõ ràng là x1≈x2≈x≈x0. Do đó, khi thực hiện phép kết nối r[XY]r[XZ], t1 và t2 kết nối được với nhau và ∃t*=<x*,y*,z*>∈r[XY]r[XZ] với :
x*=Mα{x1, x2}≈x≈x0 (1)
y*=y1≈y0 (2)
z*=z2≈z (3)
Do giả thiết r≅r[XY]r[XZ] nên ∃t’=<x’, y’, z’>∈r sao cho t*≈t’. Đối chiếu với (1), (2), (3) được:
x’≈x (1’)
y’≈y0 (2’)
z’≈z (3’)
Vậy ∀y0∈Yr(x) ∃y’∈Yr(xz) sao cho y’≈y0. Từ định lý trên, có thể suy ra được hệ quả sau:
Hệ quả. Cho r là một quan hệ mờ với ngưỡng α trên lược đồ R(U). X, Y⊆U và X ∩Y=∅. Nếu quan hệ r thoả FFD X≈ →Y thì r≅r[XY]r[X(U-Y)].